文档内容
专题 12 图形的旋转（4 个知识点 6 种题型 1 个易错点 2 种中考考法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.旋转（重点）
知识点2.旋转的性质（重点）
知识点3.旋转作图（重点）
知识点4.利用旋转设计图案
【方法二】 实例探索法
题型1.求旋转角的大小
题型2.求旋转变换中相关线段的长度
题型3.利用旋转的性质求阴影部分的面积
题型4.平面直角坐标系中的旋转变换
题型5.分析图案中基本图形的变换
题型6.利用旋转解以特殊图形为背景的题目
【方法三】差异对比法
易错点 不能正确确定旋转中心
【方法四】 仿真实战法
考法1.旋转的性质
考法2.旋转变换中点的坐标变化
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1. 了解旋转的概念，理解图形旋转的三要素‘‘旋转中心、旋转方向和旋转角’’。
2. 理解旋转的性质，并会运用其解决简单的旋转问题。
3. 会按照要求作出旋转后的图形，了解旋转角、旋转中心和旋转方向的改变可以得到不同效果的美丽图
案，体验旋转在现实生活中的应用。【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.旋转（重点）
旋转的概念
在平面内，将一个图形上的所有点绕一个定点按照某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的
旋转．这个定点叫做旋转中心（如点O），转动的角度叫做旋转角(如∠AO A′)．
如图：三角形A′B′C′是三角形ABC绕点O旋转所得，则点Ａ和点A′，点B和B′，点C和点C′是对应点，
线段ＡＢ和ＡB′，BC和B′C′，AC和A′C′是对应线段，∠AＯA′,∠ＢＯＢ′,∠ＣＯＣ′是旋转角．
要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．
B′
C′
• A′
C
O
A B
【例1】如图，把四边形AOBC绕点O旋转得到四边形DOEF． 在这个旋转过程中：
（1）旋转中心是谁?
（2）旋转方向如何?
（3）经过旋转,点A、B的对应点分别是谁？
（4）图中哪个角是旋转角？
（5）四边形AOBC与四边形DOEF的形状、大小有何关系？
（6）AO与DO的长度有什么关系？BO与EO呢？
（7）∠AOD与∠BOE的大小有什么关系？【答案与解析】
（1）旋转中心是点O；
（2）旋转方向是逆时针方向；
（3）点A的对应点是点D,点B的对应点是点E;
(4)∠AOD和∠BOE;
(5) 四边形AOBC与四边形DOEF形状一致，大小相等；
（6）AO=DO,BO=EO;(7)∠AOD=∠BOE．
【变式】 如图所示：O为正三角形ABC的中心．你能用旋转的方法将△ABC分成面积相等的三部分吗
如果能，设计出分割方案，并画出示意图．
【答案】下面给出几种解法：
解法一：连接OA、OB、OC即可．如图甲所示；
解法二：在AB边上任取一点D，将D分别绕点O旋转120°和240°得到D 、D ，连接OD、OD 、
1 2 1
OD 即得，如图乙所示．
2
解法三：在解法二中，用相同的曲线连结OD、OD 、OD 即得如图丙所示
1 2
知识点2.旋转的性质（重点）
旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；
(2)对应线段的长度相等（ＡＢ＝ＡB′）；
(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角（∠ＡＯA′）；
要点诠释：
１、图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转．
２、旋转前后图形的大小和形状没有改变．
【例 2】（2022 秋•镇海区校级期中）如图，在正方形网格中，△ABC 绕某点旋转一定的角度得到△A′B′C′，则旋转中心是点（ ）
A．O B．P C．Q D．M
【分析】根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可得对应点连线的垂直平分线的交点即为旋
转中心．
【解答】如图，连接BB′，AA′可得其垂直平分线相交于点P，
故旋转中心是P点．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握旋转中心的
确定方法是解题的关键．
知识点3.旋转作图（重点）
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转
指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
要点诠释：
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点．
【例3】如图，在 正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将 向下平移4个单
位，得到 ，再把 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，请你画出 和
（不要求写画法）．【答案与解析】
【总结升华】注意平移和旋转中关键点移动规律的不同．
【变式】如图，画出 绕点 逆时针旋转 所得到的图形．
【答案】
(∠AOA′=∠BOB′=∠COC′=100°)
知识点4.利用旋转设计图案
【例4】（2023春·广东河源·九年级校考阶段练习）在日常生产生活中，我们常会见到一些由旋转形成的美
丽的图案．观察下列的两幅图（图（1）和图（2）），你能说出他们是由什么基本图形绕中心旋转180°设
计出来的吗？【分析】根据题意要求，找出基本图形即可．
【详解】解：图（1）和图（2）可分别看成是由基本图形（3）和基本图形（4）绕中心旋旋转180°得到的．
【点睛】本题考查了运用几何变换设计图案的知识，属于开放型题目，掌握旋转变换的性质是关键．
【方法二】实例探索法
题型1.求旋转角的大小
1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转到
的位置，使得 ，划 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，结合旋转性质，由等腰三角形性质及三角形内角和定理求解即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵将 绕点 逆时针旋转到 的位置，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
， ，
∴ ，即旋转角的度数是 ，
故选：B．【点睛】本题考查旋转性质求角度，涉及平行线的性质、旋转性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内
角和定理，熟练掌握旋转性质，数形结合，是解决问题的关键．
2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图， 为 的平分线，且 ，将四边形 绕
点 逆时针方向旋转后，得到四边形 ，且 ，则四边形 旋转的角度是 ．
【答案】
【分析】根据角平分线的性质可得 ，根据旋转的性质可得 ，
，求得 ，即可求得旋转的角度．
【详解】∵ 为 的平分线， ，
∴ ，
∵将四边形 绕点 逆时针方向旋转后，得到四边形 ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，旋转的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．
题型2.求旋转变换中相关线段的长度
3．（2023·浙江杭州·统考二模）如图，在正方形 中， ， 是 中点，点 是正方形内
一动点， ，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得 ，连接 ．则线段 长的最小
值为（ ）A．8 B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，证明 ，可
得 ，由勾股定理可得 ，根据 ，即可得出 的最小值．
【详解】解：如图，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，
，
在 与 中
正方形 中， ， 是 边上的中点，
线段 的最小值为 ，故选：A．
【点睛】本题考查线段的最值问题，涉及三角形的三边关系、勾股定理、旋转的性质、正方形的性质、全
等三角形的判定与性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
4．（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图，四边形 是边长为5的正方形，E是 上一
点， ，将 绕着点A顺时针旋转到与 重合，则 ．
【答案】
【分析】根据旋转得旋转角为 ,可知 ， ，然后根据勾股定理求出 即可求
出 ．
【详解】根据旋转得旋转角为 , ，
，
， ，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理，根据旋转得出 ， 是解题的关键．
5．（2023·浙江嘉兴·统考一模）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是 ，点B是x轴上的一个动点，
将线段 绕点A逆时针旋转 至点C，连接 ．在运动过程中， 的最小值为 ．【答案】
【分析】以 为边在y轴左侧作等边 ，连接 ，过点D作 轴于点E，利用 证明
，得出 ，由垂线段最短可知，当B和E重合时， 最小，则 也最小，然后在
，利用含 的直角三角形的性质求出 即可．
【详解】解：以 为边在y轴左侧作等边 ，连接 ，过点D作 轴于点E，
，
∴ ， ，
∵线段 绕点A逆时针旋转 至点C，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴当 最小时， 也最小，而点B在 轴上运动，由垂线段最短可知，当B和E重合时， 最小值为
，即 的最小值为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，含 的
直角三角形的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题的条件是解题的关键．
题型3.利用旋转的性质求阴影部分的面积
6．（2023春·浙江金华·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ，将 绕点B按逆时针方向
旋转 后得到 ，则阴影部分的面积为 ．
【答案】25
【分析】过A作 于D，根据旋转的性质得出 ， ，利用含30度角的直角
三角形的性质得出 ，结合图形得出 即可求解．
【详解】解：过A作 于D，如图：
在 中， ，将 绕点B按逆时针方向旋转 后得到 ，
∴ ，∴ ，
∴ 是等腰三角形， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，且 ，
∴ ，
故答案为：25．
【点睛】题目主要考查旋转的性质及含30度角的直角三角形的性质，结合图形，熟练掌握旋转的性质是解
题关键．
题型4.平面直角坐标系中的旋转变换
7．（2023·浙江丽水·统考一模）将含有 角的直角三角板 如图所示放置在平面直角坐标系中，
在 轴上，若 ，将三角板绕原点 顺时针旋转 ，则点 的对应点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据含 的直角三角形的性质以及勾股定理求出 、 、 的长度，画出三角板绕原点
顺时针旋转 ，过点 作 轴于点 ，然后证明 ，即可得出答案．
【详解】解：如图，分别过点 、 作 轴、 轴于点 、 ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 轴、 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点 的对应点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质
定理是解本题的关键．
题型5.分析图案中基本图形的变换
8.（2021·山西·九年级专题练习）阅读下列材料，完成相应学习任务旋转对称
把正n边形绕着它的中心旋转 的整数倍后所得的正n边形重合．我们说，正n边形关于其中心有的旋转对称．一般地，如果一个图形绕着某点O旋转角α（0＜α＜360°）后所得到的图形与原图形重合，
则称此图形关于点O有角α的旋转对称．图1就是具有旋转对称性质的一些图形．
任务：
（1）如图2，正六边形关于其中心O有 的旋转对称，中心对称图形关于其对称中心有 的旋转对
称；
（2）图3是利用旋转变换设计的具有旋转对称性的一个图形，将该图形绕其中心至少旋转 与原图形
重合；
（3）请以图4为基本图案，在图5中利用平移、轴对称或旋转进行图案设计，使得设计出的图案是中心对
称图形．
【答案】（1）60°；180°；（2）72°；（3）如图所示，是中心对称图形．（答案不唯一）见解析.
【分析】（1）根据正六边形的边数，即可得到正六边形关于其中心O有60°的旋转对称，依据中心对称的
概念，即可得到中心对称图形关于其对称中心有180°的旋转对称；
（2）依据360°÷5=72°，即可得到将该图形绕其中心至少旋转72°与原图形重合；
（3）利用平移、轴对称或旋转变换，即可设计出中心对称图形．
【详解】（1）正六边形关于其中心O有60°的旋转对称，中心对称图形关于其对称中心有180°的旋转对称；
故答案为60°；180°；
（2）∵360°÷5＝72°，
∴将该图形绕其中心至少旋转72°与原图形重合；
故答案为72°；（3）如图5所示，是中心对称图形．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了平移、旋转和轴对称变换进行作图，解题时注意：如果某一个图形围绕某一点旋
转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形
题型6.利用旋转解以特殊图形为背景的题目
9．（2023·浙江金华·统考一模）如图，已知 和 为等腰直角三角形， ，
， ，连接 、 ．在 绕点A旋转的过程中，当 所在的直线垂直于 时，
_______．
【答案】 或
【分析】①当点 在点 上方时，先判断出四边形 是矩形，求出 ，再根据勾股定
理求出， ，得出 ；
②当点 在点 下方时，同①的方法得， ， ，进而得出 ，即
可得出结论．
【详解】∵ 为等腰直角三角形， ，
，
①当点 在点 上方时，如图③，过点 作 交 的延长线于 ，
当 时，可证 ，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
矩形 是正方形，
，
在 中，根据勾股定理得， ，
．
②当点 在点 下方时，如图④
同①的方法得， ， ，
，
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理，正方形和矩形的性质与判定，解题
的关键是能够根据题意进行分情况讨论．
10．（2022秋·浙江舟山·九年级校联考期中）如图，四边形 是正方形，连接 ，将 绕点A逆
时针旋转α得到 ，连接 ，O为 的中点，连接 ．(1)如图1，当 时，求证： ．
(2)如图2，当 时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
【分析】（1）根据旋转的性质可得 ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即
可得到 ，即可证明 ．
（2）连接 ，通过证明 得到 ，进而证明 ，即
可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴
∵ 绕点A逆时针旋转 得到 ，
∴
∵O为 的中点，
∴ ，
∴ ．
（2）成立，理由如下：
连接 ，∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 绕点A逆时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ 即
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，即
∵O为 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握
选装前后对应边相等，对应角相等．
11．（2023·浙江宁波·统考一模）已知 在 内部（如图①），等边三角形 的边长为 ，等边三
角形 的边长为 ，连接 和 ．(1)求证： ；
(2)当 时，求 的长；
(3)将 绕点 旋转一周， 为 的中点（如图②），求旋转过程中 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明 即可得出结论；
（2）延长 交 于点 ，利用勾股定理求出 和 ，然后代入 即可；
（3）取 的中点 ，连接 、 ，根据勾股定理求出 ，再根据三角形中位线定理可得
，最后根据三角形三边关系定理即可得出答案．
【详解】（1）证明：如下图：
∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
（2）延长 交 于点 ，∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形且边长为 ，等边 的边长为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
（3）取 的中点 ，连接 、 ，
∵ 是等边三角形且边长为 ， 是等边三角形且边长为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴在 中， ，当 、 、 共线时取等号，
∴ ，
∴旋转过程中 的取值范围是 ．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形
三边关系定理．灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
【方法三】差异对比法
易错点 不能正确确定旋转中心
12．如图，4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△MNP ，则其旋转中心可能是
1 1 1
( )．
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】B
【解析】连接对应点 ,做三条线段的垂直平分线，交点即是旋转中心。
【方法四】 仿真实战法
考法1.旋转的性质
1．（2021•衢州）如图．将菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠ 得到菱形AB′C′D′，∠B＝∠ ．当AC平
分∠B′AC′时，∠ 与∠ 满足的数量关系是（ ） α β
α β
A．∠ ＝2∠ B．2∠ ＝3∠
α β α βC．4∠ +∠ ＝180° D．3∠ +2∠ ＝180°
【分析】α 由菱β形和旋转的性质可证：∠BAB'＝∠B'ACα＝∠CβAC'＝∠DAC'＝∠ ，再根据AD∥BC，即可
得出4∠ +∠ ＝180°． α
【解答】α解：β∵AC平分∠B′AC′，
∴∠B'AC＝∠C'AC，
∵菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠ 得到菱形AB′C′D′，
∴∠BAB'＝∠CAC'＝∠ ， α
∵AC平分∠BAD， α
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAB'＝∠DAC'，
∴∠BAB'＝∠B'AC＝∠CAC'＝∠DAC'＝∠ ，
∵AD∥BC， α
∴∠B+∠BAD＝180°，
∴4∠ +∠ ＝180°，
故选：αC．β
【点评】本题考查了菱形的性质，以及旋转前后对应角相等等知识，熟记其性质是解题的关键．
2．（2022•杭州）如图，在平面直角坐标系中，已知点 P（0，2），点A（4，2）．以点P为旋转中心，
把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在M （﹣ ，0），M （﹣ ，﹣1），M （1，4），M
1 2 3 4
（2， ）四个点中，直线PB经过的点是（ ）
A．M B．M C．M D．M
1 2 3 4
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得B（2，2+2 ），利用待定系数法可得直线PB的解析
式，依次将M ，M ，M ，M 四个点的一个坐标代入y＝ x+2中可解答．
1 2 3 4【解答】解：∵点A（4，2），点P（0，2），
∴PA⊥y轴，PA＝4，
由旋转得：∠APB＝60°，AP＝PB＝4，
如图，过点B作BC⊥y轴于C，
∴∠BPC＝30°，
∴BC＝2，PC＝2 ，
∴B（2，2+2 ），
设直线PB的解析式为：y＝kx+b，
则 ，
∴ ，
∴直线PB的解析式为：y＝ x+2，
当y＝0时， x+2＝0，x＝﹣ ，
∴点M （﹣ ，0）不在直线PB上，
1
当x＝﹣ 时，y＝﹣3+2＝﹣1，
∴M （﹣ ，﹣1）在直线PB上，
2
当x＝1时，y＝ +2，
∴M （1，4）不在直线PB上，
3当x＝2时，y＝2 +2，
∴M （2， ）不在直线PB上．
4
故选：B．
【点评】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点 B的坐标是解本题的关
键．
考法2.旋转变换中点的坐标变化
3．（2023•金华）在直角坐标系中，点（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标
．
【分析】利用旋转变换的性质作出图形可得结论．
【解答】解：如图，点A（4，5）绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点B的坐标（﹣5，4）．
故答案为：（﹣5，4）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是正确作出图形，利用图象法解决问题．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023秋·九年级课时练习）把图中的风车图案绕着中心O旋转，旋转后的图案与原来的图案重合，旋
转角的度数至少为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质，用 除以4计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴旋转的角度是 的整数倍，
∴旋转的角度至少是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是 的整数倍是解答本题的关键．
2．（2023秋·九年级课时练习）如图，将线段 绕一个点顺时针旋转 得到线段 ，点 与点 ，点
与点 是对应点，则这个点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】连接 、 ，作 和 的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求．
【详解】解：连接 、 ，
作 和 的垂直平分线，
由图形可知，两条垂直平分线交于点 ,
即点 为旋转中心，
故选A．【点睛】本题考查了旋转中心的确定，解题关键是掌握确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段
的垂直平分线，其交点就为旋转中心．
3．（2023·山东青岛·统考中考真题）如图，将线段 先向左平移，使点B与原点O重合，再将所得线段
绕原点旋转 得到线段 ，则点A的对应点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由平移的性质得 ，点 ，再由旋转的性质得点 与 关于原点对称，即可得出结论．
【详解】
解：如图，
由题意可知，点 ， ，
由平移的性质得： ，点 ，
由旋转的性质得：点 与 关于原点对称，∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转、坐标与图形的变化﹣平移，熟练掌握旋转和平移的性质是
解题的关键．
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021
次闪烁呈现出来的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察图形的变化易得每旋转一次的度数，根据阴影所处的位置可得相应选项．
【详解】解：观察图形的变化可知：每旋转一次，旋转角为90°，即每4次旋转一周，
∵2021÷4＝505...1，
即第2021次与第1次的图案相同．
故选：A．
【点睛】此题考查了图形的变换规律问题，解题的关键是找到图形旋转的规律周期．
5．（2023春·河南驻马店·九年级校考阶段练习）如图， 的两条直角边 、 分别在y轴，x轴
上，C，D分别是边 ， 的中点．连接 ，已知 ， ，将 绕点O顺时针旋转，
每次旋转 ，则第2026次旋转结束时，点C的坐标为（ ）．A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据点C是边 的中点，求得点C的坐标，再根据旋转的性质得出点C坐标变换的规律：点
C的坐标每四次一循环，根据这一规律即可求解．
【详解】解：如图，
∵ ，
∴ ， ，
∵C，D分别是边 ， 的中点．
∴ ， ，
∴ ，
绕点O顺时针旋转 ，
第一次旋转后点C的对应点 的坐标为 ，
第二次旋转后点C的对应点 的坐标为 ，
第三次旋转后点C的对应点 的坐标为 ，第四次旋转后点C的对应点 的坐标为 ，
……
由图可知，点C的坐标每四次一循环，
∵ ，
∴ 的坐标与 的坐标相同，
∴ 的坐标为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查旋转变换的点坐标规律探究，通过观察分析得出点坐标变换规律是解题的关键．
6．（2020秋·福建龙岩·九年级校考期中）如图，正方形 的两边 ， 分别在 轴、y轴上，点
在边 上，以 为中心，把 绕点 顺时针旋转 ，则旋转后点D的对应点 的坐标是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作 交 轴于点 ，证 ，即可得知 绕点 顺时针旋转 点 的
对应点即为 ，求出 即可得出答案．
【详解】解：如图，作 交 轴于点 ，
，四边形 是正方形， ，
， ， ， ，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，
绕点 顺时针旋转 点 的对应点即为 ，其坐标为 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质及旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判
定与性质及旋转的性质是解题的关键．
7．（2023·江苏常州·统考一模）如图，直线 与 轴、 轴分别相交于点A、 ，过点 作 ，
使 ．将 绕点 顺时针旋转，每次旋转 ．则第2024次旋转结束时，点 的对应点 落
在反比例函数 的图象上，则 的值为（ ）
A．6 B． C． D．4
【答案】B
【分析】过点C作 轴，垂足为D，则 是等腰直角三角形，根据 ，确定点C的坐标，
第一次旋转的坐标，根据第二次旋转坐标与点C关于原点对称，第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对
称，确定循环节为4，计算 的余数，确定最后的坐标，利用 横坐标 纵坐标计算即可．
【详解】如图，过点C作轴，垂足为D，如图所示：把 ，代入 得： ，解得： ，
∴ ，
把 ，代入 得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ，
第一次旋转的坐标为 ，第二次旋转坐标与点C关于原点对称为 ，第三次旋转坐标与第一次坐标
关于原点对称为 ，第四次回到起点，
∴每4次一个循环，
∴ ，
∴第2024次变化后点的坐标为 ，∴ ，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，
反比例函数的解析式的确定，点的坐标的对称性，利用旋转性质，确定点的对称性及其坐标是解题的关键．
8．（2017秋·九年级课时练习）如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中
心的是（ ）
A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C
【答案】A
【详解】试题分析：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为
E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH；
若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，A点对应点为G，B点对应点为H，C点对应点为E，D点
对应点为F，则可得到正方形EFGH；
若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，A点对应点为F，B点对应点为G，C点对应点为
H，D点对应点为E，则可得到正方形EFGH．
故选A．
9．（2023秋·河南郑州·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，四边形 的顶点O在原点
上， ， ， 轴，将四边形 绕点O逆时针旋转，每次旋转
，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】连接 ，过点C作 ，垂足为P，通过证得 ，得出
，通过解直角三角形得到点C的坐标为 ，由每旋转4次为一个循环，即可得
出第2023次旋转结束时点C的位置和第3次旋转结束时点C的位置相同，从而得出第2023次旋转结束时，
点C的坐标为 ．
【详解】解：连接 ，过点C作 ，如图所示，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ,
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴点C的坐标为 ，
由旋转可知第一次旋转后点C的坐标为 ，
第二次旋转后点C的坐标为 ，
第三次旋转后点C的坐标为 ，
∵每次旋转 ， ，
∴每旋转4次为一个循环．
∵ ，
∴第2023次旋转结束时点C的位置和第3次旋转结束时点C的位置相同，∴第2023次旋转结束时，点C的坐标为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查图形的旋转，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，通过旋转角度找到旋转
规律，从而确定第2023次旋转后C点的位置是解题的关键．
10．（2023·广东深圳·校考一模）如图，菱形 的对角线交于原点O， ， ．将
菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转 ，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第2023次旋转结束时，点C在第三象限，过点A作
轴于点E，延长 到 点，使 ，过点 作 轴于点F，再根据菱形的性质及全等
三角形的性质，即可求得坐标.
【详解】解：∵将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转 ， ，
∴旋转4次后回到原来的位置，
∵ ，
∴第2023次旋转结束时，点C在第三象限，
如图：过点A作 轴于点E，延长 到 点，使 ，过点 作 轴于点F，∴ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故第2023次旋转结束时，点C的坐标为 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查菱形的性质和旋转的性质，全等三角形的判定及性质，以及坐标与图形的性质，直
角三角形的性质，找出旋转规律是解题关键.
二、填空题
11．（2022秋·宁夏吴忠·九年级校考期中）运动“冰壶滑行到终点．直升机螺旋桨的转动．气球冉冉升起．
钢架雪车加速前进”属于旋转的是 ．
【答案】直升机螺旋桨的转动
【分析】根据旋转和平移的定义可得答案．【详解】解：冰壶滑行到终点属于旋转加平移；直升机螺旋桨的转动属于旋转；气球冉冉升起属于平移；
钢架雪车加速前进属于平移，
故答案为：直升机螺旋桨的转动．
【点睛】本题考查了生活中常见的旋转和平移现象，熟知旋转和平移的定义是解题的关键．
12．（2022·广东深圳·坪山中学校考模拟预测）如图，在边长为1的小正方形组成的 网格中，格点
绕点O顺时针旋转得到格点 ．则旋转中心是P，Q，M，N中的 ．
【答案】Q
【分析】连接 ，作 的中垂线，两条中垂线的交点即为旋转中心．
【详解】解：如图，点 即为旋转中心；
故答案为： ．
【点睛】本题考查旋转对称图形，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．
13．（2023·全国·九年级专题练习）如图，平南直角坐标系 中， 可以看作是 经过若干次图
形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由 得到 过程 ．【答案】将 逆时针旋转 ，再向右平移2个单位长度（答案不唯一）
【分析】根据平移、旋转的性质即可得到由 得到 的过程．
【详解】解：将 逆时针旋转 ，再向右平移2个单位长度得到 ，
故答案为：将 逆时针旋转 ，再向右平移2个单位长度（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，坐标与图形变化-平移，解题时需要注意：平移的距离等于对
应点连线的长度．
14．（2023春·内蒙古赤峰·九年级校考阶段练习）如图，将 绕原点 逆时针旋转 到 的位
置，若 轴， ， ， ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】作 轴于 ，由 ， ，得出 ，由旋转性质可知： ，
则 ，最后通过勾股定理求出 即可．
【详解】如图，作 轴于 ，∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由旋转性质可知： ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了坐标与图形变化——旋转，解题的关键是理解图形或点旋转之后要结合旋转的角度和
图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
15．（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）如图，点A的坐标为 ，点 是 轴正半轴上的一点，
将线段 绕点A按逆时针方向旋转 得到线段 若点 的坐标为 ，则 点的坐标为 ．
【答案】
【分析】过 作 轴于点 ，通过证得 ，得出 ， ，可
得点 的坐标，
【详解】解：过 作 轴于点 ，如图：，
，
，
，
， ，
，
， ，
点A的坐标为 ，点 的坐标为 ，
， ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助
线，构造全等三角形解决问题．
16．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ，将 绕点A逆时针旋
转至 处，使点B落在 延长线上的D点处，则旋转角 度．
【答案】
【分析】根据旋转的性质得到 ，由等边对等角得到 ，由三角形内角和定理即可得到 的度数．
【详解】解：∵将 绕点A逆时针旋转至 处，使点B落在 延长线上的D点处，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】此题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理等知识，利用旋转的性质得到
是解题的关键．
17．（2023·云南昆明·云南师范大学实验中学校考模拟预测）已知正方形 中，点 在边 上，
， 如图所示 把线段 绕点 旋转，使点 落在直线 上的点 处，则 、 两点的距
离为 ．
【答案】 或
【分析】分点 在线段 上，和点 在线段 的延长线上两种情况讨论，再证明
，得 即可．
【详解】解：在正方形 中， ， ，
，
，
当点 旋转得到 点，
，在 和 中
，
，
，
，
当点 旋转得到 点，同理可得 ，
，
．
故 、 两点的距离为 或 ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形全等的判定，本题的关键是运用分类讨论的思想方法．
18．（2022秋·九年级课时练习）如图，正方形 旋转后能与正方形 重合，那么点 ， ， ，
中，可以作为旋转中心的有 个．
【答案】2．
【分析】根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心．
【详解】解：把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点D；把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C；
综上，可以作为旋转中心的有2个．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
三、解答题
19．（2023秋·九年级课时练习）如图，点 是正方形 边 上一点，过 作 交 的延长
线于 点，连接 ．
(1) 可以由 通过旋转变换得到，则旋转中心是__________，旋转方向是__________，旋转角是
__________度．
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1) ，顺时针，90
(2)
【分析】（1）利用 证明 ，结合图形可得；
（2）由勾股定理先求出 的长，得到 的长，推出 ，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 可以由 绕旋转中心点 ，按顺时针方向旋转90度得到．答案： ，顺时针，90；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，证明
．
20．（2021秋·陕西渭南·九年级校考期中）如图， 的顶点坐标分别为 ， ，
．画出 绕原点 逆时针旋转 后得到的 ，并写出点 、 的对应点 、 的坐标．
【答案】作图见解析， ，
【分析】利用网格特点和旋转的性质画出 、 、 的对应点 、 、 ，再结合图形即可得出点 、
的坐标．
【详解】解：如图， 为所作，∴点 的对应点 的坐标为 ，点 的对应点 的坐标为 ．
【点睛】本题考查作图—旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，
由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
掌握旋转的性质是解题的关键．
21．（2022秋·河南周口·九年级统考期中）如图所示，在平面直角坐标系中，有一个 ，且
， ， ，已知 是由 旋转得到的．
(1)请写出旋转中心的坐标是___________，旋转角是___________度；
(2)以（1）中的旋转中心为中心，分别画出 逆时针旋转 、 后的三角形；
(3)设 两直角边 ， ，斜边 ，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．
【答案】(1) ，
(2)见解析(3)见解析
【分析】（1）根据 的垂直平分线交于点 ，则旋转中心的坐标是 ，勾股定理的逆定理可得
，进而即可求解；
（2）根据旋转的性质画出旋转图形即可求解；
（3）由旋转的过程可知，四边形 和四边形 是正方形．根据
，进而即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
的垂直平分线交于点 ，则旋转中心的坐标是 ，
又∵ ，
∴ ，
∴
即旋转角是 度．
故答案为： ， ．
（2）画出的图形如图所示．（3）由旋转的过程可知，四边形 和四边形 是正方形．
∵ ，
设 两直角边 ， ，斜边 ，
∴ ，即 ．
∴ ．
【点睛】本题考查了勾股定理，找旋转中心，旋转角，画旋转图形，勾股定理的证明，熟练掌握旋转的性
质是解题的关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心.
22．（2022秋·广东广州·九年级校考开学考试）如图，在四边形 中， ， ，垂足为
点C，E是 的中点，连接 并延长交 的延长线于点F．
(1)图中 可以由 ______绕着点______旋转______度后得到；
(2)写出图中的一对全等△三角形______；
(3)若 ， ， ．求 的面积．
【答案】(1) ，E，
(2)
(3)25【分析】（1）通过证明 即可得到 可以由 绕点E旋转 后得到；
（2）根据（1）可直接得到答案；
（3）利用 可得到答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∵E是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
,
∴ （AAS），
∴ 可以由 绕点E旋转 后得到，
故答案为： ，E， ；
（2）解：由（1）可知
故答案为： ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、梯形的面积公式运用以及中心对称的知识，解题的关键证得
．
23．（2020秋·福建厦门·九年级福建省厦门集美中学校考期中）如图， 中， ，将
绕点 按顺时针方向旋转到 ，使点 落在 边的点 处．
(1)在图中作出旋转后的 ．
(2)连接 ，若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）由旋转的性质可得： ， ， ，从而得到
， ，由三角形内角和定理计算出 ，最后由
计算即可得到答案．
【详解】（1）解： 如图所示：
；
（2）解：如图：
，
由旋转的性质可得： ， ， ，
， ，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了画旋转图形、旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以
上知识点是解题的关键．
24．（2023·安徽合肥·统考一模）如图所示，在边长为1个单位的小正方形网格中，给出了以格点（网格
线的交点）为端点的线段 ，直线l在网格线上．(1)把线段 向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到线段 （其中A与C是对应点），请画出线
段 ；
(2)把线段 绕点D按顺时㣔方向旋转 ，得到线段 ，在网格中画出 ；
(3)请在网格中画出 关于直线l对称的 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）将点 及点 分别向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到点 和点 ，连接点 和
点 即可；
（2）根据旋转的性质，找出点 绕点 按顺时针方向旋转 后所得到的对应点 ，连接 ， ，即
可得到 ；
（3）根据对称的性质，分别找出点 ，点 ，点 关于直线 对称的点 ，点 ，点 ，连接点 ，
， ，即可得到 ．
【详解】（1）解：所画线段 如图①所示；（2）解：所画 ，如图②所示；
（3）解：所画 ，如图③所示．
【点睛】本题考查了作图-图象的平移，画旋转图形，画轴对称图形，掌握图象平移的性质，旋转的性质及
对轴称图形的性质是解题关键．
25．（2022秋·北京朝阳·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ，点D在 上，
以点A为中心，将线段 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．(1)按要求作出图形， ______ （填 、 或 ）；
(2)若 ，用等式表示线段 大小关系，并证明；
(3)若 ， ，M为 的中点，求 的最小值．
【答案】(1)见解析，=
(2) ，证明见解析
(3)
【分析】（1）按照要求作图即可，由旋转的性质可得 ，即可得出 ；
（2）证明 ，得 ， ，则 ，利用勾股定理即可解决问
题；
（3）证明 ，得 ，则 ，可知点 在射线
上运动，根据垂线段最短结合含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）如图， 将线段 绕点A顺时针旋转 得到线段 ，
，
，
，
故答案为： ；
（2） ，理由如下：
， ，
，， ， ，
，
， ，
，
，
；
（3） ，
，
， ，
，
，
，
，
点 在射线 上运动，
∴当 时， 最小，
连接 ，作 于 ，如图，则 即为 的最小值，
为 中点， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在直角三角形 中， ，
∴ ，
，即 最小为 ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，
证明三角形全等、确定 最小时点E的位置是解题的关键．
26．（2023春·甘肃武威·九年级校考阶段练习）【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形
的边 、 上， ，连接 ，则有 ，试说明理由；
【迁移应用】（2）如图2，四边形 中， ， ，点E、F分别在边 、 上，
，若 ， 都不是直角，且 ，试探究 、 、 之间的数量关系；
【联系拓展】（3）如图3，在 中， ， ，点D、E均在边 上，且
，猜想 、 、 满足的等量关系．（直接写出结论，不需要证明）．
【答案】（1）见解析；（2） ，见解析；（3）
【分析】（1）把 绕点A逆时针旋转90°至 ，然后利用SAS证明 ，由此可得
．
（2）把 绕点A逆时针旋转90°至 ，然后利用SAS证明 ，由此可得
．
（3）把 旋转到 的位置，连接 ，先根据SAS证明 ，由此可得 ，
．又由 可得 ．因此 是直角三角形，由此可得
，因此 ．
【详解】（1）如图1，
∵ ， ，∴把 绕点A逆时针旋转90°至 ，可使 与 重合，如图1，
∵ ，
∴ ，点F，D、G共线，
则 ， ，
，
即 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，理由如下：如图2，
∵ ， ，
∴把 绕点A逆时针旋转90°至 ，可使 与 重合，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，点F、D、G共线
在 和 中， ，∴ ，
∴ ，
即： ，
（3） ，
理由是：把 旋转到 的位置，连接 ，则 ， ．
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
则在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．通过旋转变换构造全等三角
形是解题的关键．本题还运用了转化的思想：要想证明两条较短线段之和等于第三条线段，需要将这两条
线段转化到一条直线上，希望多加体会．
