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专题 11 圆的最值问题（隐圆模型）
【知识点梳理】隐圆模型汇总
固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆
若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径
固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径
例．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2 ，△ADC与△ABC关于AC
对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的
最小值为( )
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【分析】连接BD，证明△EDB≌△FCD ，可得∠BPD＝120°，由于BD的长确定，则点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值．
【详解】解：连接AD，因为∠ACB＝30°，所以∠BCD＝60°，
因为CB＝CD，所以△CBD是等边三角形，
所以BD＝DC
因为DE＝CF，∠EDB＝∠FCD＝60°，
所以△EDB≌△FCD，所以∠EBD＝∠FDC，
因为∠FDC＋∠BDF＝60°，
所以∠EBD＋∠BDF＝60°，所以∠BPD＝120°，
所以点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，
直角△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝2 ，所以AB＝2，AC＝4，
所以AP＝2
当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值，
CP的最小值是AC－AP＝4－2＝2
故选D．
【点睛】求一个动点到定点的最小值，一般先要确定动点在一个确定的圆或圆弧上运动，
当动点与圆心及定点在一条直线上时，取最小值．
【变式训练1】．如图， 是⊙O的弦，点C在⊙O内， ，连接
，若⊙O的半径是4，则 长的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】延长 交圆O于点D，连接 ，过O点作 交于点E，则 是
等边三角形，再确定点C在以E为圆心， 为半径的圆上，则 的最小值为 ，
再求解即可．
【详解】解：如图，延长 交圆O于点D，连接 ，过O点作 交于点E，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点C在以E为圆心， 为半径的圆上，
在 中， ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查圆中的最小距离问题，熟练掌握垂径定理，等边三角形的性质，直角三
角形的勾股定理，根据定角定弦确定点C的轨迹是解题的关键．
【变式训练2】．如图，正方形 的边长为4，点E是正方形 内的动点，点P是
边上的动点，且 ．连结 ， ， ， ，则 的最小值为
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先证明 ，即可得点E在以 为直径的半圆上移动，设 的中点为
O，作正方形 关于直线 对称的正方形 ，则点D的对应点是F，连接 交
于P，交半圆O于E，根据对称性有： ，则有： ，则线段
的长即为 的长度最小值，问题随之得解．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点E在以 为直径的半圆上移动，
如图，设 的中点为O，
作正方形 关于直线 对称的正方形 ，
则点D的对应点是F，
连接 交 于P，交半圆O于E，
根据对称性有： ，
则有： ，
则线段 的长即为 的长度最小值，E
∵ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
故 的长度最小值为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助
线，得出点E的运动路线是解题的关键．
【变式训练3】．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且
CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的
最小值为 ．
【答案】 /
【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、
D、F共线且F在B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长
度即可．
【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所
示，
可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC=6，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD= ，
∴BF=BD－DF= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的
最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键．
【变式训练4】．如图，四边形 中， ， ， ，
，点 是四边形 内的一个动点，满足 ，则 面积的
最小值为 ．
【答案】
【分析】取 的中点 ，连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作
于 ，交 于 ，则 ，通过计算得出当 三点共线时，
有最小值，求出最小值即可．
【详解】解：如图，
取 的中点 ，连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作
于 ，交 于 ，则 ，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，四边形 为等腰梯形，
，
， ， ，
，
点 在以点 为圆心，2为半径的圆上，
，
，
，
， ，
，
，
， ， ，
，
当 三点共线时， 有最小值 ，
面积的最小值为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点 位置的确定
是解题关键．
课后训练
1．如图，在Rt ABC中， ， ，BC＝2，线段BC绕点B旋转到
BD，连AD，E△为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是 ．
【答案】3
【分析】通过已知求得D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，∵E为AD的中点，
∴E在以BA中点为圆心， 长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的
最大值=定点与圆心的距离+圆的半径，求得CE的最大值．
【详解】解：∵BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，∴BD＝2，∴ ．
由题意可知，D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，
∵E为AD的中点，
∴E在以BA中点为圆心， 长为半径的圆上运动，
CE的最大值即C到BA中点的距离加上 长．
∵ ， ，BC＝2，
∴C到BA中点的距离即 ，
又∵ ，
∴CE的最大值即 ．
故答案为3．
【点睛】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别E点运动轨迹是解题的关键．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2， ，点E为AB中点，点F为AD边上从A到D
运动的一个动点，联结EF，将 沿EF折叠，点A落在点G处，在运动的过程中，点
G运动的路径长为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A【详解】解：∵点E为AB中点，点F为AD边上从A到D运动的一个动点，联结EF，将
沿EF折叠，∴ ，∴G点在以E为圆心，AE长为半径的圆上运动．
当F与D点重合时，如图，则G点运动的路径为 ．
∵AB＝2，点E为AB中点，∴ ，
∵矩形ABCD，∴ ，
∵ ， ， ，∴ ，∴ ．
∵将 沿EF折叠，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
故选：A．
3．如图，在 中， ， ， ， 是以点 为圆心，3为半径
的圆上一点，连接 ， 是 的中点，则线段 长度的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】作AB的中点E，连接EM、CE、AD，则有AD=3，∵∠ACB=90°，即在 中， ，
∵E是 斜边AB上的中点，∴ ，
∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴ ，
∴在 中， ，即 ；
当C、M、E三点共线时有 或者 ；即 ，
∴CM最小值为5，故选：C．
4．如图，矩形 ， ， ，E为 中点，F为直线 上动点，B、G关于
对称，连接 ，点P为平面上的动点，满足 ，则 的最小值
．
【答案】
【分析】由题意可知， ，可得 ，可知点 在以 为弦，
圆周角 的圆上，（要使 最小，则点 要靠近蒂点 ，即点 在 的右侧），
设圆心为 ，连接 ， ， ， ， ，过点 作 ，可知 为等腰
直角三角形，求得 ， ， ，
，再由三角形三边关系可得： ，当
点 在线段 上时去等号，即可求得 的最小值．
【详解】解：∵B、G关于 对称，
∴ ，且
∵E为 中点，则 为 的中位线，
∴ ，
∴ ，∵ ，即 ，
∴点 在以 为弦，圆周角 的圆上，（要使 最小，则点 要靠近蒂点 ，
即点 在 的右侧）
设圆心为 ，连接 ， ， ， ， ，过点 作 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，则 为等腰直角三角形，
∴ ，
又∵ 为 中点，
∴ ， ，
又∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
由三角形三边关系可得： ，当点 在线段 上时去等号，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定
及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据 得知点 在以 为弦，
圆周角 的圆上是解决问题的关键．
5．如图，在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝ ，∠ABC＝60°．D是平面内一动点，且
∠ADB＝30°，则CD的最小值是【答案】 /
【分析】作AH⊥BC于H，证明△ACH为等腰直角三角形，求得BC= +1，在BC上截取
BO=AB=2，则△OAB为等边三角形，以O为圆心，2为半径作⊙O，根据∠ADB=30°，可得
点D在⊙O上运动，当DB经过圆心O时，CD最小，其最小值为⊙O的直径减去BC的长．
【详解】解：如图，作AH⊥BC于H，
∵AB=2，AC= ，∠ABC=60°，
∴BH= AB=1，
∴AH= ，
CH= ，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
BC=CH+BH= +1，
在BC上截取BO=AB=2，则△OAB为等边三角形，
以O为圆心，2为半径作⊙O，
∵∠ADB=30°，
∴点D在⊙O上运动，
当DB经过圆心O时，CD最小，
最小值为4-（ +1）=3- ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和
性质，圆周角定理．解题的关键是得出点D在⊙O上运动．
6．如图，⊙O的半径为2，弦AB＝2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是 ．
【答案】
【分析】连接OA、OB，如图1，由OA=OB=AB=2可判断△OAB为等边三角形，则
∠AOB=60°，根据圆周角定理得∠APB= ∠AOB=30°，由于AC⊥AP，所以∠C=60°，因为
AB=2，则要使△ABC的最大面积，点C到AB的距离要最大；由∠ACB=60°，可根据圆周
角定理判断点C在⊙D上，且∠ADB=120°，如图2，于是当点C优弧AB的中点时，点C
到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，从而得到△ABC的最大面积．
【详解】解：连接OA、OB，如图1，
∵OA=OB=2，AB=2，∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，∴∠APB= ∠AOB=30°，
∵AC⊥AP，∴∠C=60°，
∵AB=2，要使 ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，
作△ABC的外接圆D，
△
∵∠ACB=60°，点C在⊙D上，∴∠ADB=120°，如图2，
当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时 ABC为等边三角形，且面积为
△
AB2= ，∴△ABC的最大面积为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判断与性质；记住
等边三角形的面积公式．
