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专题12.33 全等三角形（全章分层练习）（培优练）
一、单选题
1．根据下列已知条件，能唯一画出 的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ，
2．如图，在 和 中，点B，F，C，E在同一直线上， ， ，只添加一个
条件，不能判定 的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角对应相等 B．一个锐角和斜边对应相等
C．两条直角边对应相等 D．一条直角边和斜边对应相等
4． 是 的中线， ，则 的取值可能是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
5．如图，在 中，已知 是 边上的高线， 平分 ，交 于点 ， ， ，
则 的面积等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图， ，且 平分 ，则利用（ ）可说明 与 全等．A． B． C． D．
7．如图，在 ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则下列结论中：①△ABD≌△ACD；②∠B＝∠C；
③AD平分∠BAC；△④AD⊥BC，其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图， ， ，则下列结论错误的是（ ）
A． ≌ B． ≌
C． D．
9．如图， 中， ， 、 是 边的中线，有 ；垂足为点E交
于点D．且 平分 交 于N．交 于H．连接 ．则下列结论：
① ；② ；③ ；④ ；错误的有（ ）个．
A．0 B．1 C．3 D．4
10．如图1，已知 AB=AC，D为∠BAC 的平分线上一点，连接 BD、 CD；如图2，已知 AB= AC，D、
E为∠BAC的平分线上两点，连接 BD、CD、BE、CE；如图3，已知 AB=AC，D、E、F为∠BAC的平分线上三点，连接BD、CD、BE、CE、 BF、CF；…，依次规律，第 n个图形中全等三角形的对数是（ ）
A．n B．2n-1 C． D．3（n+1）
二、填空题
11．如图，在 中， 平分 ， 于点P，已知 的面积为2，则阴影部分的面
积为 ．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC延长线上，且BD＝CE，连接DE交BC于点
F，作DH⊥BC于点H，连接CD．若tan∠DFH＝ ，S ＝18，则DE的长为 ．
BCD
△
13．如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分
别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射
线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为 ．14．如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB
＝90°，④AD+DE＝BE，
成立的有 个．
15．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB= °
16．如图，在 中，已知 ，过E作 于F，且 的三条角平分线交于点G，
连接 ，则 度．
17．如图，在 中，已知 ， ， ．若 ，则 的度数为
．18．如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点
E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为 ．
三、解答题
19．学习《利用三角形全等测距离》后，“开拓”小组同学就“测量河两岸 、 两点间距离”这一
问题，设计了如下方案：如图，在点 所在河岸同侧平地上取点 和点 ．使点 、 、 在一条直线上，
且 ，测得 ， ，在 的延长线上取一点 ，使 ，这时测得
的长就是 、 两点间的距离．你同意他们的说法吗？请说明理由．
20．如图， ， ， 、 交于点 ，求证： ．21．在△AOB和△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，连接AC、BD．
(1)如图1，求证：AC＝BD；
(2)如图2，当OA＝OD时，连接BC，延长BD、CA交于点E，AB、CD交于点F，在不添加任何字母
及辅助线的情况下，请直接写出图中四对全等三角形（第一问中用到的除外）．
22．如图，在正方形 中，点 、 分别为边 、 上两点， ．
(1) 若 是 的角平分线，求证： 是 的角平分线；
(2) 若 ，求证： ．23．如图所示， 、 分别为 ， 的角平分线，两线交于点 ．
(1) 若 ， ，则 ______ ；
(2) 若 ，则 ______ ；
(3) 若 ，用 表示的 ，写出详细的步骤（不用写理论依据）；
(4) ， ， ， 三条线段之间有怎样的数量关系？写出结果，并说明理由（不用写理
论依据）．24．如图，在 中， ， ， ．点P从点A出发，沿折线 以每秒
2个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线 以每秒6个单位长度的速度向终点A
运动， 两点同时出发．分别过 两点作 于E， 于F．设点P的运动时间为t（秒）．
(1)当 两点相遇时，求t的值．
(2)在整个运动过程中，求 的长（用含t的代数式表示）．
(3)当 与 全等时，直接写出所有满足条件的 的长．参考答案
1．A
【分析】根据实际行动三边关系及全等三角形的判定定理对各选项逐一判断即可.
解：A.两角夹一边，符合全等三角形判定的ASA，形状固定，故可作唯一三角形，
B.3+4<8，不能构成三角形，故不符合题意.
C.∠A不是两边的夹角，不符合前段时间三角形判定定理，故不符合题意，
D.只有两个条件，两个锐角也不确定，可画出多个三角形，故不符合题意，
故选A.
【点拨】本题考查了全等三角形全等的有关知识，要掌握三角形的判定方法，只有符合全等判定方法
的条件画出的三角形才都是一样的，也就是说是唯一的．本题界定的是唯一三角形，要注意要求．
2．A
【分析】运用全等三角形的判定定理，逐一判定即可．
解：∵
∴ ，
∵ ，
∴添加 ， 不能得出 ，故A选项符合题意；
添加 ，则 ，可根据 得出 ，故B选项不符合题意；
添加 ，可根据 得出 ，故C选项不符合题意；
添加 ，可根据 得出 ，故D选项不符合题意；故选：A．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是本题的关键．
3．A
【分析】根据三角形全等的判定定理对各选项分析判断，利用排除法求解．
解：A、两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；
B、可以利用 判定两三角形全等，不符合题意；
C、可以利用 判定两三角形全等，不符合题意；
D、可以利用 判定两三角形全等，不符合题意．
故选A．
【点拨】本题主要考查了直角三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理
、 和直角三角形全等的判定定理 ．
4．A
【分析】先画出图形，延长 至点 ，使得 ，连接 ，再利用 定理证出
，根据全等三角形的性质可得 ，然后根据三角形的三边关系定理即可得．
解：如图，延长 至点 ，使得 ，连接 ，则 ，
是 的中线，
，
在 和 中， ，
，
，
在 中， ，即 ，，
观察四个选项可知，只有A符合，
故选：A．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系，通过作辅助线，构造全等三角形
是解题关键．
5．A
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可．
解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
故选A
【点拨】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．
6．A
【分析】先根据垂直的定义可得 ，再根据角平分线的定义可得 ，
然后根据 定理即可得．
解： ，
，
平分 ，
，
在 和 中， ，
，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．7．D
【分析】由D为BC中点可得BD=CD，利用SSS即可证明 ABD≌ ACD，根据全等三角形的性质逐一判
断即可. △ △
解：∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
又∵AB=AC，AD为公共边
∴ ABD≌ ACD（SSS），故①正确，
∴△∠B=∠C，△∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC，故②③④正确.
综上所述：正确的结论有①②③④共4个，
故选D.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力．其中灵活运用所给的已知
条件，从而对各个选项进行逐一验证进而确定答案是解题的关键.
8．D
【分析】利用全等三角形的判定和性质逐一选项判断即可．
解：在 和 中，
，
∴ ≌ （ ），故选项A正确，不合题意；
连接 ，
∵ ≌ （ ），
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，故选项C正确，不合题意；
∵ ，证不出 ，
∴选项D错误，符合题意；
在 和 中，
∴ ≌ （ ），故选项B正确，不合题意；
故选：D
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题意作出适当的辅助线是解题的关键．
9．A
【分析】如图，过点C作 交 的延长线于K，首先根据等腰直角三角形的性质证明
，得到 ， ， ，可判断②③正确，然后利用同角
的余角相等得到 ，进而证明 ，得到 ， ，然后
证明 ，得到 ， ，等量代换可得 ，
，可判断①④正确．
解：如图，过点C作 交 的延长线于K．
， ， 平分 ，
∴ ， ，
，
，
，
，
，（ASA），
， ， ，故②③正确，
，
，
，
，
（ASA），
， ，
， ，
（SAS），
， ，
， ，故①④正确．
故选：A．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加
常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．C
【分析】根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，
△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形
中全等三角形的对数．
解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
在△ABD与△ACD中，
AB=AC，
∠BAD=∠CAD，
AD=AD，
∴△ABD≌△ACD．
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中，△ABE≌△ACE，
∴BE=EC，
∵△ABD≌△ACD．∴BD=CD，
又DE=DE，
∴△BDE≌△CDE，
∴图2中有3对三角形全等；
同理：图3中有6对三角形全等；
由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是 ．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几
对三角形全等，然后寻找规律．
11．1
【分析】延长 交 于 ，证明 ，利用三角形的中线的性质即可得解．
解：延长 交 于 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴阴影部分的面积 ；
故答案为：1．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．遇到角平分线和垂线，构造全
等三角形是解题的关键．
12．6
【分析】如图，作EJ⊥BC交BC的延长线于J．利用全等三角形的性质证明DH＝DJ，FH＝FJ，BC＝HJ＝
2FH，设DH＝m，FH＝2m，构建方程即可解决问题．
解：如图，作EJ⊥BC交BC的延长线于J．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝∠ECJ，
∵BD＝EC，∠DHB＝∠J＝90°，
∴△DHB≌△EJC（AAS），
∴DH＝EJ，BH＝CJ，
∴BC＝HJ，
∵∠DHF＝∠J＝90°，∠DFH＝∠EFJ，
∴△DHF≌△EJF（AAS），
∴BC＝HJ＝2FH，DF＝EF，
∵tan∠DFH＝ ＝ ，
∴可以假设DH＝m，FH＝2m，则CB＝4m，
∵S ＝18，
BCD
△∴ ×4m×m＝18，
∴m＝3或﹣3（舍弃），
∴DH＝3，FH＝6，
∴DF＝EF＝ ＝ ＝ ，
∴DE＝2DF＝ ，
故答案为:6 ．
【点拨】本题考查的主要是全等三角形以及三角函数，需要根据题意正确添加辅助线，构造方程来解
答．
13．35°/35度
【分析】连接CD，EF．由题目中尺规作图可知： ， ．可证
，所以 ，可得 ．所以 ．由于AH平分 ，
所以 ．即： ．
解：连接CD，EF
由题目中尺规作图可知： ，
在 和 中
AH平分故答案为： ．
【点拨】本题主要考查知识点为，全等三角形的性质及判定、定点为圆心定长为半径的性质、平行线
的判定及性质，角平分线的性质．能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定、平行线的性质及
判定，角平分线的性质，是解决本题的关键．
14．1
【分析】根据全等三角形的性质可以得出AC=BE，CD=BC， ，根据以上
结论可以推导出 ， ，即可求解．
解：∵Rt ACD≌Rt EBC，
∴AC＝BE△， △
∵在Rt BEC中，BE＜BC，
∴AC＜B△C，
∴①错误；
∵∠CAD＝∠CEB＝∠BED＝90°，∠D＜∠CAD，
∴∠D≠∠BED，
∴AD和BE不平行，
∴②错误；
∵Rt ACD≌Rt EBC，
∴∠A△CD＝∠C△BE，∠D＝∠BCE，
∵∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCE＝90°，
∴③正确；
∵Rt ACD≌Rt EBC，
∴AD△＝CE，C△D＝BC，
CD＝CE+DE＝AD+DE＝BC，
∵BE＜BC，∴AD+DE＞BE，
∴④错误；
故答案为：1．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边大于直角边等知识，熟练掌握全等三角形的
性质是解题关键．
15．35
【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB
∠DAB，计算即可．
解：作MN⊥AD于N．
∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°．
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN＝MC．
∵M是BC的中点，∴MC＝MB，∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB ∠DAB＝35°．
故答案为35．
【点拨】本题考查了角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的
关键．
16．135
【分析】由 可得 是直角三角形，从而 ，又 的三条角平分
线交于点G，可得 ，再根据三角形内角和定理可求出 ，易证
，得到 ，即可解答
解：∵
∴
∴
∵ 的三条角平分线交于点G∴ ，
∴
∴
∵ ， ，
∴
∴
故答案为：135
【点拨】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的证明与性质，熟练运用三角形内角和定理的解题
的关键．
17．70°
【分析】（1）证△BED≌△CDF；
（2）利用AB=AC得到∠B与∠C
（3）利用整体法求得∠EDF
解：∵AB=AC，∴∠B=∠C
∵BD=CF，BE=CD
∴△BED≌△CDE，∴∠EDC=∠BED
∵∠A=40°
∴∠B=∠C=70°
∴在△BED中，∠BED+∠BDE=110°
∴∠EDB+∠FDC=110°
∴∠EDF=70°
【点拨】求角度，常见的方法有：
（1）方程思想；
（2）整体思想；
（3）转化思想
本题就是利用全等，结合整体思想求解的角度
18．
【分析】作FH垂直于FE，交AC于点H，可证得 ，由对应边、对应角相等可得出 ，进而可求出 ，则 ．
解：作FH垂直于FE，交AC于点H，
∵
又∵ ，
∴
∵ ，FA=CF
∴
∴FH=FE
∵
∵
∴
又∵DF=DF
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为： ．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及其性质，作辅助线HF垂直于FE是解题
的关键．
19．同意，见分析
【分析】证明 ，推出 ，即可得到结论．解：同意，
理由： ， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，即 ，
测得 的长就是 、 两点间的距离．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
20．见分析
【分析】连接 ，易证 ，由全等三角形的性质可得 ，结合已知条件进而可再
证明 ，继而可得 ．
解：证明：如图，连接 ，
在 和 中，
，
，，
在 和 中，
，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的各种判定方法是证题的关键，本题
的难点在于证明两次三角形全等．
21．(1)见分析；(2)△DFB≌△AFC，△DCB≌△ABC，△ABE≌△DCE，△AOB≌△COD．
【分析】（1）利用SAS证明△BOD≌△AOC，即可证明AC=BD；
（2）利用全等三角形的性质与判定即可写出满足条件的全等三角形．
解：（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB-∠AOD=∠COD-∠AOD，
∴∠BOD=∠AOC，
∵OA=OB，OC=OD，
∴△BOD≌△AOC，
∴AC=BD；
（2）解：∵∠AOB=∠COD=90°，OA=OB，OC=OD，且OA=OD，
∴OA=OB=OC=OD，
∴AB=CD，∠ABO=∠CDO=∠BAO=∠DCO=45°，
由（1）得△BOD≌△AOC，
∴BD=AC，∠OBD=∠OAC=∠ODB=∠OCA，
在△DFB和△AFC中，∠OBD-45°=∠OCA-45°，即∠DBF=∠ACF，
又∠DFB=∠AFC，BD=AC，
∴△DFB≌△AFC(AAS)，
在△DCB和△ABC中，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，则45°-∠OBC=45°-∠OCB，
∴∠ABC=∠DCB，
∵∠OAC=∠ODB，则45°+∠OAC=45°+∠ODB，∴∠BAC=∠CDB，
∵AB=CD，
∴△DCB≌△ABC(ASA)，
同理△ABE≌△DCE，△AOB≌△COD，
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，灵活运用全等三角形的性质和判定定理是解题的关键．
22．(1)答案见详解；(2)答案见详解
【分析】（1）将 绕点 顺时针旋转，使 与 重合，得到 ，根据正方形的
性质和全等三角形的性质，证明 ，得出 ；
（2）由（1）可得 ，利用全等三角形的性质即可得出答案．
解：（1）如图：将 绕点 顺时针旋转，使得 与 重合，得到 ，
是由 绕点 顺时针旋转得到，
，
， ，
四边形 为正方形，
，
，
，
，，
，
，
是 的角平分线，
，
，
，
又 ，
，
是 的角平分线；
（2）由（1）可得 ，
，
， ，
【点拨】解题的关键是熟练掌握旋转的性质、全等三角形的性质与判定和正方形的性质．
23．(1)130；(2)125；(3) ，步骤见分析；(4) ，理由见分析
【分析】（1）先根据角平分线的定义得出 与 的度数，再根据三角形内角和定理即可得
出结论；
（2）先根据 求出 的度数，再由角平分线的定义得出 的度数，
根据三角形内角和定理即可得出结论；
（3）根据 求出 的度数，再由角平分线的定义得出 的度数，根据
三角形内角和定理即可得出结论；
（4）在边 上截取 ，连接 ，只要证明 ，可得
即可证明．
解：（1）∵ 分别为 角平分线， ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ 分别为 角平分线，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（3）∵ 、 分别为 ， 的角平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（4） .理由如下：
在边 上截取 ，连接 ，
由（3）的结论得 ，
∴ ，
在 与 中，，
∴ ；
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ；
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，第
（1）至（2）有具体的数，不要求学生书写步骤，可以多角度下手解决问题，第（3）问思维的迁移，从
（1）（2）特殊到第（3）的一般化，字母具有代表性；第（4）问梯度增加上升难度，在寻找全等三角形
全等的条件，需要添加辅助线，属于中考常考题型．
24．(1) 秒；(2) ；(3)10或5或12
【分析】（1）由题意得 ，即可求得 、 两点相遇时， 的值；
（2）根据题意即可得出 的长为 ；
（3）分两种情况讨论得出关于 的方程，解方程求得 的值，进而即可求得 的长．
解：由题意得 ，解得 （秒），
当 、 两点相遇时， 的值为 秒；
（2）由题意可知 ，
则 的长为 ；
（3）当 在 上， 在 上时，
，
，
于 ， 于 ．
， ，
，
，
，
，解得 ，
；
当 在 上， 在 上时，即 、 重合时，则 ，
由题意得， ，
解得 ，
，
当 在 上， 在 上时，即 、 重合时，则 ，
综上，当 与 全等时，满足条件的 的长为10或5或12．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质，根据题意得出关于的方程是解题的关键．
