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专题 12 平行四边形提优练习重难点分类训练（解析版）
类型一 平行四边形中的基本图形
（一）出现角的平分线
【典例1】（2022秋•乳山市期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的点，且
∠ABE＝∠CDF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）连接CE，若CE平分∠DCB，CF＝3，DE＝5，求平行四边形ABCD的周长．
【思路引领】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出 AE＝CF，进而利用平行四
边形的判定解答即可；
（2）由平行四边形的性质和角平分线的定义得出DE＝CD＝5，再求出BC＝BF+CF＝5+3＝8，求解即
可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠A＝∠DCF，AB＝CD，
∵∠ABE＝∠CDF，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
即DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）∵四边形BEDF是平行四边形，
∴BF＝DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ECB，∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE＝∠ECB，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝CD＝5，
∴BF＝DE＝5，
∴BC＝BF+CF＝5+3＝8，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（BC+CD）＝2×（8+5）＝26．
【总结提升】此题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，
熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春•九江期末）在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD边于E，∠DCB的平分线交
AD边于F，若AB＝7，EF＝3，则BC的长为（ ）
A．11或17 B．11或12
C．12或17 D．11或12或17
【思路引领】分两种情形分别画出图形计算即可；
【解答】解：有两种情形：
①如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠EBA，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝7，同法可证：DF＝DC＝AB＝7，
∵EF＝3，
∴BC＝AD＝7+7﹣3＝11．
②如图2中，同法可知：AB＝AE＝7，DF＝DC＝7，EF＝3，∴BC＝AD＝7+3+7＝17，
故选：A．
【总结提升】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的
关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2．（2023春•温州月考）如图，在 ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形DEBF是平行▱四边形；
（2）若DE为∠ADC的角平分线，且AD＝6，EB＝4，求 ABCD的周长．
▱
【思路引领】（1）根据平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，再由AE＝CF即可得出结论；
（2）根据角平分线的定义结合CD∥AB推出AE＝AD即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴DF∥BE，
∵AE＝CF，
∴BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵DE为∠ADC的角平分线，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠CDE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝6，
∵BE＝4，
∴AB＝AE+BE＝10，
∴ ABCD的周长＝2（AD+AB）＝2（6+10）＝32．
【▱总结提升】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（二）出现边上的中点【典例2】（2023•扬州）如图，点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF、CE相交
于点M，连接AG、CH相交于点N．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）若 AMCN的面积为4，求 ABCD的面积．
▱ ▱
【思路引领】（1）依据四边形AFCH是平行四边形，可得AM∥CN，依据四边形AECG是平行四边形，
可得AN∥CM，进而得出四边形AMCN是平行四边形；
2
（2）连接AC，依据三角形重心的性质，即可得到S△ACN =
3
S△ACH ，再根据CH是△ACD的中线，即可
1 1
得出S△ACN =
3
S△ACD ，进而得到S平行四边形AMCN =
3
S平行四边形ABCD ，依据 AMCN的面积为4，即可得出结
▱
论．
【解答】解：（1）∵点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，
∴AH∥CF，AH＝CF，
∴四边形AFCH是平行四边形，
∴AM∥CN，
同理可得，四边形AECG是平行四边形，
∴AN∥CM，
∴四边形AMCN是平行四边形；
（2）如图所示，连接AC，
∵H，G分别是AD，CD的中点，
∴点N是△ACD的重心，
∴CN＝2HN，
2
∴S△ACN =
3
S△ACH ，
又∵CH是△ACD的中线，
1
∴S△ACN =
3
S△ACD ，
又∵AC是平行四边形AMCN和平行四边形ABCD的对角线，1
∴S平行四边形AMCN =
3
S平行四边形ABCD ，
又∵ AMCN的面积为4，
∴ A▱BCD的面积为12．
▱
【总结提升】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及三角形重心性质的运用，解决问题的关键是掌
握平行四边形的判定方法以及三角形重心性质．
【变式训练】
1．（2023•黄冈一模）如图，在 ABCD中，∠A＝70°，将 ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处
（点F、E都在AB所在的直线▱上），折痕为MN，则∠AM▱F等于（ ）
A．70° B．40° C．30° D．20°
【思路引领】由平行四边形的性质、折叠的性质以及三角形的外角性质即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝70°，
∴∠D＝180°﹣∠A＝110°，
由折叠的性质得：∠MFE＝∠D＝110°，
∴∠AMF＝∠MFE﹣∠A＝110°﹣70°＝40°；
故选：B．
【总结提升】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握平行四边形
的性质和折叠的性质是解决问题的关键．
2．（2021春•新罗区校级月考）已知，如图，在 ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE＝CD，点F为CE
的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、▱AG，∠1＝∠2．
（1）若CF＝2，AE＝3，求BE的长；
（2）证明：△EGC≌△DFC；1
（3）求证：∠CEG= ∠AGE．
2
【思路引领】（1）求出DC＝CE＝2CF＝4，求出AB，根据勾股定理求出BE即可；
（2）过G作GM⊥AE于M，证△DCF≌△ECG即可；
（3）由证△DCF≌△ECG，推出CG＝CF，求出M为AE中点，得出等腰三角形AGE，根据性质得出
GM是∠AGE的角平分线，即可得出答案．
【解答】（1）解：∵CE＝CD，点F为CE的中点，CF＝2，
∴DC＝CE＝2CF＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=❑√42−32=❑√7；
（2）证明：过G作GM⊥AE于M，
∵AE⊥BE，GM⊥AE，
∴GM∥BC∥AD，
在△DCF和△ECG中，
{∠1=∠2
)
∠C=∠C ，
CD=CE
∴△DCF≌△ECG（AAS），
（3）证明：∵△DCF≌△ECG，
∴CG＝CF，CE＝CD，
∵CE＝2CF，
∴CD＝2CG，
即G为CD中点，
∵AD∥GM∥BC，∴M为AE中点，
∴AM＝EM（一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等），
∵GM⊥AE，
∴AG＝EG，
∴∠AGM＝∠EGM，
∴∠AGE＝2∠MGE，
∵GM∥BC，
∴∠EGM＝∠CEG，
1
∴∠CEG= ∠AGE．
2
【总结提升】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，全等
三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，关键是证△DCF≌△ECG解答．
类型二 求平行四边形的顶点坐标
【典例3】（2023春•东港市期末）如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为（1，0），点B的坐标为
（4，0），点C在y的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C
为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为 （ 3 ， 2 ）（﹣ 3 ， 2 ）（ 5 ，﹣ 2 ） ．
【思路引领】需要分类讨论：以AB为边的平行四边形和以AB为对角线的平行四边形．
【解答】解：如图，①当BC为对角线时，易求M （3，2）；
1
②当AC为对角线时，CM∥AB，且CM＝AB．所以M （﹣3，2）；
2
③当AB为对角线时，AC∥BM，且AC＝BM．则|M |＝OC＝2，|M |＝OB+OA＝5，所以M （5，﹣
y x 3
2）．
综上所述，符合条件的点D的坐标是M （3，2），M （﹣3，2），M （5，﹣2）．
1 2 3故答案为：（3，2）（﹣3，2）（5，﹣2）．
【总结提升】本题考查了坐标与图形的性质，平行四边形的判定与性质．解题时，注意分类讨论，以防
错解或漏解．
【变式训练】
1．（2021•商河县模拟）如图，已知平行四边形OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，点O是
坐标原点，则点B的横坐标为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．10
【思路引领】过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，由四
边形OABC是平行四边形，得OA＝BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF＝∠BCD，则可由ASA证
得△OAF≌△BCD，得出BD＝OF＝1，即可得出结果．
【解答】解：过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线
x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图所示：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，
∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN＝∠NCM，∴∠OAF＝∠BCD，
∵∠OFA＝∠BDC＝90°，
∴∠FOA＝∠DBC，
{∠FOA=∠DBC
)
在△OAF和△BCD中， OA=BC ，
∠OAF=∠BCD
∴△OAF≌△BCD（ASA）．
∴BD＝OF＝1，
∴点B的横坐标为：OE＝4+BD＝4+1＝5，
故选：C．
【总结提升】本题考查了平行四边形的判定与性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质等知识；
熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
2．（2017春•雁塔区月考）平面直角坐标系中，已知 ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，
﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D的坐标是（ ）▱
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）
【思路引领】由点的坐标特征得出点A和点C关于原点对称，由平行四边形的性质得出D和B关于原
点对称，即可得出点D的坐标．
【解答】解：∵A（m，n），C（﹣m，﹣n），
∴点A和点C关于原点对称，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴D和B关于原点对称，
∵B（2，﹣1），
∴点D的坐标是（﹣2，1）．
故选：D．
【总结提升】本题考查了平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标特征；熟练掌握平行四边形的性质，得出D和B关于原点对称是解决问题的关键．
类型三 平行四边形中的面积问题
【典例4】（2023春•都昌县期末）如图1，ABCD是平行四边形对角线AC，BD相交于点O，直线EF过
点O，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：AE＝CF．
（2）如图2，若ABCD是老张家的一块平行四边形田地．P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，
为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻．请你帮老张家设计一下．画出图形，并说明
理由？
【思路引领】（1）根据平行四边形的性质即可证明△AOE≌△COF，进而可得结论；
（2）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，只要满足两块地面积相等，且都与
水井相邻就可以．那么可以考虑平行四边形的性质（平行四边形的对角线互相平分）来解题，找到对角
线的交点与水井点P的连线的所在直线即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴∠DAC＝∠BCA，
在△AOE 和△COF中，
∠DAC＝∠BCA，OA＝OC，∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF；
（2）解：设计图形如图：
理由：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，只要满足两块地面积相等，且都与
水井相邻就可以．因为平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，
所以找到对角线的交点与水井点P的连线的所在直线即可．
【总结提升】本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
【变式训练】
1．（2020秋•荥阳市月考）在 ABCD中，AB＝3，BC＝4，当 ABCD的面积最大时，下列结论：①AC
＝5；②∠A+∠C＝180°；③▱AC⊥BD；④AC＝BD．其中正▱确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【思路引领】由当 ABCD的面积最大时，AB⊥BC，可判定 ABCD是矩形，由矩形的性质，可得
②④正确，③错误▱，又由勾股定理求得AC＝5． ▱
【解答】解：∵当 ABCD的面积最大时，AB⊥BC，
∴ ABCD是矩形，▱
∴▱∠A＝∠C＝90°，AC＝BD，故③错误，④正确；
∴∠A+∠C＝180°；故②正确；
∴AC=❑√AB2+BC2=5，故①正确．
故选：B．
【总结提升】此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理．注意证得 ABCD是矩
形是解此题的关键． ▱
2．（2023•崇安区一模）在面积为60的 ABCD中，过点A作AE⊥直线BC于点E，作AF⊥直线CD于点
F，若AB＝10，BC＝12，则CE+CF的▱值为（ ）
A．22+11❑√3 B．22﹣11❑√3
C．22+11❑√3或22﹣11❑√3 D．22+11❑√3或2+❑√3
【思路引领】分两种情况：①由平行四边形ABCD的面积求出AE＝5，AF＝6，再根据勾股定理求出
BE、DF，求出CE、CF，即可得出结果；
②CE＝10﹣5❑√3，CF＝6❑√3−10，即可得出结果．
【解答】解：分两种情况：①如图1所示：∠A为锐角时；
∵平行四边形ABCD的面积＝BC•AE＝AB•AF＝60，AB＝10，BC＝12，
∴AE＝5，AF＝6，
∵AE⊥直线BC于点E，作AF⊥直线CD于F，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∴BE=❑√102−52=5❑√3，DF=❑√122−62=6❑√3，
∴CE＝12+5❑√3，CF＝10+6❑√3，
∴CE+CF＝22+11❑√3；
②如图2所示：∠A为钝角时；
由①得：CE＝12﹣5❑√3，CF＝6❑√3−10，
∴CE+CF＝2+❑√3；
故选：D．
【总结提升】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，
并能进行推理计算是解决问题的关键；注意分类讨论，避免漏解．
3．（2022秋•北安市期末）如图， ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，BC＝5，P是对角线AC上任一点（点
P不与点A、C重合），且PE∥B▱C交AB于E，且PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积为（ ）
A．5❑√3 B．5 C．10 D．10❑√3
【思路引领】利用 的性质及判定定理可判断四边形AEPF为 ，EF、AP为 AEPF的对角线，设交点
为O，则EF、AP相▱互平分，从而证得△POF≌△AOE，则阴影▱部分的面积等▱于△ABC的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∵PE∥BC，
∴PE∥AD，
∵PF∥CD，
∴PF∥AB，
∴四边形AEPF为平行四边形，
设 AEPF的对角线AP、EF相交于O，则AO＝PO，EO＝FO，∠AOE＝∠POF，
∴▱△POF≌△AOE（SAS），
∴图中阴影部分的面积等于△ABC的面积，
过A作AM⊥BC交BC于M，
∵∠B＝60°，AB＝4，
∴AM＝2❑√3，
1
∴S△ABC =
2
×5×2❑√3=5❑√3，
即阴影部分的面积等于5❑√3．
故选：A．
【总结提升】本题考查的是平行四边形的性质及判定定理，以及全等三角形及三角形面积的求法，范围
较广．
4．（2023春•郯城县期中）如图，E是平行四边形内任一点，若S ABCD＝18，则图中阴影部分的面积是
（ ） ▱
A．6 B．8 C．9 D．10
【思路引领】先根据平行四边形的性质得出AD＝CB，设两个阴影部分三角形的底为AD，CB，高分别
为h ，h ，则h +h 为平行四边形的高，然后根据三角形面积公式求解即可．
1 2 1 2【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，
设两个阴影部分三角形的底为AD，CB，高分别为h ，h ，则h +h 为平行四边形的高，
1 2 1 2
∴S阴影部分 ＝S△EAD +S△ECB
1 1
= AD•h + CB•h
2 1 2 2
1
= AD(ℎ + ℎ )
2 1 2
1
= S
2 ▱ABCD
＝9．
故选：C．
【总结提升】本题主要考查了三角形的面积公式和平行四边形的性质，要求能灵活的运用等量代换找到
需要的关系．
5．（2023春•宣化区期中）如图，F是 ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于
▱
点E，连接AF与DE相交于点P，若S =2cm2，S =8cm2，则阴影部分的面积为（ ）cm2
△APD △BQC
A．24 B．17 C．18 D．10
【思路引领】连接 EF，证明四边形 EBCF 是平行四边形，求出 S =16cm2，再得出
△BEF
S =S =2cm2 即可求出阴影部分的面积．
△APD △EPF
【解答】解：连接EF，
∵F是 ABCD的边CD上的点，
▱∴BE∥CF，
∴∠EBF＝∠CFB，∠BEC＝∠FCE，
∵BQ＝FQ，
∴△EBQ≌△CFQ，
∴EQ＝CQ，
∴四边形EBCF是平行四边形，
∴S =2S =16cm2 ，
△BEF △BQC
∵S△AED ＝S△AEF ，
∴S =S =2cm2 ，
△APD △EPF
∴S =S +S =18cm2 ，
阴影 △EPF △EBF
故选：C．
【总结提升】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练运用平行四边形的性质与判定进行证明与计算
是解题的关键．
6．（2022秋•张店区期末）如图，在 ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝
3BG，S ＝1.5，则S ＝ 4▱. 5 ．
BEPG AEPH
▱ ▱
【思路引领】由条件可证明四边形HPFD、BEPG为平行四边形，可证明S四边形AEPH ＝S四边形PFCG ，再利
用面积的和差可得出四边形AEPH和四边形PFCG的面积相等，由已知条件即可得出答案．
【解答】解：∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，
∴S△PEB ＝S△BGP ，
同理可得S△PHD ＝S△DFP ，S△ABD ＝S△CDB ，
∴S△ABD ﹣S△PEB ﹣S△PHD ＝S△CDB ﹣S△BGP ﹣S△DFP ，
即S四边形AEPH ＝S四边形PFCG ．
∵CG＝3BG，S ＝1.5，
BEPG
∴S四边形AEPH ＝S ▱
四边形PFCG
＝3×1.5＝4.5；故答案为：4.5．
【总结提升】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即
①两组对边分别平行 四边形为平行四边形，②两组对边分别相等 四边形为平行四边形，③一组对
边平行且相等 四边形⇔为平行四边形，④两组对角分别相等 四边形⇔为平行四边形，⑤对角线互相平
分 四边形为平⇔行四边形． ⇔
7．（⇔2023春•鼓楼区期中）在一块平行四边形的实验田里种植四种不同的农作物，现将该实验田划成四个
平行四边形地块（如图），已知其中三块田的面积分别是10m2，15m2，30m2，则整个这块实验田的面
积为 10 0 m2．
【思路引领】由平行四边形的面积＝底×高，可知等高的两个平行四边形面积的比等于底的比，根据这
个等量关系列出方程．
【解答】解：根据两条平行线间的距离相等，设要求的第四块的面积是x，
x 30
则 = ，
15 10
解得x＝45．
则整个试验田的面积为100m2．
故答案为：100．
【总结提升】此题主要是找到等高的两个平行四边形，根据面积的比等于底的比进行求解．
8．（2023春•泰兴市期末）如图，在 ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE交于点P，
BF与CE交于点Q，若S△APD ＝20cm▱2，S△BQC ＝30cm2，则图中阴影部分的面积为 5 0 cm2．
【思路引领】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC ＝S△BCQ ，S△EFD ＝S△ADF ，所以
S△EFG ＝S△BCQ ，S△EFP ＝S△ADP ，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD +S△BQC ．
【解答】解：连接E、F两点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，
∴S△EFC ＝S△BCF ，
∴S△EFQ ＝S△BCQ ，
同理：S△EFD ＝S△ADF ，
∴S△EFP ＝S△ADP ，
∵S△APD ＝20cm2，S△BQC ＝30cm2，
∴S四边形EPFQ ＝50cm2，
故答案为：50．
【总结提升】本题主要考查了平行四边形的性质，题目综合性较强，主要考查了平行四边形的性质，解
答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形．
9．（2023秋•青神县期中）已知平行四边形ABCD内有一点P，S△PAB ＝4，S△PBC ＝6，计算图中阴影部分
△PBD的面积（要求写出过程）．
【思路引领】根据平行四边形的性质得出S△PAB +S△PAD +S阴 ＝S△PAD +S△PBC ，代入求出即可．
1 1
【解答】解：∵S❑
△PAB
+S
△PAD
+S
阴
=
2
S
平行四边形A
，
BC
S△DPAD +S△PBC =
2
S
平行四边形A
，
BCD
∴S△PAB +S△PAD +S阴 ＝S△PAD +S△PBC ，
即4+S阴 ＝6，
∴S阴 ＝2．
故答案为：2．
【总结提升】本题考查了平行四边形的性质、三角形面积以及有理数的运算，掌握其性质定理是解决此
题的关键．
类型四 平行四边形的最值问题【典例5】（2022秋•扶风县期中）如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，D是BC边上任意一点，
连接AD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE长的最小值为 9. 6 ．
【思路引领】设AC交ED于点O，过点O作OH⊥BC于点H，根据平行四边形的性质可知O是AC的
1
中点，根据等腰三角形的性质可知OB⊥AC，再根据勾股定理可得OB的长，再根据△BOC的面积=
2
1
OC•OB= BC•OH，求出OH的长，当点D与点H重合时，OD的长度取得最小值4.8，进一步可得DE
2
的最小值．
【解答】解：设AC交ED于点O，过点O作OH⊥BC于点H，如图所示：
在平行四边形ADCE中，AO＝CO，EO＝DO，
∵AB＝BC＝10，
∴BO⊥AC，
∵AC＝12，
∴AO＝OC＝6，
根据勾股定理，得BO=❑√102−62=8，
1 1
∴△BOC的面积= CO•OB= BC•OH，
2 2
CO⋅OB 6×8
∴OH= = =4.8，
BC 10∴当点D与点H重合时，OD的长度取得最小值4.8，
∴DE的最小值为4.8×2＝9.6，
故答案为：9.6．
【总结提升】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，本题综合
性较强，难度较大．
【变式训练】
1．（2022春•宁海县期中）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝6，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，点F
为BC上一点，点G为BE上一点，连接CG，FG，则CG+FG的最小值为 3❑√3 ．
【思路引领】在AB上取一点H，使BH＝BF，则GF＝GH，所以CG+FG＝CG+HG，因此当C、G、H
在同一直线上，且CH⊥AB时，CG+FG＝CG+HG最小，最小值为CH．
【解答】解：在AB上取一点H，使BH＝BF，
∵BE平分∠ABC，
∴GF＝GH，
∴CG+FG＝CG+HG，
∴当C、G、H在同一直线上，且CH⊥AB时，
CG+FG＝CG+HG最小，最小值为CH．
∵BC＝6，∠ABC＝60°，
∴∠BCH＝30°，
∴BC＝2BH，
1
∴BH= BC＝3，
2
∴CH=❑√BC2−BH2=❑√62−32=3❑√3．
故答案为：3❑√3．【总结提升】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟练运用轴对称的性质是解题的关键．
2．（2022春•海陵区月考）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0）、B（0，﹣4），点P是y轴上
一动点，连接AP并延长至点D，使PD＝AP，以AB、AD为邻边作 ABCD，连接OC，当OC长最小
时，则点P的坐标是 （ 0 ， 2 ） ． ▱
【思路引领】设点P（0，y），先求出点C，点D坐标，由垂线段最短，可得当点C在x轴上时，OC
长度的最小值为6，即可求解．
【解答】解：设点P（0，y），
∵PD＝AP，点A（﹣3，0），
∴点D（3，2y），
∵点A（﹣3，0）、B（0，﹣4），四边形ABCD是平行四边形，
∴C（6，2y﹣4），
∴点C在x＝6这条直线上运动，
∴当点C在x轴上时，OC长度的最小值为6，
即2y﹣4＝0，
∴y＝2，
∴点P（0，2）．故答案为（0，2）．
【总结提升】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
类型五 平行四边形中的动点问题【典例6】（2022春•济南期中）如图，平行四边形 ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以
每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运
动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四
点组成平行四边形的次数有（ ）
A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
【思路引领】首先设经过t秒，根据平行四边形的判定可得当DP＝BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组
成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP＝BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣t，
此时方程t＝0，此时不符合题意；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣12＝12﹣t，
解得：t＝4.8；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣24）＝12﹣t，
解得：t＝8；
④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣36＝12﹣t，
解得：t＝9.6；
∴共3次．
故选：C．
【总结提升】此题考查了平行四边形的判定判定和性质，注意能求出符合条件的所有情况是解此题的关
键，注意掌握分类讨论思想的应用．
【变式训练】
1．（2021春•西宁期末）如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动；点F从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当t为
2 或 4 s时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形．
【思路引领】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、
E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝t cm，BF＝3t cm，
则CF＝BC﹣BF＝（8﹣3t）cm，
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝8﹣3t，
解得：t＝2；
当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝t cm，BF＝3t cm，
则CF＝BF﹣BC＝（3t﹣8）cm，
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝3t﹣8，
解得：t＝4；
综上可得：当t＝2或4s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，
故答案为：2或4．
【总结提升】考查了平行四边形的判定，解题的关键是分别从当点 F在C的左侧时与当点F在C的右
侧时去分析．
2．（2022春•海安市月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），
动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方
向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造 PCOD．在线段OP延长线上一动点E，且满
足PE＝AO，设点P运动时间为t秒． ▱
（1）当点C运动到线段OB中点时，t＝ ，点E的坐标为 ；
（2）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（3）当OC＝2时，求四边形ADEC的周长．
【思路引领】（1）当C运动到OB的中点时，根据时间t＝路程/速度即可求得，进而求得E的坐标；
（2）证明△AOC≌△EPD，则AC＝DE，∠CAO＝∠DEP，则AC和DE平行且相等，则四边形ADEC
为平行四边形；
（3）先判断出∠OPD＝90°，当OC＝2时，BC＝OB﹣OC＝4，求出t＝2，由勾股定理可求出AC和AD
的长，则可得出答案．
【解答】（1）解：∵点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），
∴OA＝3，OB＝6，
∵点C运动到线段OB的中点，
1
∴OC＝BC= OB＝3，
2
3
则t＝3÷2= ，
2
3
∴OP= ，
2
∵PE＝OA，
3 9
∴OE＝OP+PE＝OP+OA= +3= ，
2 2
9
则E的坐标是（ ，0），
2
3 9
故答案为： ，（ ，0）；
2 2
（2）证明：∵四边形PCOD是平行四边形，
∴OC＝PD，
在△AOC和△EPD中，{
AO=PE
)
∠AOC=∠EPD ，
OC=PD
∴△AOC≌△EPD（SAS），
∴AC＝DE，∠CAO＝∠DEP，
∴AC∥DE，
∴四边形ADEC是平行四边形；
（3）解：∵四边形PCOD是平行四边形，
∴OC＝DP，PD∥OC，
∴∠DPO＝∠COP，
∵∠POC＝90°，
∴∠DPO＝90°，
当OC＝2时，BC＝OB﹣OC＝4，
∴t＝2，
∴OP＝2，
∴PD＝2，AP＝AO+OP＝3+2＝5，
∴AD=❑√AP2+PD2=❑√52+22=❑√29，
∵OC＝2，OA＝3，
∴AC=❑√OC2+OA2=❑√22+32=❑√13，
∴平行四边形ADEC的周长为2（AC+AD）＝2❑√13+2❑√29．
【总结提升】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三
角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
3．（2021春•南关区期中）如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝3，BC＝10，AD＝6．
点P从点B出发，沿射线BC方向以每秒4个单位长度的速度运动，同时点Q从点A出发，沿AD以每
秒1个单位长度的速度向点D运动，当点Q到达点D时，点P、Q同时停止运动，设点Q的运动的时间
为t秒．
（1）CD的长为 5 ．
（2）求PC的长（用含t的代数式表示）．
（3）当以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
（4）直接写出△PCD是以CD为腰的等腰三角形时t的值．【思路引领】（1）过点D作DE⊥BC于E，根据题意推出四边形ABED是矩形，根据勾股定理求解即
可；
（2）根据线段的和差结合绝对值性质求解即可；
（3）当四边形ACPQ为平行四边形时，AQ＝CP，即t＝|4t﹣10|（0＜t≤6），可将t求出；
（4）①当PC＝CD时，|4t﹣10|＝5，据此求解即可；
②当DP＝DC时，则DE垂直平分PC，则PC＝2EC＝8，即10﹣4t＝8，据此求解即可．
【解答】解：（1）如图，过点D作DE⊥BC于E，
∵∠A＝90°，
∴AB⊥AD，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，∠A＝90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴DE＝AB＝3，EC＝BC﹣AD＝4，∠DEC＝90°，
∴CD=❑√DE2+EC2=❑√32+42=5，
故答案为：5；
（2）∵AQ≤AD，
∴0＜t≤6，
∴PC＝|BP﹣BC|＝|4t﹣10|=¿；
（3）∵四边形ACPQ是平行四边形，
∴AQ∥CP，AQ＝CP，
即t＝|4t﹣10|（0＜t≤6），
10
∴t＝2或 ，
3
（4）①当PC＝CD时，|4t﹣10|＝5，
15 5
解得，t= 或 ；
4 4
②当DP＝DC时，则DE垂直平分PC，∴PC＝2EC＝8，
即10﹣4t＝8，
1
∴t= ，
2
15 5 1
综上，△PCD是以CD为腰的等腰三角形时t的值为 或 或 ．
4 4 2
【总结提升】本题属于四边形综合题，考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定
和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类
讨论的思想思考问题．
类型六 平行四边形中的判定和性质的综合运用
【典例7】（2023春•榕城区期末）在 ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长
线与边AD交于点F，连接BF、DE▱如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；
②求证：CD＝CH．
【思路引领】（1）通过ASA证明△BOE≌△DOF，得DF＝BE，又DF∥BE，即可证明四边形BEDF是
平行四边形；
（2）①过点D作DN⊥EC于点N，先根据勾股定理求出DN＝4❑√2，由∠DBC＝45°得BN＝DN，即可
求出答案；
②根据DN⊥EC，CG⊥DE，得∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，则有∠EDN＝∠ECG，再
证∠CDH＝∠CHD，得出CD＝CH．
【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，∴AD∥BC，BO＝DO，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△BOE与△DOF中，
{∠CBD=∠ADB
)
BO=DO ，
∠BOE=∠DOF
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴DF＝BE且DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）①解：如图，过点D作DN⊥EC于点N，
∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4，
∴EN＝CN＝2，
∴DN=❑√DC2−CN2=❑√36−4=4❑√2，
∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，
∴∠DBC＝∠BDN＝45°，
∴DN＝BN＝4❑√2，
∴BE＝BN﹣EN＝4❑√2−2，
②证明：∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，
∴∠EDN＝∠ECG，
∵DE＝DC，DN⊥EC，
∴∠EDN＝∠CDN，
∴∠ECG＝∠CDN，
∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，
∴∠CDB＝∠DHC，
∴CD＝CH．【总结提升】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的
性质与判定等知识，熟记等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023•六安模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D、E分别在AC边和AB边上，沿
着直线DE翻折△ADE，点A落在BC边上，记为点F，如果CF＝2，则BE的长为（ ）
3❑√2 7❑√2
A．6 B．5❑√2 C． D．
2 2
【思路引领】过点F作FG⊥AB于G，先求出AB=6❑√2，BF=2，则FG=2❑√2，AG=4❑√2，设AE
＝x，则EF=x，EG=4❑√2−x，在Rt△EFG中，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：过点F作FG⊥AB于G，
∴∠BGF＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝BC＝6，CF＝2，
∴AB=❑√2AC=6❑√2，BF=6−2=4，∠B=45°，
❑√2
∴FG=BG= BF=2❑√2，
2
∴AG=AB−BG=4❑√2，
设AE＝x，则EF=x，EG=4❑√2−x，
在Rt△EFG中，由勾股定理得EG2+FG2＝EF2，即(4❑√2−x) 2+(2❑√2) 2=x2，
5❑√2
解得x= ，
2
5❑√2 7❑√2
∴BE=AB−AE=6❑√2− = ，
2 2
故选：D．
【总结提升】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的性质，勾股定理，能够准确作出辅助线是解题的
关键．
类型七 三角形中位线定理
【典例8】（2023春•桥西区期末）【三角形中位线定理】
已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝
45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，
BD于点F，G，EF＝EG．
求证：BD＝AC．【思路引领】【三角形中位线定理】根据三角形中位线定理即可得到结论；
【应用】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝4，根据勾股定理的逆定理得到
∠BDC＝90°，计算即可；
【拓展】取DC的中点H，连接MH、NH，则MH、NH分别是△ACD、△BCD的中位线，由中位线的
1 1
性质定理可得MH∥AC且MH= AC，NH∥BD且NH= BD，根据等腰三角形的性质即可得结论．
2 2
1
【解答】解：【三角形中位线定理】DE∥BC，DE= BC；
2
理由：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
1
∴DE∥BC，DE= BC；
2
【应用】连接BD，如图所示，
∵E、F分别是边AB、AD的中点，
∴EF∥BD，BD＝2EF＝4，
∴∠ADB＝∠AFE＝45°，
∵BC＝5，CD＝3，
∴BD2+CD2＝25，BC2＝25，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°；
【拓展】证明：取DC的中点H，连接MH、NH．
∵M、H分别是AD、DC的中点，∴MH是△ADC的中位线，
1
∴MH∥AC且MH= AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），
2
1
同理可得NH∥BD且NH= BD．
2
∵EF＝EG，
∴∠EFG＝∠EGF，
∵MH∥AC，NH∥BD，
∴∠EFG＝∠HMN，∠EGF＝∠HNM，
∴∠HMN＝∠HNM，
∴MH＝NH，
∴AC＝BD．
【总结提升】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性
质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春•鼓楼区期中）如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点．对“中位线定理”逆向
思考，可得以下3则命题：
1
Ⅰ．若D是AB的中点，DE= BC，则E是AC的中点；
2
1
Ⅱ．若DE∥BC，DE= BC，则D，E分别是AB，AC的中点；
2
Ⅲ．若D是AB的中点，DE∥BC，则E是AC的中点．
（1）从以上命题中选出一个假命题，并在图2中画出反例（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）从以上命题中选出一个真命题，并进行证明．
【思路引领】（1）根据三角形中位线定理解答即可；（2）根据全等三角形的判定和性质以及三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：（1）选择I，理由如下：
1
如图，D是AB中点，DE= BC 但E显然不是AC的中点，
2
（2）真命题是Ⅱ或Ⅲ．
选择命题Ⅲ．
证明：如图，延长ED到点F使DF＝DE，连接BF．
∵D为AB中点，
∴AD＝BD．
在△ADE与△BDF中，
{
AD=BD
)
∠ADE=∠BDF ，
DE=DF
∴△ADE≌△BDF（SAS），
∴BF＝AE，∠F＝∠AED，
∴AC∥BF，
又∵DF∥BC，
∴四边形BCEF为平行四边形，
∴BF＝CE，
又∵BF＝AE，
∴CE＝AE，
即E是AC的中点．【总结提升】此题考查三角形中位线定理，关键是根据全等三角形的判定和性质以及三角形中位线定理
解答．
2．（2021•临淄区一模）如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中
点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长是多少？
【思路引领】根据三角形中位线定理求出MN，证明△MNE≌△DCE，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵M，N分别是AB和AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
1
∴MN= BC＝2，MN∥BC，
2
∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，
∵点E是CN的中点，
∴NE＝CE，
在△MNE和△DCE中，
{∠NME=∠CDE
)
∠MNE=∠DCE ，
NE=CE
∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD＝MN＝2．【总结提升】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于
第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
