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专题 12.17 构造三角形全等方法——截长补短和倍长中线
（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
当不能直接证明两个三角形全等时，可以通过添加适当的辅助线，使它们
在两个合适的三角形之中，再证这两个三角形全等，本专题介绍截长补短法和
倍长中线法.
【知识点一】截长补短法
截长法：在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证明剩下的线段与
另一短边相等。
补短法：延长较短线段至与另一条已知的较短线段的长度相等，然后证明
新线段与最长的已知线段的关系。
【知识点二】倍长中线法
倍长中线：是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要
连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线
倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】截长补短
【例1】已知：如图，在 中， ， 、 分别为 、 上的点，且 、 交于点 ．
若 、 为 的角平分线．(1)求 的度数；
(2)若 ， ，求 的长．
【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且
∠EAF= ∠BAD．求证：EF=BE+FD．
【变式2】如图所示，AD平分∠BAC，P是射线AD上一点，P与A不重合， ．
求证： ．
【题型2】倍长中线
【例2】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知 中， ， ， 是
的中线，求 的取值范围．
【变式1】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图， ， ， ．回答下列问题：
(1)求证： 和 是兄弟三角形．
(2)取 的中点 ，连接 ，试说明 ．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中
线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题．
①请在图中通过作辅助线构造 ，并证明 ．
②求证： ．
【变式2】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图1，在 中， 是 边上的中线，
和 的周长之差为 ，且 的长是 ．
(1)求 的长；
(2)求 长度的取值范围；
(3)若 ， 是 的中点，如图 ，直接写出 的面积．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例】（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知，如图1，若 是 中 的内角平分线，通过证明
可得 ，同理，若 是 中 的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在 中， 是 的内角平分线，则 的
边上的中线长 的取值范围是
2、拓展延伸
【例1】课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在 中， 平分 交 于点D，且 ，求证： ，小明的
方法是：如图2，在 上截取 ，使 ，连接 ，构造全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段 构造全等三
角形进行证明．辅助线的画法是：延长 至F，使 =______，连接 请补全小天提出的辅助线的画
法，并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在 的内部， 分别平分 ，且 ．求证：
．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在 中， ，点D在边 上， ，那么 平分 小东判断这
个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
【例2】（22-23八年级上·广东汕头·期末）（1）阅读理解：如图1，在 中，若 ， ．
求 边上的中线 的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长 至 ，使 ，连接 ．利用全等将边 转化到 ，在 中利用三角形三边关系即可求出中线 的取值范围，在这个过程中小
聪同学证三角形全等用到的判定方法是______，中线 的取值范围是______；
（2）问题解决：如图2，在 中，点 是 的中点， ． 交 于点 ， 交
于点 ．求证： ；
（3）问题拓展：如图3，在 中，点 是 的中点，分别以 ， 为直角边向 外作
和 ，其中 ， ， ，连接 ，请你探索 与
的数量与位置关系．
