文档内容
专题 12.3 角的平分线的性质
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 角平分线性质定理】................................................................................................................................1
【考点二 角平分线的判定定理】............................................................................................................................5
【考点三 角平分线性质的实际应用】....................................................................................................................8
【考点四 作角平分线（尺规作图）】..................................................................................................................10
【考点五 与角平分线有关的综合问题】..............................................................................................................12
【过关检测】............................................................................................................................................................20
【典型例题】
【考点一 角平分线性质定理】
例题：（2023上·江苏连云港·八年级校考阶段练习）已知：如图 平分 ， ，
垂足分别为E、F，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图， ，点E是 的中点． 平分 ．(1)求证： 是 的平分线；
(2)已知 ， ，求四边形 的面积．
2．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图， 的角平分线与 的垂直平分线相交于点D，
， ，，垂足分别为E、F．
(1)求证： ；
(2)若 ，则 的周长 ______．
【考点二 角平分线的判定定理】
例题：如图， ， 两点分别在射线 ， 上，点 在 的内部且 ， ，
，垂足分别为 ， ，且 ．(1)求证： 平分 ；
(2)如果 ， ，求 的长．
【变式训练】
1．如图， 于E， 于F，若 ．
(1)求证： 平分 ；
(2)写出 与 之间的等量关系，并说明理由．
2．如图，P是 上一点， 于点D， 于点E．F，G分别是 上的点．
．
(1)求证： 是 的平分线；(2)若 ， ， ．求 的长．
【考点三 角平分线性质的实际应用】
例题：三条公路将 三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，
要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
【变式训练】
1．如图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，
这个货物中转站可选的位置有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，铁路 和铁路 交于O处，河道 与铁路分别交于A处和
B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路 ， 的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？
请在图中标出M点的位置．【考点四 作角平分线（尺规作图）】
例题：已知：如图，在 中， ， ．
(1)求作 的平分线，交 于点P．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，求 的角度？
【变式训练】
1．如图所示，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所
示）．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等．请你通过作
图确定点P的位置．
2．（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）如图，点D在 的边 上，且 ．
(1)作 的平分线 ，交 于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，但不必写出作法）；
(2)在（1）的条件下，求证： ．【考点五 与角平分线有关的综合问题】
例题：（2024八年级上·江苏·专题练习）如图所示，在四边形 中， ，E为 的中点，连
接 、 ，延长 交 的延长线于点F．
(1)判断 与 的数量关系，并说明理由；
(2)若 ，则 吗？为什么？
(3)在（2）的条件下，若 ， ，求点E到 的距离．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图1，在平面直角坐标系中， 的顶点 、 ，
交 于D点，交y轴正半轴于点 ．
(1)如图1，求C点的坐标；
(2)如图2，连接 ，求证： 是 的角平分线；
(3)如图3，已知点 ， ，若 ， ，直接写出Q的坐标(用含a的式子表示)．2．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）已知：点 是 平分线上一点，点 在射线 上，作
，交直线 于点 ，作 于点 ．
(1)观察猜想：如图 ，当 时，写出 和 的数量关系，并说明理由．
(2)探究证明：如图 ，当 时，写出 ， 和 之间的等量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸：如图 ，当 ，点 在射线 的反向延长线上时，请直接写出线段 、 和
之间的数量关系．
3．（22-23八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知：点P为 平分线上一点， 于B，
于C，点M、N分别是射线 、 上的点，且 ．
(1)当点M在线段 上，点N在线段 的延长线上时（如图1）．求证： ；
(2)在（1）的条件下，求证： ；
(3)当点M在线段 的延长线上时（如图2），若 ， ，则四边形 的面积为
_______．【过关检测】
一、单选题
1．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图， 平分 ， 于点A，点Q是射线 上的一个
动点．若 ，则线段 的长不可能是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）三角形三条角平分线交于一个点，这个点（ ）
A．到三角形三边的距离相等 B．到三角形三角顶点的距离相等
C．可以在三角形的某一边上 D．可以在三角形的外面
3．（22-23八年级下·山西太原·阶段练习）如图，在 中， ， ， 平分 ，
交 于点 ， 于点 ，且 ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23八年级上·河南漯河·期末）如图，点 为定角 的平分线上的一个定点，且 与
互补，若 在绕点 旋转的过程中，其两边分别与 交于点 ，则一下结论：①
恒成立；② 的值不变；③四边形 的面积不变；④ 的长不变；其中正确的个
数为（ ）个A．1 B．2 C．3 D．4
5．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图， 中， 、 的角平分线 、 交于点
，延长 、 ， ， ，则下列结论中正确的个数（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在 中， ， 平分 ，交 于D，若
，点D到边 的距离为6，则 的长是 ．
7．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在 中，CD是AB边上的高线， 的平分线交CD于
点 ，当 ， 的面积为 时，DE的长为 ．8．（23-24八年级下·云南文山·期末）如图， 是 中 的角平分线， 于点 ，
， ， ，则 长是 ．
9．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）如图，在 中，按以下步骤作图：
①以点 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 于点 ；
②分别以点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 的内部交于点 ；
③作射线 ，交 于点 ．
如果 的面积为9，则 的面积为 ．
10．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，已知：四边形 中，对角线 平分 ，
， ，并且 ，那么 的度数为三、解答题
11．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建
一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置．
12．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图， 中 的外角平分线 于 的外角平分线 相交
于点 ，求证：点 在 的角平分线上．
13．（2024八年级上·全国·专题练习）已知：如图， 的外角 和 的平分线相交于点 ，
(1)求证：点 在 的平分线上；
(2)若 ，求 的大小．
14．（22-23八年级上·贵州安顺·期中）在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动中有这样一段描述：在四边形 中， ， ，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图
（1）．
(1)知识应用：小风想要做一个如图（2）所示的风筝，他想先固定中间的“十字架”，再确定四周，从数
学的角度看，小风确定“十字架”时应满足什么要求？并证明你的结论．
(2)知识拓展：如图（3）所示，如果 为 内一点， 平分 ，且 ，试证明：
．
15．（22-23八年级上·广西南宁·开学考试）在平面直角坐标系中，点 ,点C为x轴正半轴上
一动点，过点A作 交y轴于点E．
(1)如图1，当点C的坐标为 时，试求点E的坐标；
(2)如图2，当 时，连接 ,证 平分 ；
(3)如图3，当 时，求 的度数．16．（22-23八年级上·浙江台州·阶段练习）已知点 是 平分线上一点， 的两边CB、CD分
别与射线 、 相交于 ， 两点，且 过点 作 ，垂足为 ．
(1)如图 ，当点 在线段AB上时，求证： ；
(2)如图 ，当点 在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与 之间的等量关系；
(3)如图 ，在（ ）的条件下，若 ，连接BD，作 的平分线 交AD于点 ，交 于
点 ，连接 并延长交AB于点 若 ， ，求线段DB的长．
