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易错点 09 不等式
易错题【01】利用同向相加求范围出错
利用同向相加求变量或式子的取值范围,是最常用的方法,但如果多次使用不等式的可加性,
变量或式子中的等号可能不会同时取到,会导致范围扩大.
易错题【02】解分数不等式忽略分母不为零
解含有分数的不等式,在去分母时要注意分母不为零的限制条件,防止出现增解,如
.
易错题【03】连续使用均值不等式忽略等号能否同时成立
连续使用均值不等式求最值或范围,要注意判断每个等号成立的条件,检验等号能否同时成立.
易错题【04】混淆单变量与双变量
(1) 恒成立 的最小值大于零；
(2) 恒成立 ；
(3) 使得 成立 的最大值大于零；
(4) 使得 恒成立 ；
易错题【05】解含有参数的不等式分类不当致误
(1)解含有参数的不等式要注意判断是否需要对参数进行分类讨论,分类要满足互斥、无漏、
最简.
(2)解形如 的不等式,首先要对 的符号进行讨论,当a的符号确定后再根据判
别式的符号或两根的大小进行讨论.
01
设f(x)＝ax2＋bx,若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(－2)的取值范围是________．
【警示】本题常见的错误解法是：由已知得
①＋②得3≤2a≤6,∴6≤4a≤12,又由①可得－2≤－a＋b≤－1,③②＋③得0≤2b≤3,∴－3≤－2b≤0,又f(－2)＝4a－2b,∴3≤4a－2b≤12,
∴f(－2)的取值范围是[3,12]．
【答案】
【问诊】正确解法是：由 得
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10,故5≤f(－2)≤10.
【叮嘱】在求式子的范围时,如果多次使用不等式的可加性,式子中的等号不能同时取到,会
导致范围扩大.
1. 已知实数x,y满足 , ,则( )
A．1≤x≤3 B． 2≤y≤1 C．2≤4x+y≤15 D． x y
【答案】C
【解析】∵ , ,∴两式相加,得 ,即1≤x≤4,故A错误；
∵ ,∴ ,解得 ,故B错误；∵
,又 ,∴ ,故C正确；
∵ ,又 且 ,
∴ ,故D错误.故选C.
2.已知 , ,则 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C【解析】 .设 ,
所以 ,解得： , ,
因为 , ,所以 ,
因为 单调递增,所以 .故选C.
02
解不等式 .
【 警 示 】 本 题 易 错 之 处 是 误 以 为
.
【问诊】 ,
所以 的解集为 .
【叮嘱】 , 且 .
1．设集合 , ,则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】集合 ,,故选D.
2. 设 ,那么“ ”是“ ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由不等式 ,可得 ,解得 ,当 时,
不一定成立,即充分性不成立；当 时, 成立,即必要性成立,所以
“ ”是“ ”的必要不充分条件.故选B.
03
已知x>0,y>0,且＋＝1,则x＋y的最小值是________．
【警示】本题错误解法是：∵x>0,y>0,∴1＝＋≥2,∴≥2,∴x＋y≥2＝4,
∴x＋y的最小值为4.
【答案】3＋2
【问诊】＋≥2取等号的条件是 ,即 ,x＋y≥2取等号的条件是
与 矛盾.正确解法为：∵x>0,y>0,∴x＋y＝(x＋y)(＋)
＝3＋＋≥3＋2(当且仅当y＝x时取等号),
∴当x＝＋1,y＝2＋时,(x＋y) ＝3＋2.
min
【叮嘱】多次使用基本不等式要验证等号成立的条件.
1.(2022届辽宁省东北育才学校高三上学期模拟)圆 关于直线
对称,则 的最小值是( )
A． B． C． D．【答案】C
【解析】由圆 可得标准方程为 ,因为圆
关于直线 对称, 该直线经过圆心 ,
即 , ,
,
当且仅当 ,即 时取等号,故选C.
2.(2022届河南省名校大联考高三上学期期中)已知正实数 , , 满足 ,则
当 与 同时取得最大值时, ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ,可得 ,
则 ,
当且仅当 时等号成立；又由
,
当 时,等号成立,所以当 与 同时取得最大值时,则有 ,
解得 ,此时 .故选B.04
1
x2 +x
f(x)= 2 g(x)=ln(x+1)−a
已知 , ,
x∈[0,2] f (x)>g(x)
(1)若对任意 ,恒有 ,求实数a的取值范围；
x ,x ∈[0,2] f (x )>g(x )
(2)若对任意 1 2 ,恒有 1 2 ,求实数a的取值范围；
【警示】本题易混淆单变量与双变量
【答案】(1) ；(2)
a>ln3
1 1 x2 +2x
x2 +x h′（x）=x+1−
【问诊】(1)设
h(x)= 2 −ln(x+1)
,因为
x∈[0,2]
时
x+1
=
x+1
>0,所以
h(x)
在
[0,2]
上是增函数,由此可求得
h(x)
的值域是[0,
4−ln3
],所以实数a的取值
范围是[0,
4−ln3
].对任意
x∈[0,2]
,恒有
f (x)>g(x)
,即
x∈[0,2]
时
h(x)
¿a恒成立,即
h(x)
min¿a,由⑵可知a¿0.
f（x） A=[0，4]，g(x) B=[−a,ln3−a]
(2)由题中条件可得 的值域 的值域 ,若对任意
x
1
,x
2
∈[0,2]
,恒有
f (x
1
)>g(x
2
)
,即
f (x)
min
>g(x)
max,即
0>ln3−a
,所以
a>ln3
.
【叮嘱】①若 f (x) 值域为 [m,n] ,则不等式 f (x) ¿a恒成立⇔a¿m；不等式 f (x)
¿a有解⇔a¿n；
f (x) [m,n] f (x) f (x) (m,n]
②若 值域为 ,则不等式 ¿a恒成立⇔a¿m；若 值域为 则
不等式 f (x) ¿a恒成立⇔a¿m .
③设 g(x) 的最大值为M ,对任意 x 2 ∈[0,2] , f (x 1 )>g(x 2 ) 的条件 f (x 1 )>M ,于是问题转
化为存在 x 1 ∈[0,2] ,使得 f (x 1 )>M ,因此只需 f (x) 的最小值大于M 即 f (x) max >g(x) max.
1．已知 ,在区间 上存在三个不同的实数 ,使得以为边长的三角形是直角三角形,则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因 ,故当 时, ,函数 单调递减；当
时, ,函数 单调递增,故 ,又
,所以 ,由题设可得 ,解之得
,又由于 ,所以 ,故选D．
2.已知函数 是定义域上的奇函数,且 .
(1)求函数 的解析式,判断函数 在 上的单调性并证明；
(2)令 ,若对任意 都有 ,求实数 的
取值范围.
【解析】(1)根据题意得到 , ,从而得到 ,再解方程组即可；
(2)根据题意得到 ,设 ,得到 ,根据 ,再
利用二次函数的性质得到 , ,从而得到
,解不等式即可.
(1),又 是奇函数,
,
, 解得 ,
此时,经检验 满足题意,
(2)由题意知 ,令 , ,
由可知函数 在 上单调递减,在 上单调递增, ,
函数 的对称轴方程为 ,函数 在 上单调递增,
当 时, ；当 时, ；
即 , ,
又对 ,都有 恒成立,
即
解得, 又 , 的取值范围是 .
05
解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
【警示】本题错误解法为：原不等式化为a(x－)(x－1)<0.
∴当a>1时,不等式的解集为.
当a<1时,不等式的解集为.【答案】当a<0时,不等式的解集为∪(1,＋∞)；
当a＝0时,不等式的解集为(1,＋∞)；
当01时,不等式的解集为.
【问诊】解本题容易出现的错误是：(1)认定这个不等式就是一元二次不等式,忽视了对a＝
0时的讨论；(2)在不等式两端约掉系数a时,若a<0,忘记改变不等号的方向；(3)忽视了对根
的大小的讨论,特别是等根的讨论；(4)分类讨论后,最后对结论不进行整合．
正确解法：
当a＝0时,不等式的解集为{x|x>1}．
当a≠0时,不等式化为a(x－1)<0.
当a<0时,原不等式等价于(x－1)>0,不等式的解集为{x|x>1或x<}；
当01时,<1,不等式的解集为{x|1时,不等式的解集为.
【纠错笔记】解形如ax2＋bx＋c>0的不等式,应对系数a分a>0,a＝0,a<0进行讨论,还要讨论
各根的大小,最后根据不同情况分别写出不等式的解集．
1．已知函数 ．
(1)当 时,求 在 上的值域；
(2)当 时,解关于 的不等式 ．
【解析】(1)当 时, 是开口向上,对称轴为 的二次函数,又 ,
所以当 时,函数 单调递减；当 时,函数 单调递增；
所以 ,又 , ,
因此 在 上的值域为 .
(2)∵ ．
①当 时, ,即解集为 ；
②当 时, 且 开口方向向下,
所以 的解集为
③当 时,若 ,即 时,原不等式的解集为 ；
若 ,即 ,原不等式的解集为
若 ,即 ,原不等式的解集为
综上,当 时, 的解集为 ；
当 时, 的解集为 ；
当 时, 的解集为
当 时, 的解集为 ；
当 时, 的解集为 ．
2.设函数 .
(1)若关于 的不等式 有实数解,求实数 的取值范围；(2)若不等式 对于实数 时恒成立,求实数 的取值范围；
(3)解关于 的不等式： .
【解析】(1)依题意, 有实数解,即不等式 有实数解,
当 时, 有实数解,则 ,
当 时,取 ,则 成立,即 有实数解,于是得
,
当 时,二次函数 的图象开口向下,要 有解,当且仅当
,从而得 ,
综上, ,
所以实数 的取值范围是 ；
(2)不等式 对于实数 时恒成立,即 ,
显然 ,函数 在 上递增,从而得 ,即
,解得 ,
所以实数 的取值范围是 ；
(3) 不等式 ,
当 时, ,
当 时,不等式可化为 ,而 ,解得 ,
当 时,不等式可化为 ,
当 ,即 时, ,
当 ,即 时, 或 ,当 ,即 时, 或 ,
所以,当 时,原不等式的解集为 ,
当 时,原不等式的解集为 ,
当 时,原不等式的解集为 ,
当 时,原不等式的解集为 .
错
1.已知 , ,则 是 的什么条件( )
A．既不充分又不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．充分不必要条件
【答案】D
【解析】 , ,由于 ,解得： , ,
所以 是 的充分不必要条件.故选D.
2．(2021届海南热带海洋学院附属中学高三月考)关于 的不等式 对 恒
成立的一个必要不充分条件是( )
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】A
【解析】关于 的不等式 对 恒成立,则 ,根据
题意知,选项能推出题干,题干推不出选项,故题干的范围是选项范围的子集,只有A选项符合
题意.故选A.
3．(2022届重庆市第一中学高三上学期期中)若 ,则 的最小
值为( )A． B．1 C．2 D．4
【答案】D
【解析】由题意得 ,
则 ,
所以 ,即 ,所以 ,
当且仅当 ,即 时等号成立,所以 的最小值为4.故选D
4．已知实数 满足 , ,则 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令 , ,则 ,则 ,
, ,又 , ,
∴ ,故选B．
5．(2021届浙江省绍兴市高三上学期测试)已知 ,不等式 在 上恒
成立,则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ ,且 ,∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵上述不等式恒成立,
∴ ,即 (否则取 ,则左边 ,矛盾),
此时不等式转化为 ,
∴ ,解得 ,
∴ ,故选D．
6．已知函数 ,若对任意 ,都有 ,
则实数m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由已知得 ,
令 ,因为 ,所以 ,所以 ,
所以,当 时, ,当 时, ,即
,所以对任意 , ,
所以对任意 ,都有 ,等价于 ,
即 ,解得 或 ,所以实数m的取值范围是 ,
故选B.
7．(多选题)当 , , 时, 恒成立,则 的取值可能是( )
A． B． C．1 D．2
【答案】AB
【解析】因为 , ,所以 ,当且仅当 时,等号成立．因为
．
若 恒成立,则 ,解得 ．故选AB.
8．已知 , ,则 的最大值为___________.
【答案】 .
【解析】设 ,则
,设 ,
则原式 ,当且仅当 时取“=”.9．函数 ,a为参数,
(1)解关于x的不等式 ；
(2)当 , 最大值为M,最小值为m,若 ,求参数a的取值范围；
(3)若 在区间 上满足 有两解,求a的取值范围
【解析】(1)由题意可得： ,
当 时, ,不等式的解为 或 ；
当 时,不等式的解为 ；
当 时, 不等式的解为 或 ；
综上：当 时,不等式的解集为 ；
当 时,不等式的解集为 ；
当 时,不等式的解集为 ；
(2)由题意： ,
即 是开口向上,以 为对称轴的二次函数,
当 时,即 时,
满足 ,即 ,解得 ；
当 时,即 时,有 ,可得 ,故a不存在；
综上可得参数a的取值范围 ；(3)由题意： ,可得 且 ,
且 ,解得 或 ,由因为 的对称轴为 ,
故可得 在 上单调递减,在 上单调递增,
故当 或 时, 不可能有两解,
故 ,解得 ①
由 有两解,可得 有两解,由 是开口向上,以 为对称轴的二次函数可
知,只需
②
联立①②求得：
故a的取值范围为 .
10．已知关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0,其中k∈R.
(1)当k变化时,试求不等式的解集A；
(2)对于不等式的解集A,若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集)．试探究集合B能否为有限集？
若能,求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值,并用列举法表示集合B；若不能,请说
明理由．
【解析】(1)当k＝0时,A＝{x|x<4}；当k>0且k≠2时,A＝{x|x<4或 }；
当k＝2时,A＝{x|x≠4}；当k<0时,A＝{x|
