文档内容
专题 11 特殊的平行四边形中无刻度作图和折叠问题的八种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、平行四边形中的无刻度作图................................................................................................................2
类型二、矩形中的无刻度作图...........................................................................................................................6
类型三、菱形中的无刻度作图...........................................................................................................................9
类型四、正方形中的无刻度作图.....................................................................................................................13
类型五、平行四边形中的折叠问题..................................................................................................................17
类型六、矩形中的折叠问题.............................................................................................................................20
类型七、菱形中的折叠问题.............................................................................................................................26
类型八、正方形中的折叠问题.........................................................................................................................31
压轴能力测评（16题）....................................................................................................................................38
解题知识必备
1.平行四边形
1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质：
（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。
3.平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念）
（2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形
（3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形
（4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形
2.矩形
1.矩形的概念和性质
有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四
边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。
2.矩形的判定
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）三个角是直角的四边形是矩形
（3）对角线相等的平行四边形是矩形
3.菱形1.菱形的概念与性质
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，
还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。
2.菱形的判定
（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念）
（2）四边相等的四边形是菱形
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4.正方形
1.正方形的概念、性质
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是
有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。
2.正方形的判定
（1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念）
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形
（3）有一个角是直角的菱形是正方形
压轴题型讲练
类型一、平行四边形中的无刻度作图
例题：（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，在 中，点 在 上， ， 平分
交AD于点 ，请用无刻度的直尺画图(保留作图痕迹，不写画法)．
(1)在图 中，过点 画出 中 边上的高 ；
(2)在图 中，过点 画出 到 的垂线段 ．
【答案】(1)见解析．
(2)见解析．
【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、无刻度直尺作图
【分析】本题是作图题，考查了等腰三角形的三线合一，利用平行四边形的性质和判定进行作图，熟练掌
握平行四边形的性质和判定是关键．
（1）连接 即可，根据等腰三角形三线合一的性质可得；
（2）构建平行四边形 ，可得结论．
【详解】（1）解：如图1， 即为所求．．
（2）解：如图2，连接 ， 交于点 ，作射线 ，交 于 ，连接 ，交 于 ，则 即为
所求．
，
理由是：如图3，连接 ，
，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）如图，四边形 为平行四边形，点E为 边延长线上一点，
连接 ．请仅用无刻度直尺分别按下列要求作图．(1)如图1，若 ，在 上找一点F，使点F为 的中点；
(2)如图2，点 ，在平面内找一点G，使 与 全等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形的性质证明
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等等：
（1）如图所示，连接 交于O，连接 交 于G，连接 并延长交 于F，点F即为所求；
（2）如图所示，连接 交于O，连接 并延长交 延长线于G，连接 ，点G即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，连接 交于O，连接 交 于G，连接 并延长交 于F，点
F即为所求；
易证明点G为 三条中线的交点，则点F即为所求；
（2）解：如图所示，连接 交于O，连接 并延长交 延长线于G，连接 ，点G即为所求；
易证明 ，则 ，据此易证明 ．2．（2024·江苏徐州·二模）如图，已知 ，请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作
法）．
(1)在图1的 边上作点 ，使 ；
(2)在图2的 边上作点 ，使 ．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
【知识点】作线段(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．
（1）在 上截取线段 ，使得 ，连接 即可；
（2）连接 ，作线段 的垂直平分线交 于点P，点P即为所求．
【详解】（1）解：如图，点P即为所求；
证明：∵ ，
∴ ；
（2）解：如图，点P即为所求．
证明：∵线段 的垂直平分线交 于点P，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．类型二、矩形中的无刻度作图
例题：（2024·江西吉安·三模）如图，在矩形 中， ， 是对角线 上一点，且 ．
请仅用无刻度的直尺分别按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作 的中点 ．
(2)在图2中作点 ，使得
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】利用矩形的性质证明、无刻度直尺作图
【分析】（1）根据 得到 ，作直线 ，交 于点 ，则点P即为所求．
（2）连接 交 于点O，作直线 ，交 于点G，作直线 ，交 于点N，则点N即为所求．
本题考查了矩形的性质，三角形相似的应用，尺规作图，熟练掌握性质和尺规作图是解题的关键．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
故作直线 ，交 于点 ，
∵矩形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即P为 的中点，
则点P即为所求．
（2）连接 交 于点O，作直线 ，交 于点G，作直线 ，交 于点N，则点N即为所求．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，E是矩形 的边 上的中点，现仅用无刻度的直尺
分别按下列要求画图．（保留作图痕迹，不写作法）
(1)在图1中，画一个以点E为顶点的等腰三角形．
(2)在图2中，画AD的中点F．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性
质求线段长、无刻度直尺作图
【分析】本题考查作图——复杂作图，涉及矩形的性质、等腰三角形形的判定，三角形全等的判定与性质
等知识点，解题的关键是熟练掌握基本几何图形的性质，将复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
（1）连接 ，DE即可；
（2）连接 交于点O，连接 并延长交AD于点F，则点F满足条件．
【详解】（1）解：如图1所示，连接 ，DE，
四边形 是矩形，
，
点E是 的中点，
，
，
是以点E为顶点的等腰三角形；
（2）解：如图2所示，点F为所求．连接 交于点O，连接 并延长交AD于点F，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
点E是 的中点，
，
，
点F为AD的中点．
2．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，正方形 ，矩形 并排放置， ．请用一把无刻
度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作 中点G；
(2)在图2的边 上找点 ，使得 ．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【知识点】全等三角形综合问题、三角形中位线的实际应用、利用矩形的性质证明
【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理，
（1）连接 ，再连接两个交点与 交于点G，即可；
（2）连接 交于点O，连接 并延长交 于点P，即可；
【详解】（1）点G即为所求；
（2）
点P即为所求；
类型三、菱形中的无刻度作图
例题：（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知四边形 是菱形， 为线段 上一点．仅用无刻
度的直尺完成下列作图：
(1)如图1，在 上作点 ，使 ；
(2)如图2，在 上作点 ，使 ；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形性质和判定证明、利用菱形的性质证明
【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定：
（1）连接 交 于F，连接 并延长交 于E，点E即为所求；
（2）连接 交于O，连接 并延长交 于F，点F即为所求；
【详解】（1）解：如图所示，连接 交 于F，连接 并延长交 于E，点E即为所求；
易证明 ，则 ，则 ，易证明 ，则 ；
（2）解：如图所示，连接 交于O，连接 并延长交 于F，点F即为所求；
易证明 ，则 ，
易证明四边形 是平行四边形，可得 ，则
【变式训练】
1．（23-24八年级下·江西上饶·期末）如下图，已知四边形 为菱形，请仅用无刻度的直尺按下列要
求作图．
(1)如图（1），点P为 上任意一点，作直线 将菱形分为面积相等的两部分；
(2)如图（2），点E、F为 边中点，以 为边作一个矩形．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【知识点】全等三角形综合问题、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形、利用菱形的性质证明
【分析】（1）连接 交于点 ，连接 延长交 于 ，直线 即为所求．
（2）连接 交于点 ，连接 ，延长 交 于 ，连接 ，延长 交 于 ，连接
即可．
【详解】（1）解：如图中，连接 交于点 ，连接 延长交 于 ，直线 即为所求．
理由： 是菱形，，
，
，
，
，
，
即直线 将菱形分为面积相等的两部分．
（2）解：如图中，连接 交于点 ，连接 ，延长 交 于 ，连接 ，延长 交 于 ，
连接 ，矩形 即为所求作．
理由： 是菱形，
，
，
，
，
∵点E、F为 边中点，
点H、G为 边中点，
，
，
是矩形．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的面积，三角形中位线定理，矩形的判定和性质，菱形的判定和
性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．（2024·江西·中考真题）如图， 为菱形 的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）
(1)如图 ，过点 作 的垂线；
(2)如图 ，点 为线段 的中点，过点 作 的平行线．
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析．
【知识点】利用平行四边形的性质求解、利用菱形的性质证明
【分析】（ ）作直线 ，由菱形的性质可得 ，即 为 的垂线；
（ ）连接 并延长，与 的延长线相交于点 ，作直线 ，因为点 为线段 的中点，所以
，因为 ，所以 ， ，故可得 ，得到
，所以四边形 为平行四边形，即 ；
本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，掌握菱形的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键．
【详解】（1）解：如图， 即为 所求；
（2）解：如图， 即为所求．
类型四、正方形中的无刻度作图
例题：（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，四边形 为正方形，点E在 边上，请仅用无
刻度直尺完成以下作图：
(1)在图1中，以 为边，在正方形 内作一个平行四边形；
(2)在图2中，在CD上找一个点M，使 ．【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行
四边形的性质证明、根据正方形的性质证明
【分析】本题主要考查了作图—复杂作图、平行四边形的判定与性质、正方形的性质，全等三角形的判定
和性质等知识点：
（1）结合正方形的性质以及平行四边形的判定，连接 ，BD相交于点O，连接 并延长，交AD于点
F，连接CF，则平行四边形 即为所求．
（2）结合正方形的性质，连接 ，BD相交于点O，连接 并延长，交AD于点F，连接CF交BD于点
G，连接 并延长，交CD于点M，则点M即为所求．
熟练掌握平行四边形的判定与性质、正方形的性质是解决此题的关键．
【详解】（1）解：如图1，连接 ，BD相交于点O，连接 并延长，交AD于点F，连接CF，
∵ 为正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形即为所求．
（2）如图2，连接 ，BD相交于点O，连接 并延长，交AD于点F，连接CF交BD于点G，连接
并延长，交CD于点M，
∵ 为正方形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知，四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
则点M即为所求．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图，已知正方形 ，E为 上任意一点，请仅用无刻度的直
尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
(1)请在图1中完成：在边 上找点F，使得直线 将正方形 的面积平均分成相等的两部分；
(2)请在图2中完成：在边 上找点G，使得 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】根据正方形的性质证明
【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌
握轴对称的性质，灵活运用所学知识解决问题．
（1）连接 交于O，连接 并延长交 于F，直线 即为所求；
（2）连接 交于H，连接 交 于G，则 即为所求．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所作；
（2）解：如图，点 即为所作，2．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）已知，在正方形 中，请仅用无刻度直尺按要求画图．
（不写作法，保留作图痕迹）
(1)如图1，点E为对角线 上一点，在 上取一点F，使 ；
(2)如图2，点M为 边上一点，在 上取一点N，使 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方
形的性质证明、无刻度直尺作图
【分析】（1）连接 交 于点O，连接 并延长交 于点M，连接 并延长交 于点N，连接
交 于点F，则点F即为所求；
（2）连接AC，连接DM交AC于点O，连接BO并延长交AD于点N，则点N即为所求．
【详解】（1）如图，点F即为所求，
理由：∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，点N即为所求，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，全三角形的判定与性质，正方形的性质，灵活运用各知识点是解答
本题的关键．
类型五、平行四边形中的折叠问题
例题：（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图将 沿对角线 折叠，使点 落在 处，若
， ，则 °．
【答案】110
【知识点】三角形的外角的定义及性质、利用平行四边形的性质证明、折叠问题【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理及外角性质等，熟练掌握折叠
的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得 ，根据折叠的性质可得 ，
进一步可得 ，根据已知条件可得 的度数，进一步求出 的度数即可求解．
【详解】解：在平行四边形 中， ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
在 中， ，
∴
故答案为：110．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·上海·期中）如图所示，已知 是平行四边形 的边AB上一点，将 沿直线
DE折叠，点 恰好落在边 上的点 处，如果 的周长为 ， 的周长为 ，那么CF的长等
于 ．
【答案】
【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题
【分析】本题考查了平行四边形的性质及翻折变换，由折叠性得 ， ， 根据题意可得
， ， 则 ，再根据平行四边形的性质可得
，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由折叠性得 ， ，
∵ 的周长为 ， 的周长为 ，
∴ ， ，
∴ 的周长 的周长 平行四边形 的周长 ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的周长 ，故答案为： ．
2．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在平行四边形纸片 中， ，将纸片沿对角线
对折至 ，交 边于点E，此时 恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是 ．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、勾股定理与折叠问题、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质和几何图形的翻折问题．根据翻折的性质，及已知的角度，可得
为等边三角形，再由四边形 为平行四边形，且 ，从而知道 ，A，B三点在同一条
直线上，再由 是对称轴，所以 垂直且平分 ， ，求 边上的高，从而得到面
积．
【详解】解：∵ 恰为等边三角形，
∴
∴ 为等边三角形，
由四边形 为平行四边形，且 ，
∴ ，所以 ， ，
∴ ，A，B三点在同一条直线上，
∵ 是对折线，
∴ 垂直且平分 ，
∴ ，
过点C作 ，
则有 ，
∴ ，
∴ ，
∴折叠重合部分的面积是 ．
故答案为： ．3．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平行四边形 中， ， ，
，点E是线段 上一个动点，将 沿 折叠到 位置、再将 沿行 折叠
到 位置，当 落在平行四边形 边上时，则 的长度为 ．
【答案】 或
【知识点】二次根式的乘法、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题
【分析】如图，当 落在 上时，由对折可得： ， ， ，
， ，记垂足为 ，再进一步可得答案；如图， 当 ，
，此时 重合， ， ，
可得 落在 上，从而可得答案．
【详解】解：∵平行四边形 ，
∴ ， ， ，
如图，当 落在 上时，
∵由对折可得： ， ， ， ，
∴ ，记垂足为 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图，当 ， ， ，
此时 重合， ， ，
∴ 落在 上，
∴ ，
综上： 或 ．
故答案为： 或
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性
质，二次根式的运算，作出图形，利用数形结合的方法解题是关键．
类型六、矩形中的折叠问题
例题：（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，将长方形纸片 折叠，使点 落在点 处，折痕为
． 为 上一点，连接 ，若 ， ，则 ．
【答案】
【知识点】矩形与折叠问题
【分析】本题考查折叠的性质，解答本题的关键是由折叠的性质得到 ．
由 ，求出 ，由邻补角的性质得到 ，由折叠的性质可得到
．
【详解】解： ， ，
，
，
由折叠的性质得： ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·北京顺义·期中）有一张矩形纸片 ， ， ，将纸片折叠，使
边落在 边上，折痕为 ，再将 以 为折痕向右折叠， 与 交于点F（如下图），则
的长为 ．【答案】1
【知识点】根据等角对等边求边长、矩形与折叠问题
【分析】由矩形的性质可知， ，由折叠可知 ，故 ， ，可得
，可知 ．本题考查了折叠的性质．折叠前后对应角相等，对应线段相等，
关键是推出特殊三角形．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴
∴由折叠的性质可知：第二幅图中， ， ，
∴ ， ，
则第三幅图中， ，
．
故答案为：1．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知矩形纸片 ， ， ，点 在边 上，连接
，将 沿 所在的直线折叠，点 的对应点为 ，把纸片展平，连接 ， ，当 为直
角三角形时，线段 的长为 ．
【答案】 或
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、折叠问题
【分析】本题考查矩形与折叠的综合，解题的关键是掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，直
角三角形的性质，根据题意，分类讨论：当 时，利用勾股定理，进行解答；当 时，
根据折叠的性质，可得 ，根据等边对等角， ，
根据 ， ，得到 ，再根据等角对等边，进行解答，
即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形， ，
∴ ， ， ，
由折叠可得， ，∴
∴
∴
∴
当 时，此时点 在 上；
∴设
∴
∴
解得：
∴ ；
当 时，此时点 在矩形内部，
∵将 沿 所在的直线折叠，点 的对应点为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 或 ，故答案为： 或 ．
3．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：小红在学习了图形的折叠相关知识后，对矩形的折叠进行了探究，
已知矩形 中， ， ， 为 上一点，将 沿直线 翻折至 的位置（点 落
在点 处）．
(1)【动手操作】
当点 落在边CD上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即 的位置，不写作法，保
留作图痕迹），此时 ________________；
(2)【问题探究】
如图②， 与CD相交于点 ， 与CD相交于点 ，且 ，求证： ；
(3)【拓展延伸】
已知 为射线 上的一个动点，将 沿 翻折，点 恰好落在直线 上的点 处，求 的长．
【答案】(1)作图见解析，6；
(2)见解析；
(3)4或16．
【知识点】全等三角形综合问题、矩形与折叠问题、作垂线(尺规作图)、勾股定理与折叠问题
【分析】本题主要考查矩形与折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握矩形与折叠
的性质，数形结合分析是解题的关键．
（1）根据点 的对应点 在 上，可得折线 是 的垂直平分线，由此可作图，根据矩形的性质，折
叠的性质可得 ，由勾股定理即可求解；
（2）由翻折的性质得 ， ， ，设 ，则 ，
，可得 ， ， ，
，在 中，由勾股定理
解得 ， ，由此即可求解；
（3）分两种情况：如解图所示，点 在线段AB上时；如解图所示，点 在 延长线上时；根据矩形、
折叠，勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：作图如图所示，将 沿直线 翻折至 的位置（点 落在点 处），点 落
在边CD上，∴ 即为所求的三角形，
∵折叠，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
故答案为：6．
（2）证明：由翻折的性质得 ， ， ，
，
设 ，则 ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
， ，
在 中，由勾股定理得， ，
解得 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：分两种情况：
如解图所示，点 在线段AB上时，由翻折的性质得 ， ， ， ，
，
,
四边形 是矩形，
，
，
，
，
；
如解图所示，点 在 延长线上时，
由翻折的性质得 ， ， ，
,
设 ，则 ， ，
，
,
在 中，由勾股定理得， ，
解得 ，即 ，
综上所述， 的长为4或16．
类型七、菱形中的折叠问题
例题：（2024·广东东莞·二模）如图，将菱形纸片 折叠，使点 落在 边的点 处，折痕为 ，
若 ，则 的度数是 ．【答案】 /80度
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边对等角、利用菱形的性质求角度、折叠问题
【分析】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角和平行线的性质，
首先根据平行的性质得到 ，由折叠得 ，然后求出 ，然后根据等边对等角和平行
线的性质求解即可．
【详解】∵四边形 是菱形
∴
由折叠可得，
∴
∴
∵四边形 是菱形
∴
∴ ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在菱形纸片 中， ，折叠菱形纸片 ，使
点C落在 （点P为 中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕 ．则 的大小为
【答案】30°/30度
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、折叠问题
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质及内角和定理，连接 ，
由菱形的性质及 ，得到三角形 为等边三角形，P为 的中点，利用三线合一得到 为角
平分线，得到 ，进而求出 ，由折叠的性质得到
，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
【详解】解：如图，连接 ，∵四边形 为菱形， ，
∴ 为等边三角形， ，
∵P为 的中点，
∴ 为 的平分线，即 ，
∴ ，
∴由折叠的性质得到 ，
在 中， ，
∴ ，
故答案为：
2．（24-25九年级下·辽宁·开学考试）如图，在菱形 中， ， ，点E是 的中点，点
F为 上一动点，将 沿 折叠，得到 ．若 与菱形 的对角线平行，则 的长
为 ．
【答案】 或3
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、折叠问题
【分析】此题考查了菱形的性质、轴对称的性质、含 角的直角三角形的性质等知识，分两种情况画出
图象进行解答即可．
【详解】解：①若 ，如解图①，连接 ，
∵四边形 是菱形，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，由折叠 ，
∴ ，
∴ ．
∵点E是 的中点，
∴ ，
过点E作 ，垂足为G，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②若 ，如解图②，连接 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
又∵ ， 是等边三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ 是等边三角形，点 落在 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述， 的长为 或3．
故答案为： 或3
3．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，菱形纸片 的边长为 ，点E在边 上，将纸片滑
折叠，点B落在 处， ，垂足为F．若 ，则 的长是 ．【答案】2
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、折叠问题
【分析】本题考查的是菱形的性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的
应用，二次根式的除法运算，掌握以上基础知识是解本题的关键；证明 ，过点E作 于
点G，再利用等腰直角三角形的性质与含30度角的直角三角形的性质进一步解答即可．
【详解】解：∵在菱形 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又由折叠有 ，且 ，
∴ ，
过点E作 于点G，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∵在菱形 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ，∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
4．（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片 中， ．
（1） ．
（2）点E在 边上，将菱形纸片 沿 折叠，点C对应点为点 ，且 是 的垂直平分线，
则 的大小为 ．
【答案】 60 75
【知识点】线段垂直平分线的性质、利用菱形的性质求角度、折叠问题
【分析】本题考查菱形的性质，垂直平分线的定义．
（1）直接根据菱形的对角相等即可求解；
（2）如图，由垂直平分线的定义得到 ，从而 ，由菱形的性质得到 ，
从而由折叠有 ，因此 ，再根据菱形的对边平行即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形 是菱形，
∴ ．
故答案为：60
（2）如图，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∵在菱形 中， ，
∴ ，
由折叠可得 ，
∴ ，∵在菱形 中， ，
∴ ．
故答案为：75
类型八、正方形中的折叠问题
例题：（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形 中，点 为射线 上一个动点．连接
，把 沿 折叠，当点 的对应点 刚好落在线段 的垂直平分线上时， ．
【答案】30°或 / 或30°
【知识点】线段垂直平分线的性质、根据正方形的性质证明、折叠问题
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、折叠的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的
性质，注意分类讨论．分两种情况：当点 落在图①的位置时，当点 落在图②的位置时，分别画出图形，
求出结果即可．
【详解】∵点P在射线 上运动，故分两种情况；
当点 落在图①的位置时，
为线段 的垂直平分线，
，
为正方形，
，
，
．
当点 落在图②的位置时
为线段 的垂直平分线，
，为正方形，
，
，
．
故答案为： 或 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，正方形 的边长为3，将正方形折叠，使点D落到 边
上的点E处，折痕为 ，若 ，折痕 的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理与折叠问题、正方形折叠问题
【分析】本题主要考查正方形的性质以及翻折变换，折叠问题其实质是轴对称变换．据折叠可得
， ， ，根据勾股定理求出 、 的长．继而求出 ，
，最后在 中由面积法，根据 求出 ．
【详解】解：设 ，则 ，
， ，
，
在 中， ，即 ，
解得： ，即 ．
∴
连接 、 ，
在 中， ，
由折叠可知： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为 ．
2．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边 在 轴上，点
的坐标为(2,0)，点 在边 上，将 沿 折叠，点 落在点 处．若点 的坐标为 ，则点
的坐标为 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、坐标与图形综合
【分析】设 ，可得 ，在 中，利用勾股定理可求出 ，根据翻折的性质得出
， ， ，设 ，在 中利用勾股定理可求出 值，即可得答案．
【详解】解：如图，设 与 轴交于点 ， ，∵四边形 是正方形， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵点 的坐标为(2,0)，
∴ ，
∵将 沿 折叠，点 落在点 处．若点 的坐标为 ，
∴ ， ， ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴点 的坐标为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查折叠性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、坐标与图形及勾股定理，利用勾股定理
求出正方形的边长是解题关键．
3.（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点 是正方形 的边 上一动点(点 不与 、 重合)，
连接 ，将 沿 翻折，使点 落在点 处．(1)当 最小时， 的值为 ；
(2)如图 ，连接 并延长，交 的延长线于点 ，在点 的运动过程中， 的大小是否变化，若变
化，请说明理由；若不变，请求 的值；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接 ，试探索 、 、 之间的数量关系．
【答案】(1)
(2) 为 ，理由见解析
(3)
【分析】（1）当 ， ， 三点共线时， 有最小值，由等腰直角三角形的性质可得出答案；
（2）过点 作 于点 ，则 ，证出 ，则可得出结论；
（3）过点 作 ，交 的延长线于点 ，则 ，证明 ，得出
，则可得出结论．
【详解】（1）解：∵将 沿 翻折，
∴ ， ， ，
∵ ，即 ，
∴当 ， ， 三点共线时， 有最小值，
此时 ，
如图，设 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ；（2） 为 ．
理由如下：
过点 作 于点 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵将 沿 翻折，使点 落在点 处，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
又∵ ，
∴ ；
（3） ．
理由如下：
过点 作 ，交 的延长线于点 ， ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
压轴能力测评（16题）
一、单选题
1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，将矩形纸片 沿 折叠，使点 落在对角线 上的点
处．若 ，则 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的应用、矩形与折叠问题
【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，三角形内角和定理，先由矩形的性质得到 ，
再由折叠的性质求出 的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
故选：C．
2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在 中， 为边 上一点，将 沿 折叠
至 处， 与 交于点 ，若 ， ，则 的大小为（ ）
A． B．108° C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质求解、折叠问题
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质是本题
的关键．由平行四边形的性质可得 ，由三角形的内角和定理可求 的度数，由折叠的
性质可求 ．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
由折叠的性质可得 ．
故选B．3．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在菱形 中， ，点M，N分别在 和
上，沿 将 折叠，点A恰好落在 边上的点E处．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30度角的直角三角形、勾股定理与折叠问题、利用菱形的性质求线段长
【分析】作 ，根据菱形的性质得 ，其中 ，然后设 ，可
表示 ，根据勾股定理得 ，进而得出 接下来
根据勾股定理列出方程，求出解即可得出答案．
【详解】如图所示，过点M作 ，交 的延长线于点F，
∵四边形 是菱形，且 ，
∴ ，其中 ．
在 中， ，设 ，
∴ ，
根据勾股定理，得 ．
∴ ，
根据折叠得 ，
在 中， ，
即 ，
解得 ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
4．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在正方形纸片 中，M，N分别是 的中点，将纸
片沿过点C的直线折叠，使点D落在 上的点E处，折痕CF交AD于点F，连接 ，若 ，则
的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质证明、折叠问题
【分析】先证明 是矩形，再推出 是 的垂直平分线，求出 ，再利用勾股定理求出 ，
得到 ，设 ，则 ，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：∵四边形 为正方形，
∴ ， ， ，
∵M，N分别是 的中点，
∴ ， ，
∴ 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
由折叠的性质得： ， ，
∴ ，MN=CD=4，
在 中， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，故选：D．
【点睛】本题考查折叠的性质、矩形的判定与性质、正方形的性质，翻折变换的性质，适时利用勾股定理
是解答此类问题的关键．
二、填空题
5．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在 中， 将 沿 的对角线 折
叠，使点B的对应点落在点E处，且点 B、A、E在一条直线上， 交 于点F，若 ，则
的长为 ．
【答案】
【知识点】三线合一、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解、折叠问题
【分析】由折叠的性质可得出 ，由三线合一的性质可得出 ，由平行四边形的
性质可得出 ，由三角形内角和定理可得出 ，再证明 是等边三角形，由等边
三角形的性质可得出 2，最后根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解：由题意知 折叠得到
∴ ，
，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ 2， ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形三线合一的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定以及性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键．
6．（23-24八年级下·湖北鄂州·期末）如图，在菱形 中，E是 上一点，沿 折叠 ，点A
恰好落在 上的点F处，连接 ，若 ，则 ．
【答案】 /100度
【知识点】利用菱形的性质求角度、折叠问题
【分析】本题考查了翻折变换，菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的对角线平分每一组对角是解
题的关键．根据菱形的性质得到 ，根据折叠的性质得到 ，根据等腰三角形的性质得到
，求得 ，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵沿 折叠 ，点A恰好落在 上的点F处，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
7．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在矩形 中， 为AD边的四等分点（ ），连接
，将矩形沿 折叠，点 落在点 处，点 落在点 处， 与AD交于点 ，连接 ．若 ，
，则 ，点 到 的距离为 ．【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，由四边形 是矩形，得 ，
， ， ，再由折叠性质和勾股定理求出 ，过 作
于点 ，由折叠性质和勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
由折叠性质可知： ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 边的四等分点（ ），
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
如图，过 作 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由折叠性质可知： ， ，
在 中，由勾股定理得： ，设 ，则 ，
由勾股定理得： ， ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴由勾股定理得： ，
∴ ，
故答案为： ， ．
8．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，正方形 的边长为 ，点E是 边的中点，点F
是边 上不与点A、D重合的一个动点，将 沿直线 折叠，使点A落在点 处．当 为等腰三
角形时， 的长为 ．
【答案】 或
【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、等腰三角形的定义
【分析】本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，
解答本题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题．首先证明 ，只要分两种情形讨论即可：当
时，连接 ．构建方程即可；当点F在 中点时，满足条件．
【详解】解：如图，连接 ，
∵正方形 的边长为 ，点E是 边的中点，
∴ ，
由折叠的性质得： ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
当 时，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点 三点共线，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
即 ；
如图，当点F为 的中点时，
由折叠的性质得： ．
∴四边形 是菱形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
即 垂直平分 ，
∵四边形 是正方形，
∴ 垂直平分 ，∴ ，此时 为等腰三角形，满足条件，
此时 ；
综上所述， 的长为 或 ．
故答案为： 或
三、解答题
9．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在 中， 分别是边 上的点，
将 沿 进行折叠，使点 落在 边上的点 处，点 落在 外的点 处，若
，求 的度数．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质求解、折叠问题
【分析】本题考查了根据折叠性质求解，平行四边形性质，三角形内角和，根据三角形内角和先求
的度数，由折叠性质可知 ，再结合平行四边形性质即可求出结果．
【详解】解： ，
．
由折叠性质可知 ，
，
四边形 为平行四边形，
，
，
，
，
．
10．（23-24八年级下·河南开封·期末）在 ， ．请仅用无刻度的直尺，按要求完成以下作
图（保留作图痕迹）．(1)如图1，点E在边 上，且 ，作 的平分线．
(2)如图2，点E、F分别在边 、 上，且 ，连接 ．过点A 作 的垂线．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、平行四边形性质和判定的应用、根据菱形
的性质与判定求角度
【分析】（1）连接 ，即可作答；
（2）连接 、 ， 与 交于点O，连接 ，并延长交 于N，连接 ， 即为所求．
【详解】（1）如图，连接 ，
即为所求，
证明∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
（2）连接 、 ， 与 交于点O，连接 ，并延长交 于N，连接 ，如图，
即为所求．
证明：连接 ，并延长交 于M，连接 、 、 ，在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
同理可证明： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质等
知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
11．（23-24九年级上·江西九江·期末）如图，四边形 为矩形，且有 ．请用无刻度直尺完成
下列作图，保留必要的画图痕迹．
(1)在图1中求作 边的中点 ；
(2)在图2中的边 上求作点 ，使 ．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、根据矩形的性质求线段长
【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质和判定：
（1）连接 ，过 的交点与点E作直线，交 于点F，即可；
（2）方法一：连接 ，并延长 交 于点P，连接 交 于点H，即可；方法二：连接 ，交
于点Q，连接 ，并延长 交 于点H，即可；
【详解】（1）解：如图，点P即为所求；
（2）解：如图，点H即为所求．
12．（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，点C为线段AB上一点且不与A，B两点重合，分别以AC，
BC为边向AB的同侧做角为60°的菱形．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，连接DF，若AC＝BC，作出线段DF的中点M；
(2)在图2中，连接DF，若 ，作出线段DF的中点N．【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等三角形综合问题、平行四边形性质和判定的应用、利用菱形的性质证明
【分析】（1）连接AF、BD，相交于点O，连接CO并延长，交DF于点M，根据两菱形边长相等，角度
相等，可证 ， ，得到OA=OB，OF=OD，通过C为AB中点可得OC⊥AB，
OM⊥DF，根据等腰三角形三线合一，即M是DF中点；
（2）连接AD、BF，并延长相交于点H，连接CH、DF，相交于点N，根据菱形是60°角可知AD∥CF，
BF∥CD，所以四边形DCFH是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分，所以点N即是DF中点．
【详解】（1）如图1中，点M即为所求．
（2）如图2中，点N即为所求．
【点睛】本题考查作图，熟练利用菱形的性质和平行四边形的性质是解题关键，本题中第（2）小题方法
同样适用于第（1）小题．
13．（23-24八年级下·江西赣州·期末）在正方形 中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保
留作图痕迹）．(1)在图①中，在 上作出点O，使 ；
(2)在图②中，点E是 上一点，请过点A作线段 的平行线 ，其中点F在 上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性
质证明、无刻度直尺作图
【分析】（1）根据正方形的性质作图即可；
（2）延长 交 于点G，连接 并延长交 于点F，连接 、 ，即可求解．
【详解】（1）解：如图点O即为所求；
∵四边形 是正方形，
∴ ；
（2）解：如图， 即为所求；
延长 交 于点G，连接 并延长交 于点F，连接 、 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查无刻度尺作图、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定及对顶角相等，
熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在菱形 中， 分别是 边上
一点，将菱形沿 折叠，当点 落在 的中点 处时，连接 ．
(1)求证： 是直角三角形；
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】根据三线合一证明、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明、折叠问题
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握相关结论即可．
（1）连接 ．可推出 是等边三角形，根据 是 的中点，推出 即可求证；
（2）由题意得 ．推出 ；设 ，则 ．根据 ，即
可求解；
【详解】（1）证明：如答图，连接 ．四边形 是菱形， ，
是等边三角形．
是 的中点，
，即 ，
，
即 是直角三角形．
（2）解：由（1）可知， 是等边三角形， 是 的中点．
．
在 中，由勾股定理可得
翻折至 ，
．
设 ，则 ．
在 中， ，
即 ，
解得 ，
即 ．
15．（24-25八年级上·四川成都·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数
学活动．
如图，长方形 中， 是射线 上一点，将 沿 折叠后得到 ．
【初步探究】
如图1， 在线段 上，过点 作 的平行线交 ， 的两边于 ， ，若 ， ，求
的长；
【深入探究】如图 ， 在线段 的中点上，延长 交 于点 ，若 ，试说明 与 满足的数量关系；
【拓展延伸】
若 ， ，连接 ， ，当 是以 为底的等腰三角形时，直接写出 的长．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题
【分析】
本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形和折叠，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
（1）如图1，由折叠得： ， ，先由勾股定理得 ，则 ，设 ，
则 ，最后根据勾股定理列方程解答即可；
（2）如图 ，连接 ，设 ，则 ， ，证明 ，则
，根据勾股定理列方程可得 ，从而可以解答；
（3）设 ，分两种情况：①当点 在线段 上时， ，如图 ，过点 作 于
，交 于 ，②当点 在线段 的延长线上时， ，过点 作 于 ，交 于
，则 ，根据勾股定理即可解答．
【详解】
解：（1）如图1，由折叠得： ， ，
∵四边形 是长方形，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
由勾股定理得： ，
，，
；
（2）如图 ，连接 ，
是 的中点，
，
设 ，则 ， ，
由折叠得： ， ，
，
， ，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
；
（3）设 ，
分两种情况：
①当点P在线段 上时， ，
如图3，过点 作 于 ，交 于 ，
，，
， ，
，
由勾股定理得： ，
，
，
，
，
，
；
②当点 在线段 的延长线上时，如图 ， ，过点 作 于 ，交 于 ，则
，
同理得： ，
，
，
，
，
，
；
综上， 的长为 或 ．
16．（24-25八年级上·江苏南京·期中）数学书第69页数学活动《折纸与证明》中提到：折纸，常常能够为证明一个命题提供思路和方法．
【初步体验】
操作①：取一张矩形 纸 ，将 边折叠到 边上，折痕为 ，点 的对应点为 ．（如图1
所示）
操作②：将 折叠到 边上，折痕为 ，（如图2所示）
（1）若 与 恰好重合，则 ；
【初步探究】
在操作①中，沿 剪开，易得一张正方形纸 ，让我们继续折叠下去…
操作③：把正方形 对折后再展开，折痕为 ；
操作④：点 在边 上，翻折 ，使得点 落在折痕 上的点 处，连接 ，则 是等边
三角形；（如图3所示）
（2）求证： 是等边三角形；
【深入探究】
操作⑤：把正方形 对折后再展开，折痕为 ；
操作⑥：将 沿 翻折到 位置，延长 交 于点 ，则点 是 的三等分点．（如图4所示）（3）通过计算证明：点 是 的三等分点．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）见解析
【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据正方形的性质与判定
求线段长
【分析】（1）勾股定理求得 ，根据折叠可得 ，即可求解；
（2）根据折叠的性质可得 ， ，即可得证；
（3）连接 ，证明 ，得出 ，设正方形 的边长为 ，
，则 ，进而在 中，勾股定理求得 ，即可得证．
【详解】解：（1）∵四边形 是矩形
∴
∵折叠，
∴ ，
∴四边形 是正方形
∴
∴ ，
∵
∴ ，
（2）∵点 在边 上，翻折 ，使得点 落在折痕 上的点 处，
∴ ，
∵把正方形 对折后再展开，折痕为 ；
∴
∴
∴ 是等边三角形；
（3）证明：设正方形 的边长为 ，
根据折叠可得 ， ，
则 ，
连接 ，如图所示，在 中，
∴ ，
∴
设 ，则 ，
在 中，
∴
解得： ，
∴ ，即点 是 的三等分点．
