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易错点 13 统计
易错点1.看不懂图，分辨不清数据的表示方法
(1)常见的统计图表有柱形图、折线图、扇形图、茎叶图、频数分布直方图、频
率分布直方图等.
(2)频率分布直方图
①作频率分布直方图的步骤
(ⅰ)找出最值，计算极差：即一组数据中最大值与最小值的差；
(ⅱ)合理分组，确定区间：根据数据的多少，一般分5～9组；
(ⅲ)整理数据：
逐个检查原始数据，统计每个区间内数的个数(称为区间对应的频数)，并求出
频数与数据个数的比值(称为区间对应的频率)，各组均为左闭右开区间，最后
一组是闭区间；
(ⅳ)作出有关图示：
根据上述整理后的数据，可以作出频率分布直方图，如图所示.频率分布直图的
纵坐标是，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于
这一组数对应的 频率 ，从而可知频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1.
②频率分布折线图
作图的方法都是：把每个矩形上面一边的中点用线段连接起来.为了方便看图，
折线图都画成与横轴相交，所以折线图与横轴的左右两个交点是没有实际意义
的.
不难看出，虽然作频率分布直方图过程中，原有数据被“压缩”了，从这两种
图中也得不到所有原始数据.但是，由这两种图可以清楚地看出数据分布的总体
态势，而且也可以得出有关数字特征的大致情况.比如，估计出平均数、中位数、
百分位数、方差.当然，利用直方图估计出的这些数字特征与利用原始数据求出
的数字特征一般会有差异.易错点2.数据特征的相关概念没有理解
1.数据的数字特征
(1)最值
一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的
情况.
(2)平均数
①定义：如果给定的一组数是x ，x ，…，x ，则这组数的平均数为x＝ ( x ＋ x
1 2 n 1 2
＋ … ＋ x ).
n
这一公式在数学中常简记为x＝∑x，
i
②性质：一般地，利用平均数的计算公式可知，如果 x ，x ，…，x 的平均数为
1 2 n
x，且a，b为常数，则ax ＋b，ax ＋b，…，ax ＋b的平均数为 a x ＋ b .
1 2 n
(3)中位数
有奇数个数，且按照从小到大排列后为x ，x ，…，x ，则称x 为这组数的
1 2 2n＋1 n＋1
中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为 x ，x ，…，x ，
1 2 2n
则称 为这组数的中位数 .
(4)百分位数
①定义：一组数的p%(p∈(0，100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至
少有p%的数据不大于该值，且至少有(100－p)%的数据不小于该值.
②确定方法：设一组数按照从小到大排列后为 x ，x ，…，x ，计算i＝np%的
1 2 n
值，如果i不是整数，设i 为大于i的最小整数，取xi 为p%分位数；如果i是
0 0
整数，取为 p%分位数.
(5)众数
一组数据中，出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
(6)极差、方差与标准差
①极差：一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差，描述了这
组数的离散程度.
②方差
定义：如果x ，x ，…，x 的平均数为x，则方差可用求和符号表示为 s2＝ ∑ ( x
1 2 n i
－ x)2＝∑x－x2.
性质：如果a，b为常数，则ax ＋b，ax ＋b，…，ax ＋b的方差为 a 2 s 2 .
1 2 n
③标准差
定义：方差的算术平方根称为标准差.一般用s表示，即样本数据x ，x ，…，x
1 2 n的标准差为s＝.
性质：如果a，b为常数，则ax ＋b，ax ＋b，…，ax ＋b的标准差为|a|s.
1 2 n
2.用样本的数字特征估计总体的数字特征
一般情况下，如果样本容量恰当，抽样方法合理，在估计总体的数字特征时，
只需直接算出样本对应的数字特征即可.
易错点3.两个统计模型理解错误
1.变量的相关关系
(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定
另一个的程度，这种关系称为相关关系.
(2)相关关系的分类：正相关和负相关.
(3)线性相关：如果变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，
则称x与y线性相关.
2.相关系数
(1)r＝xyxy
＝xyx.
(2)当r>0时，成对样本数据正相关；当r<0时，成对样本数据负相关.
(3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0
时，成对样本数据的线性相关程度越弱.
3.一元线性回归模型
(1)我们将y＝bx＋a称为y关于x的回归直线方程，其中
xyxxyxx
(2)残差：观测值减去预测值，称为残差.
4.2×2列联表和χ2
如果随机事件A与B的样本数据的2×2列联表如下.
A A 总计
B a b a＋b
B c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
记n＝a＋b＋c＋d，则
χ2＝.
5.独立性检验
统计学中，常用的显著性水平α以及对应的分位数k如下表所示.α＝P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
K 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
要推断“A与B有关系”可按下面的步骤
(1)作2×2列联表.
(2)根据2×2列联表计算 χ 2 的值.
(3)查对分位数k，作出判断.如果根据样本数据算出 χ2的值后，发现χ2≥k成立，
就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立(也称为A与B
有关)；或说有 1 － α 的把握认为A与B有关.若χ2<k成立，就称不能得到前述结
论.这一过程通常称为独立性检验.
1．从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位： ），所得数据
用茎叶图表示如下，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（ ）
A．甲乙两班同学身高的极差不相等 B．甲班同学身高的平均值较大
C．甲班同学身高的中位数较大 D．甲班同学身高在175 以上的人数较多
2． 年某省高考体育百米测试中，成绩全部介于 秒与 秒之间，抽取其中 个样
本，将测试结果按如下方式分成六组：第一组 ，第二组 ， ，第六组 ，
得到如下频率分布直方图．则该 名考生的成绩的平均数和中位数 保留一位小数 分别
是（ ）A． B． C． D．
3．某地区今年夏天迎来近50年来罕见的高温极端天气，当地气象部门统计了八月份每天
的最高气温和最低气温，得到如下图表：
某地区2022年8月份每天最高气温与最低气温
根据图表判断，以下结论正确的是（ ）
A．8月每天最高气温的平均数低于35℃
B．8月每天最高气温的中位数高于40℃
C．8月前半月每天最高气温的方差大于后半月最高气温的方差
D．8月每天最高气温的方差大于每天最低气温的方差
4．两个具有线性相关关系的变量的一组数据 ， ， ，下列说法错
误的是（ ）
A．落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好
B．相关系数 越接近 ，变量 ， 相关性越强
C．相关指数 越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
D．若 表示女大学生的身高， 表示体重，则 表示女大学生的身高解释了
的体重变化
5．下列说法正确的序号是（ ）
①在回归直线方程 中，当解释变量 每增加一个单位时，预报变量 平均增加
0.8个单位；
②利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得 最小的原理；③已知 ， 是两个分类变量，若它们的随机变量 的观测值 越大，则“ 与 有关
系”的把握程度越小；
④在一组样本数据 ， ，…， （ ， ， ，…， 不全相等）
的散点图中，若所有样本 都在直线 上，则这组样本数据的线
性相关系数为 .
A．①③ B．①② C．②④ D．③④
1．为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单
位： ）的分组区间为 ，将其按从左到右的顺序分
别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已
知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（
）
A．8 B．12 C．16 D．18
2．分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：
则下列结论中错误的是（ ）A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至
2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该
折线图，下列结论错误的是（ ）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4．设（x，y），（x，y），…，（x，y）是变量x和y的n个样本点，直线l是由这
1 1 2 2 n n
些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是
A．直线l过点
B．x和y的相关系数为直线l的斜率
C．x和y的相关系数在0到1之间
D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
5．在一组样本数据（x，y），（x，y），…，（x，y）（n≥2，x,x,…,x 不全相等）
1 1 2 2 n n 1 2 n
的散点图中，若所有样本点（x，y）(i=1,2,…,n)都在直线y= x+1上，则这组样本数据的
i i
样本相关系数为（ ）
A．－1 B．0 C． D．1一、单选题
1．2022年2月4日至2月20日春节期间，第24届冬奥会在北京市和张家口市联合举行.共
有 个冬奥村供运动员和代表队官员入住，其中北京冬奥村的容量约为 人，延庆冬奥
村的容量约 人，张家口冬奥村的容量约 人.为了解各冬奥村服务质量，现共准备
了 份调查问卷，采用分层抽样的方法，则需在延庆冬奥村投放的问卷数量是（ ）
A．58份 B．50份 C．32份 D．19份
2．某校举办抗击新冠疫情科普知识演讲活动，如图是七位评委为某选手打出的分数的茎叶
图，去掉一个最高分和一个最低分后，剩下数据的平均数是（ ）
A．87 B．86 C．85 D．84
3．变量 之间有如下对应数据：
3 4 5 6 7
13 11 10 8 7
已知变量 与 呈线性相关关系，且回归方程为 ，则 的值是（ ）A．
B． C． D．
4．某学校举行诗歌朗诵比赛，10位评委对甲、乙两位同学的表现打分，满分为10分，将
两位同学的得分制成如下茎叶图，其中茎叶图茎部分是得分的个位数，叶部分是得分的小
数，则下列说法错误的是（ ）
A．甲同学的平均分大于乙同学的平均分
B．甲、乙两位同学得分的极差分别为2.4和1
C．甲、乙两位同学得分的中位数相同
D．甲同学得分的方差更小5．如图是一组实验数据的散点图，拟合方程 ，令 ，则 关于 的回归
直线过点 ， ，则当 时， 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．雨滴在下落过程中，受到的阻力随速度增大而增大，当速度增大到一定程度时，阻力与
重力达到平衡，雨滴开始匀速下落，此时雨滴的下落速度称为“末速度”．某学习小组通
过实验，得到了雨滴的末速度v（单位：m/s）与直径d（单位：mm）的一组数据，并绘制
成如图所示的散点图，则在该实验条件下，下面四个回归方程类型中最适宜作为雨滴的末
速度v与直径d的回归方程类型的是（ ）．
A． B．
C． D．
7．下列命题中正确的是（ ）
A．数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数
B．对一组数据 ，如果将它们变为 ，其中 ，则平
均数和标准差均发生改变
C．有甲､乙､丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样
本容量为30
D．一般可用相关指数 来比较两个模型的拟合效果， 越大，模型拟合效果越好
8．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段事件内没有发生大规模群体感染的标志是“连续 日，每天新增疑似病例不超过 人”．过去 日，甲、乙、丙、丁
四地新增疑似病例数据信息如下：
甲地：总体平均数为 ，中位数为 ；
乙地：总体平均数为 ，总体方差大于 ；
丙地：中位数为 ，众数为 ；
丁地：总体平均数为 ，总体方差为 ．
则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ）
A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地
二、多选题
9．2021年某市教育部门组织该市高中教师在暑假期间进行集中培训，培训后统一举行测
试．现随机抽取100名教师的测试成绩进行统计，得到如图所示的频率分布折线图，已知
这100名教师的成绩都在区间 内，则下列说法正确的是（ ）
A．这100名教师的测试成绩的极差是20分
B．这100名教师的测试成绩的众数是87.5
C．这100名教师中测试成绩不低于90分的人数约占30%
D．这100名教师的测试成绩的中位数是85分
10．已知由样本数据点集合 ， ，2， ， ，求得的回归直线方程为
，且 ，现发现两个数据点（1.3，2.1）和（4.7，7.9）误差较大，去除后
重新求得的回归直线 的斜率为1.2，则（ ）
A．变量 与 具有正相关关系 B．去除后的回归方程为
C．去除后 的估计值增加速度变慢 D．去除后相应于样本点 的残差为三、解答题
11．某地区对高一年级学生进行体质健康测试（简称体测），现随机抽取了900名学生的
体测结果等级（“良好及以下”或“优秀”）进行分析．得到如下列联表：
良好及以下 优秀 合计
男 450 200 650
女 150 100 250
合计 600 300 900
(1)计算并判断是否有99％的把握认为本次体测结果等级与性别有关系？
(2)将频率视为概率，用样本估计总体．若从该地区高一所有学生中，采取随机抽样的方法
每次抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取3次，且各次抽取的结果相互独立，
记被抽取到的3名学生的体测等级为“优秀”的人数为 ，求 的分布列和数学期望 ．
附表及公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
其中 ， ．
12．某网络电视剧已开播一段时间，其每日播放量有如下统计表：
开播天数x（单
1 2 3 4 5
位：天）
当天播放量y
（单位：百万 3 3 5 9 10
次）
(1)请用线性回归模型拟合y与x的关系，并用相关系数加以说明；
(2)假设开播后的两周内（除前5天），当天播放量y与开播天数x服从（1）中的线性关系.
若每百万播放量可为制作方带来0.7万元的收益，且每开播一天需支出1万元的广告费，估
计制作方在该剧开播两周内获得的利润.
参考公式： ， ， .参考数据： xiyi＝110， ＝55， ＝224， ≈10.5.
注：①一般地，相关系数r的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，
线性相关性较弱.②利润＝收益－广告费.
