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专题 12.5 全等三角形的判定（ASA 与 AAS）
（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】三角形全等的判定方法——角边角（ASA）
（1）基本事实：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或
“ASA”）.
（2）书写格式：
如图，在△ABC和△ 中，
【知识点二】三角形全等的判定方法——角角边（AAS）
（1）基本事实：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角
角边”或“AAS”）
（2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和
△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.【知识点三】判定方法的选择
（1）选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS AAS ASA
两角对应相等 ASA AAS
两边对应相等 SAS SSS
（2）如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三
角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】用ASA和AAS证明三角形全等
【例1】（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，点 、 在 上， ， ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析 (2)∠D的度数是
【分析】（1）由 ，推导出 ，由 ，证明 ，即可根据“ ”证明
；
（2）由 ， ，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”得，
，求得 ．
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
的和等知识，推导出 ， ，进而证明 是解题的关键．
（1）证明： ，
，
，，
，
在 和 中，
，
．
（2）解： ， ，
，
， ，
，
，
的度数是 ．
【变式1】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小江想去买一块
形状、大小与原来一样的玻璃，但是他只想带去其中的两块，则这两块玻璃的编号可以是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①④
【答案】A
【分析】
本题考查了全等三角形的应用，学会把实际问题转化为数学问题是解答的关键．
①②两块玻璃是已知两角及其一夹边，可用 证明全等来说理．
解：A、①②两块玻璃是已知两角及其一夹边，可用 证明全等，故本选项符合题意；
B、②④两块玻璃是已知两角，无法证明全等，故本选项不符合题意；
C、③④两块玻璃是已知一角，无法证明全等，故本选项不符合题意；
D、①④两块玻璃是已知两角，无法证明全等，故本选项不符合题意．
故选：A．
【变式2】（22-23八年级上·福建龙岩·期中）如图，已知 与 相交于点 ， ，点 为
中点，若 ， ，则 ．【答案】4
【分析】根据平行线的性质和线段中点，证明 ，得到 ，再根据 ，
即可求出 的长．
解： ，
， ，
点 为 中点，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解
题关键．
【题型2】用ASA和AAS证明三角形全等与三角形全等性质综合求值
【例2】（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在 中， 为 上一点， 为 中点，连接
并延长至点 ，使得 ，连 ．（1）求证： ； （2）若 ， ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点．熟
练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
（1）利用 证明 ，根据全等三角形的性质得出 ，根据平行线的判定得出
即可；
（2）根据（1）求出 ，根据三角形内角和定理求出 ，根据 ，结合
角的和差关系即可得答案．
（1）证明：∵ 为 中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【变式1】（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在 中， ，垂足分别是D、E，、 交于点 ．已知 ，则 的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用 证明 得出 ，即可求
解．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴
又 ，
∴ ，
故选：C．
【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在 中， ， ，点D在边
上，且 ，点E、F在线段 上． ， 的面积为18，则 与
的面积之和 ．【答案】12
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，和三角形的面积求法，能够证明 是解题的
关键．先根据 与 等高，底边值为 ，得出 与 面积比为1∶2，再证
，即可得出 和 的面积和，即可选出答案．
解：标记角度如下：
∵在等腰 中， ， ，
∴ 与 等高，底边比值为
∴ 与 的面积比为 ，
∵ 的面积为18
∴ 的面积为6， 的面积为12，
∵ ,即 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴
∴ 与 的面积相等，
∴ ，
故答案为：12．
【题型3】添加条件证明三角形全等【例3】（2023·广东·模拟预测）如图， ，请添加一个条件，使
．
（1）你添加的条件是______（只需添加一个条件）；
（2）利用（1）中添加的条件，求证： ．
【答案】(1) （答案不唯一） (2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理，垂直的
定义．解题的关键是正确寻找判定三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题．
（1）由题意得到 ，推出 ， ，再根据判
定定理 得添加一个条件为 ，即可使 ；
（2）根据三角形全等的判定定理 证明即可．
（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
由 得添加一个条件为 ，
故答案为： （答案不唯一）；
（2）证明： ，
，
，
在 和 中，
，
．【变式1】（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在 和 中，再添两个条件不能使 和
全等的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
解：A、∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，故A选项不符合题意；
B、 ∵ ， ， ，不能根据 判定两三角形全等，故B选项符合题意；
C、∵ ， ，
又 ，
∴ ，故C选项不符合题意；
D、 ∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，故D选项不符合题意；
故选：B．
【变式2】（23-24八年级上·北京平谷·期末）如图，在 和 中，若 ，且
，请你添加一个适当的条件，使 ．添加的条件是： （写出一个即可）．【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查全等三角形的判定，直角三角形的性质，对顶角性质．
先证明 ，又因为 ，根据全等三角形的判定定理，在 与 中只需
要再加一对对应边相等即可使 ，所此求解即可．
解：如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴当添加 时，则在 与 中，
，
∴
故答案为： （答案不唯一）．【题型4】灵活运用SSS、SAS、ASA、AAS证明三角形全等
【例4】（22-23七年级下·河北保定·期末）如图， 是 的中线， ， 分别是 和 延长线
上的点，且 ．
（1） 与 全等吗？请说明你的理由；
（2）若 ， ， 的面积为3，请直接写出 的面积．
【答案】(1) ，见解析；(2)6
【分析】（1）根据中线的性质可得 ，根据平行线的性质可得 ，根据全等三角形
的判定即可证明；
（2）过点 作 交 于点 ，根据全等三角形的性质可得 ， 的面积为3，根
据三角形的面积公式求得 ，即可求解．
（1）解： ，理由如下：
∵ 是 的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
（2）解：过点 作 交 于点 ，如图：∵ ， 的面积为3，
∴ ， 的面积为3，
∴ ，
则 的面积为 ．
【点拨】本题考查了中线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握
全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式1】（2024·河北邯郸·二模） 如图所示，甲、乙两个三角形中和 全等的是（ ）
A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟知判定全等三角形的条件是解题的关键．
根据判定三角形全等的条件，逐一判断即可解答．
解：甲的边 的夹角和 的边 的夹角不对应，故甲三角形与 不全等；
乙的角 和边b与 的角 和边b对应，故可利用“角边角”证明乙三角形与 全等，
故选：B．
【变式2】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在下列各组条件中，能够判断 和
全等的有 ．
① ， ， ；
② ， ， ；③ ， ， ；
④ ， ， ．
【答案】①②③
【分析】全等三角形的判定定理有 ， ， ， ，根据以上知识点逐个判断即可．
解：①、符合全等三角形的判定定理 ，即两三角形全等，故符合题意；
②、符合全等三角形的判定定理 ，即两三角形全等，故符合题意；
③、符合全等三角形的判定定理 ，即两三角形全等，故符合题意；
④、不符合全等三角形的判定定理，即两三角形不全等，故不符合题意；
故答案为：①②③．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注
意：全等三角形的判断定理有 ， ， ， ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·四川凉山·中考真题）如图，点 在 上， ， ，添加一个条件，
不能证明 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角
形的判定定理有 ，两直角三角形全等还有 等．根据 求出 ，
再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
解：∵ ，∴ ，即 ，
，
∴当 时，利用 可得 ；
当 时，利用 可得 ；
当 时，利用 可得 ；
当 时，无法证明 ；
故选：D．
【例2】（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上， ，
．
若________，则 ．
请从① ；② ；③ 这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，
并说明理由．
【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出 ，再
由全等三角形的判定和性质得出 ，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角
形的判定得出 ，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
解：选择① ；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
选择② ；
无法证明 ，
无法得出 ；选择③ ；
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
故答案为：①或③（答案不唯一）
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年级上·河北邢台·期中）在 中， 是 的中点．
（1）如图1，在边 上取一点 ，连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ，求证：
．
（2）如图2，将一直角三角板的直角顶点与点 重合，另两边分别与 相交于点 ， ，求证：
．
【分析】（1）运用 证明 即可解题；
（2）如图，过点 作 交 延长线于点 ，连接 ．推导 ，即可得到结论．
解：（1）证明： 是 的中点，
．
，
，
，
．（2）如图，过点 作 交 延长线于点 ，连接 ．
由（1）知 ．
．
，
，
．
在 中， ，
．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的不等关系，能作辅助线构造全等三角形是解
题的关键．
【例2】（22-23八年级上·全国·期末）如图1，直线 于点B， ，点D为 中点，一
条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）．
（1）求证： ；
（2）如图2，连接 交 于点F，连接 交 于点H， ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P是 边上的动点，连接 ， ，求
的最小值．
【答案】(1)见解析； (2)见解析；(3)5
【分析】（1）由 可证 ，可得 ；（2）由 可证 ，可得 ，由余角的性质可得结论；
（3）由 可证 ，可得 ，则当点E，点P，点D三点共线时， 有最小值，
即 有最小值为 的长，由面积法可以求解．
（1）证明：如图1，过点D作 ，
由题意可得： ，
∴ ，
∵点D是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当点E，点P，点D三点共线时， 有最小值，即 有最小值为 的长，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ 的最小值为 ．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，寻找条件证明三角形全等是解题的关
键．
