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专题11.1 与三角形有关的线段（三角形的边）
（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】三角形的定义与构成要素
1.定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
构成三角形的三个基本条件：①不在同一条直线上；②三条线段；③首尾顺次相接.
2.（1）构成三角形的基本元素：
①三角形的边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的
角；
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
3. 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为 A、B、C的三角形
记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC
来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．
【知识点2】三角形的分类
(1)按角分类：
直角三角形
三角形 锐角三角形
斜三角形
钝角三角形
特别强调：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
(2)按边分类：
特别强调：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边
叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ②等边三角形：三边都相等的三角形.
【知识点3】三角形三边关系
定理：三角形任意两边的和大于第三边（理论依据：两点之间线段最短）.
推论：三角形任意两边的差小于第三边.
三边关系的应用：
（1）判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可
以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（2）证明线段之间的不等关系.【考点一】三角形➼➻与三角形相关概念的理解
【例1】如图，以BD为边的三角形有哪些？分别写出来；以∠1为内角的三角形有哪些？分别写出
来．
【分析】先根据BD边找三角形，再根据∠1找三角形.
解：以BD为边的三角形有：△BDC，△BDO，
以∠1为内角的三角形有：△EOC，△ACD．
【点拨】本题考查了三角形的内角和边的概念，学会分类的方法找三角形是本题的解题关键.
【举一反三】
【变式】如图,在△ABC中,D,E是BC,AC上的点,连接BE,AD,交于点F,问:
(1) 图中有多少个三角形?并把它们表示出来.
(2) △BDF的三个顶点是什么?三条边是什么?
(3) 以AB为边的三角形有哪些?
(4) 以F为顶点的三角形有哪些?
试题分析：利用三角形的定义以及三角形有关的角和边概念分别得出即可．
解：（1）8个： ABC， ABF， ABE， ABD， BDF， AEF， ACD， BCE；
（2）三个顶点△：B，D，△F；三条△边：BD△，BF，D△F； △ △ △
（3） ABC， ABF， ABD， ABE；
（4）△ABF，△BDF，△AEF．△
【点拨】△此题主要△考查了△三角形有关定义，正确把握相关定义是解题关键．
【考点二】三角形➼➻三角形的分类
【例2】说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形．【答案】锐角三角形有： ，直角三角形有： ，钝角三角形有：
【分析】根据三角形的分类进行求解即可．
解：由题意得：锐角三角形有： ，直角三角形有： ，钝角三角形有：
．
【点拨】本题主要考查了三角形的分类，熟知三角形的分类方法是解题的关键．
【举一反三】
【变式】按要求画图．
(1) 作直线AB的平行线，使平行线间的距离是2厘米；
(2) 再画出以AB为底，高2厘米的直角三角形和钝角三角形．
【分析】（1）先作出直线AB的垂线，在直线的垂线上截取与直线AB的距离是2厘米的一点，过该
点作出直线AB的平行线；
（2）根据它们的定义：有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形，是
钝角三角形，进而画出即可．
解：（1）作图如下：
直线l即为所求；
（2）作图如下：直角三角形为△ABC，钝角三角形为△ABD．
【点拨】此题考查了平行线的画法及三角形按角分类的方法，根据题意画图解答即可．
【考点三】三角形➼➻构成三角形的条件
【例3】由下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由．
(1) (2) (3) ．
【答案】(1) 这三条线段不能构成三角形，理由见分析；(2) 这三条线段
不能构成三角形，理由见分析；(3) 这三条线段能构成三角形，理由见分析
【分析】根据构成三角形的条件进行逐一判断即可．
（1）解： 这三条线段不能构成三角形，理由如下：
∵ ，
∴ 这三条线段不能构成三角形；
（2）解： 这三条线段不能构成三角形，理由如下：
∵ ，
∴ 这三条线段不能构成三角形；
（3）解： 这三条线段能构成三角形，理由如下：
∵ ，
∴ 这三条线段能构成三角形．
【点拨】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小
于第三边是解题的关键．
【举一反三】
【变式】已知三角形两边的长分别是4cm和9cm
(1) 求第三边的取值范围；
(2) 若第三边的长是偶数，求第三边的长；
(3) 求周长的取值范围（第三边的长是整数）．
【答案】(1)第三边的取值范围是5cm<X<13cm；(2)第三边的长为6cm，8cm，10cm，12cm；(3)18cm<
周长<26cm
【分析】（1）根据三角形两边之和大于第三边和三角形两边之差小于第三边即可得到解答；（2）根据第三边的取值范围选出偶数即可；
（3）利用第三边的取值范围再加上已知的三角形两边长即可求得．
解：（1）设第三边长为xcm，
9-4=5（cm），
9+4=13（cm），
∴第三边的取值范围是5cm<x<13cm；
（2）由题意可知，其中偶数为6，8，10，12，
∴第三边的长为6cm，8cm，10cm，12cm．
（3）周长=4+9+第三边，
∵5cm<第三边<13cm，
∴18cm<周长<26cm．
【点拨】本题考查了三角形三边的三边关系，解决此题的关键是掌握第三边的范围：大于已知两边的
差，小于两边的和．
【考点四】三角形➼➻确定第三边取值范围
【例4】已知一个三角形的第一条边长为 ，第二条边长为
(1) 求第三条边长 的取值范围；（用含 ， 的式子表示）
(2) 若 ， 满足 ，第三条边长 为整数，求这个三角形周长的最大值
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）根据三角形三边关系定理即可得出结论；
（1）根据绝对值和平方的非负性可确定 ， 的值，从而得出 的最大值，即可得出结论．
（1）解：∵三角形的第一条边长为 ，第二条边长为 ，
∴第三条边长 的取值范围是 ，
即 ，
∴第三条边长 的取值范围是 ；
（2）∵ ， 满足 ，第三条边长 为整数，
∴ ， ∴ ，
∴ ，即 ，则三角形的周长为： ，
∵ 为整数，
∴ 可取最大值为 ，
此时这个三角形周长的最大值为 ，
∴这个三角形周长的最大值为 ．
【点拨】本题考查三角形三边关系定理，绝对值和平方的非负性，不等式组的整数解，三角形的周长．
掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】已知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a．
(1) 求a的取值范围；
(2) 若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？
【答案】(1) ； (2)当 时，三角形的周长最大为
【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可得到答案；
（2）由（1）取最大值即可得到答案．
（1）解：由三角形的三边关系可知
， 即 ，
∴a的取值范围是 ；
（2）解：由（1）知，a的取值范围是 ，a是整数，
∴当 时，三角形的周长最大，
此时周长为： ，
∴周长的最大值是23．
【点拨】本题考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【考点五】三角形➼➻三角形三边关系的应用
【例5】在 中， ， ，且 的长为偶数，求 的周长，并判断其形状．
【答案】 周长为 ， 是等腰三角形，
【分析】根据“三角形的两边的和一定大于第三边，两边的差一定小于第三边”进行分析，进而判断
三角形的形状．
解： ，
，
长是偶数，，
，
是等腰三角形，
周长为：
【点拨】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第
三边，三角形的两边差小于第三边，掌握以上知识是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】如图，在 中，点 在 上，连接 ，点 在 上，连接 ，求证：
．
【分析】在 中，根据三边之间的关系易得 ，则 即
，同理在 中， ，则 即
，从而得证．
解：证明： 在 中， ，
，
，
在 中， ，
，
，
．
【点拨】本题考查了三角形两边之和大于第三边；熟练掌握该性质是解题的关键．
