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2.3.3 点到直线的距离公式 -B提高练
一、选择题
1．（2020全国高二课时练）点P(a，0)到直线3x+4y-6=0的距离大于3，则实数a的取值范围为 ( )
A．a>7 B．a<-3
C．a>7或a<-3 D．a>7或-3<a<7
【答案】C
【解析】根据题意，得 >3，解得a>7或a<-3.
2．（2020湖南衡阳高二月考） “C＝5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意知点 到直线 的距离为 等价于 ，解得 或
，所以“ ”是“点 到直线 的距离为 ”的充分不必要条件，故选B.
3.（2020上海高二课时练）点 到直线： 的距离 最大时， 与 的值依次为(
)
A．3，－3 B．5，2
C．5，1 D．7，1
【答案】C
【解析】 直线 ，即 ，
直线 是过直线 和 交点的直线系方程，
由 ，得 ，可得直线 经过定点 ，
当直线 与 垂直时，点 到直线 的距离最大，
的最大值为 ，
此时 轴，可得直线 斜率不存在，即 .故选：C.
4．（2020湖南师大附中高二月考）在平面内，与 轴、 轴和直线 的距离都相等的点共有（
）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】设满足题意得点的坐标为（a，b），∵点到x轴、y轴的距离相等，∴a2＝b2，
∴a＝b或者a＝﹣b；由点到直线的距离公式可得：点到直线x+y﹣2＝0的距离的平方d2 由
题可得a2＝b2 ，当a＝b时，可解得a＝b＝2± ；
当a＝﹣b时，可解得a＝﹣b＝± ；∴符合题意得点总共4个故选：D．
5．（多选题）（2020·广东中山高二期末）下列说法中，正确的有（ ）
A．直线y＝ax﹣3a+2 （a∈R）必过定点（3，2）
B．直线y＝3x﹣2 在y轴上的截距为2
C．直线x y+1＝0 的倾斜角为30°
D．点（5，﹣3）到直线x+2＝0的距离为7
【答案】ACD
【解析】对A,化简得直线 ,故定点为 .故A正确.对B, 在 轴上的截距为
.故B错误.对C,直线 的斜率为 ,故倾斜角 满足 ,即.故C正确.对D, 因为直线 垂直于 轴,故 到 的距离为 .故D正确.
故选：ACD.
6.（多选题）（2020山东潍坊三中高二月考）已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相
等，则实数a的值等于( )
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】因为 和 到直线 的距离相等，由点 和点 到直线的距离公式，
可得 ，化简得 ， ,m
解得实数 或 ，故选BC.
二、填空题
7．（2020·浙江丽水高二期中）已知直线l： ，则点 到直线l的距离等于________；直
线l关于点M对称的直线方程为________．
【答案】 ；
【解析】点 到直线l的距离为 ，
设 为对称直线上任一点，则其关于点M的对称点为 ，因为该点在直线l上，所以
，化简得 ，所以所求的直线方程为 ，
8．（2020上海高二课时练）点 到直线 的距离等于________．【答案】
【解析】化直线方程为一般方程得 ，所以，点 到直线 的距离为
.
9．（2020瓦房店市高级中学高二月考）若点 在直线 上，且 到直线 的距离
为 ，则点 的坐标为_________
【答案】（1，2）或（2，—1）
【解析】点 在直线 上，设 ， 到直线 的距离为 ，
，解得：a=1或a=2，点 的坐标为（1，2）或（2，—1）.
10．（2020合肥一六八中学高二期中）若动点 ， 分别在直线 和
上移动，则 的中点到原点的距离的最小值为__________．
【答案】
【解析】设 的中点坐标为 ，因为 ， ，所以 ，
又 ， 分别在直线 和 上移动，
所以 ，两式相加得 ，
所以 ，即 即为 中点所在直线方程，因此原点到直线 的距离，即为 的中点到原点的距离的最小值；
由点到直线距离公式，可得：距离最小值为： .
三、解答题
11．（2020山东泰安一中高二月考）已知点 ，求：
（1）过点 与原点距离为2的直线 的方程；
（2）过点 与原点距离最大的直线 的方程，最大距离是多少？
（3）是否存在过点 与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设直线 ，则 ．
化简，得 或 ，故直线 的方程为 或
（2）过 点与原点 距离最大的直线是过 点且与 垂直的直线，
由 ，得 ，所以 ，
由直线方程的点斜式得 ，即 ，
即直线 是过 点与原点 距离最大的直线，最大距离为 .
（3）由（2）知，过点 不存在到原点距离超过 的直线，
所以不存在过点 且到原点距离为6的直线.
12．（2020上海高二课时练）直线 ， 相交于点 ，其中 .
（1）求证： 、 分别过定点 、 ，并求点 、 的坐标；
（2）求 的面积 ；（3）问 为何值时， 最大？
【解析】（1）在直线 的方程中令 可得 ，则直线 过定点 ，
在直线 的方程中令 可得 ，则直线 过定点 ；
（2）联立直线 、 的方程 ，解得 ，即点 .
，
，
，所以， ；
（3） 且 ，因此，当 时， 取得最大值，即 .
