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专题 12 圆与几何综合的两种考法
类型一、切线问题
例1．（连圆心，证半径）如图， 内接于 ， 是 的直径， 平分
交 于点E，过点E作 ，交 的延长线于点F．
(1)求证： 与 相切；
(2)若 ， ，过点E作 于点M，交 于点G，交 于点N，求
的长．
例2（连半径，证垂直）．如图， 中， ， 过B、C两点，且 是
的切线，连接 交劣弧 于点P．
(1)证明： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．【变式训练1】．如图， 内接于 是 的直径， 的切线 交 的延长
线于点 交 于点 ，交 于点 ，连接 ．
(1)判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 的半径为 ，求阴影部分的面积．
【变式训练2】．如图， 为 的直径， 是圆的切线，切点为 ， 平行于弦 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)直线 与 交于点 ，且 ， ，求 的半径．【变式训练3】．如图，以线段 为直径作 ，交射线 于点C， 平分 交
于点D，过点D作直线 于点E，交 的延长线于点F．连接 并延长交
于点M．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)求证： ；
【变式训练4】．如图，在 中， ， 平分 交 于点D，O为
上一点，经过点A，D的 分别交 ， 于点E，F．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．类型二、求长度
例．如图，已知 是 的外接圆， 是 的直径，D是 延长线的一点，
交 的延长线于E， 于F，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长．
【变式训练1】．如图，在 中， ，点D在边 上，点E在边 上．
以点D为圆心， 为半径作 与 相切于点F，已知 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，若 ，求线段 的长．
【变式训练2】．如图，在 中， ，O是边 上的点，以 为半径的圆分
别交边 、 于点D、E，过点D作 于点F．(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ，求劣弧 的长．
【变式训练3】．如图， 是 的直径，点 是 的中点，过点 的切线与 的延
长线交于 ，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的面积．
【变式训练4】．如图1，在 中， 为 的直径，点 为 上一点， 为
的平分线交 于点 ，连接 交 于点E．
(1)求 的度数；
(2)如图2，过点A作 的切线交 延长线于点 ，过点 作 交 于点 ．
若 ， ，求 的长．课后训练
1．如图，以 为直径的 经过 的顶点C， ， 分别平分 和 ，
的延长线交 于点D，连接 ， .
(1)求证： ：
(2)若 ， ，求 的长．
2．如图，在 中， 为直径， 为弦， 为 延长线上的一点，连接 ．
(1)若 的长为 ，求 的度数．
(2)若 ， ，求证： 是 的切线．
3．如图，在 中，A、B，C三点在 上，点O在 边上，点E在 外，
，垂足为F．(1)若 ，求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长．
4．如图1，已知 为 的直径，C为 上一点， 于E，D为弧 的中点，
连接 ，分别交 于点F和点G．
(1)求证： ；
(2)如图2，若 ，连接 ，求证： ．
5．如图， 中两条互相垂直的弦 交于点P， 经过点O，E是 的中点，连
接 ，延长 交 于点F．
(1)若 ， ，求 的长；
(2)求证： ．
