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专题 13.12 轴对称（全章知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】轴对称
1.轴对称图形和轴对称
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，
这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直
平分线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于
这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两
个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么
这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
2.线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条
线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
【知识点二】作轴对称图形
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，
就可以得到原图形的轴对称图形；
（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对
称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
【知识点三】等腰三角形
1.等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.
特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
2.等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
3.直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用轴对称的性质求值
【例1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P在四边形 的内部，且点P与点M关于
对称， 交 于点G，点P与点N关于 对称， 交 于点H， 分别交 于点 ．
（1）连接 ，若 求 的周长；
（2）若 ，求 的度数．【答案】(1)12cm (2)134°
【分析】本题主经考查了轴对称与多边形综合．熟练掌握轴对称性质，多边形内角和公式，是解决问题
的关键．n边形内角和公式 ．
（1）根据轴对称性质得到， ， ，得到 的周长等于线段 的长度，为 ．
（2）根据轴对称性质得到， ， ， ， ，根据四边形 内
角和为 与 ，得到 ，根据五边形 内角和为 ，得到
．
解：（1）如图，∵点P与点M关于 对称，
∴ ，
∵点P与点N关于 对称，
∴ ，
∵ ，
∴ 的周长为 ．
（2）解：∵点P与点M 关于 对称，
∴ ，
即 ，
∵点P 与点N 关于 对称，
∴ ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
【变式1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，四边形 中， ，将 沿着 折
叠，使点 恰好落在 上的点 处，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是
作辅助线构造四边形 ，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点
所连线段的垂直平分线．
连接 ， ，过 作 于 ，依据 ， ，即可得出
，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到 ．
解：如图，连接 ，过 作 于 ，
点 关于 的对称点 恰好落在 上，
垂直平分 ，
，
，
，
，
又 ，，
，
又 ，
，
故选：D．
【变式2】（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图， 与 关于直线 对称，
，延长 交 于点F，当 时， ．
【答案】36
【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，证明
，利用三角形内角和定理构建方程求解即可．
解： 与 关于直线 对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：36．
【题型2】利用折叠的特征求值
【例2】（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，在长方形纸片 中，点E在边 上，点F在边
上，四边形 沿 翻折得到四边形 且点 恰好落在边 上；将 沿 折叠得
到 且点 恰好落在边 上．（1）若 则 ．
（2）若 ，求 的度数．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查了折叠的性质，熟练用折叠的性质进行角度的转换是解题的关键．
（1）根据折叠的性质可得 ，设 ，则可得 ，根据
列方程，即可解答；
（2）根据 可求得 ，再求出 和 ，利用折叠的性质即可得到 ，即
可解答．
解：（1） 四边形 沿 翻折得到四边形 且点 恰好落在边 上，
，
设 ，则可得 ，
根据 可得 ，
解得 ，
故答案为： ；
（2）解：在 中，
∵ ， ，
，
∵点 恰好落在边 BC上，
．
，
，
，由折叠的性质，知
．
【变式1】（23-24九年级上·山东枣庄·开学考试）如图，四边形 为一矩形纸带，点 分别在
边 上，将纸带沿 折叠，点 的对应点分别为 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了邻补角的性质，折叠的性质及平行线的性质，由 可得 ，再利用
折叠的性质求得 的度数，然后利用平行线性质即可求得答案，掌握折叠的性质是解题的关键．
解：∵ ，
∴ ，
由折叠性质可得， ，
∵ ，
∴ ，
故选： ．
【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在 和 中， 相交
于点E， ．将 沿 折叠，点D落在点 处，若 ，则 的大小为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质等知识点，解决本题的关键
是掌握翻折的性质．证明 ，得 ，然后由翻折的性质和三角形内角和定理即可解
决问题．
解：在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由翻折可知： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【题型3】线段垂直平分线的性质与判定求值
【例3】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图， 是 的角平分线， 分别是 和
的高．
（1）试说明 垂直平分 ；
（2）若 ，求 的长．【答案】(1)详见解析 (2)4
【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明
是解题的关键．
（1）利用角平分线的性质证明 ，证明 ，则 ，即可证明结论；
（2）根据 列式计算即可．
解：（1）证明：∵ 是 的角平分线， 分别是 和 的高．
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【变式1】（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于
长为半径画弧，两弧相交于点 、 ，作直线 ，交 于点 ，连接 ．若 ， ，则的周长为（ ）
A．12 B．14 C．19 D．26
【答案】C
【分析】由作图可知， 是线段 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得 ，通过等量
代换即可求解，本题考查了垂直平分线的判定和性质，解题的关键是：从作图方法中识别出垂直平分线
的作法．
解：由题意可得， 是线段 的垂直平分线，
，
，
故选： ．
【变式2】（23-24九年级上·重庆·期末）如图在 中，D为 中点， ，
， 交 于F， ， ， 则 的长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理等；
连接 ，过点E作 交 的延长线于点G，由线段垂直平分线的性质得 ，由角平分
线的性质得 ，由 得 由全等三角形的性质得 ，同理可得 ，
即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键．
解：如图，连接 ，过点E作 交 的延长线于点G，为 中点， ，
，
，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
（ ），
，
同理可得： ，
，
，
，
解得： ，
，
故答案： ．
【题型4】利用等腰三角形的性质与判定求值或证明
【例4】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在 中， ， ， 是 边
上的中线， 的垂直平分线 交 于点E，交 于点F， ．
（1）求证： ；
（2）试判断 的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析； (2)等边三角形，见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，掌握等腰
三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得出 ， ， ，进而根据 ，得出
，根据等角对等边即可得证；
（2）根据 是 的垂直平分线，得出 ，根据等边对等角得出 ，进而得出
，可得 是等边三角形.
（1）证明：∵ ， ， 是 边上的中线，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）结论： 是等边三角形．
∵ 垂直平分线段 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ， 是 边上的中线，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．【变式1】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）在 中， ， ，则 是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的判定，根据三角形的内角和求出 即可判断．
解：在 中， ， ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
故选：B．
【变式2】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在 中， ， ， 于
点E，若 ， 的周长为10，则 的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据已知可得
，从而可得 ，然后利用等腰三角形三线合一性质计算解答．
解： ，且 的周长为10，
，
，
，
，
，
，
， ，
．
故答案为：3．
【题型5】利用等边三角形的性质与判定求值或证明
【例5】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知 中， ， 于D，的平分线分别交 ， 于E、F．
（1）试说明 是等腰三角形．
（2）若点E恰好在线段 的垂直平分线上，试说明线段 与线段 之间的数量关系．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）首先根据条件 ， ，可证出 ， ，
再根据同角的补角相等可得到 ，再利用三角形的外角性质可得到 ，最后利用
等角对等边即可得出答案；
（2）由线段垂直平分线的性质得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，由 是
的平分线，得到 ，根据直角三角形的性质即可得到结论．
解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）∵点E恰好在线段 的垂直平分线上，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】此题主要考查了直角三角形综合，熟练掌握直角三角形性质，角平分线性质，三角形外角性质，
等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，是解题的关键．
【变式1】（23-24八年级上·福建福州·期末）如果 为三角形的三边长，且满足
，那么该三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．无法确定
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形和等边三角形的判定，掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法是解题
关键．
根据 得到 或 或 或 ，从而可以判定该三角形的形状．
解：∵ ，
∴ 或 或 或 ，
解得 或 或 或 ，
∴该三角形的形状为等腰三角形或等边三角形，
故选：D．
【变式2】（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图1， 和 是等边三角形，连接 ， 交
于点F．
（1） 的值为 ；
（2） 的度数为 .【答案】 1 60
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质．
（1）根据等边三角形的性质得出 ， ， ，再由
，得出 ，利用 可证得 ，从而可得出结
论；
（2）由 ，可得 ，再根据 ，结合三角形内角和即可
求解．
解：（1）∵ 和 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，则 ，
故答案为：1；
（2）由 ，可得 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： 60．
【题型6】利用30度所对的直角边等于斜边一半求值或证明
【例6】（2024八年级上·江苏·专题练习）在 中， ， 是边 的中点，
于点 ， 平分 ．
（1）求证： 平分 ；
（2）过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，求证： ；
（3） 是什么三角形？证明你的猜想．【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 是等腰直角三角形，证明见解析
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 ，由等腰三角形的性质
得到 ，由余角的性质得到 ，等量代换得到 ，根据角平分线
的性质得到 ，即可得到结论；
（2）根据 ， ，得到 ，由平行线的性质得到 ，由于
，于是得到 ，即可得到结论；
（3）根据 ， ，于是得到 ，由 ，推出 是等腰直
角三角形．
（1）证明： 中， ，
是 边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
即 ，
平分 ；
（2）证明： ， ，
，
，，
，
；
（3）解： 是等腰直角三角形，
， ，
，
，
是等腰直角三角形．
【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，角平分
线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．
【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图， 中， ， 于点
D，若 ，则 的长度为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练运用“在直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的
关键．
由含 角的直角三角形的性质可分别求得 和 的长，进而求得 的长．
解：∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴在 中， ，
∴ ．
故选：C．
【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在 中， ， 是 的平
分线， 垂直平分 ，若 ，则 ．【答案】6
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、 所对的直角边是斜边的一半，掌握线段垂直平分线上
的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得 ，在 中，根据直角三角形的
性质可求得 ，则可得出 的长．
解： 垂直平分 ，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川巴中·中考真题）如图，在 中， 是 的中点， ， 与 交于
点 ，且 ．下列说法错误的是（ ）
A． 的垂直平分线一定与 相交于点
B．
C．当 为 中点时， 是等边三角形D．当 为 中点时，
【答案】D
【分析】连接 ，根据 ，点 是 的中点得 ，则 ，进而得点
在线段 的垂直平分线上，由此可对选项Ａ进行判断；设 ，根据 得
，的 ，再根据 得 ，则
，由此可对选项Ｂ进行判断；当 为 中点时，则 ， 是线段 的
垂直平分线，由此得 ，然后根据 ， ， 得 ，由此可对选
项Ｃ进行判断；连接 并延长交 于 ，根据 是等边三角形得 ，则
，进而得 ， ，由此得 ， ，由此可对
选项Ｄ进行判断，综上所述即可得出答案．
解：连接 ，如图1所示：
，点 是 的中点，
为 斜边上的中线，，
，
，
点 在线段 的垂直平分线上，
即线段 的垂直平分线一定与 相交于点 ，故选项A正确，不符合题意；
设 ，
，
，
，
，
，
，
即 ，故选B正确，不符合题意；
当 为 中点时，则 ，
，
是线段 的垂直平分线，
，
， ， ，
，
，
是等边三角形，故选C正确，不符合题意；
连接 ，并延长交 于 ，如图2所示：
当 为 中点时，点 为 的中点，
根据三角形三条中线交于一点得：点 为 的中点，
当 为 中点时， 是等边三角形，
， ， 平分 ， 平分 ，
，
，
在 中， ，
，
，
， ，
，故选项D不正确，符合题意．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，
等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角
形的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【例2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在 中， ，AD是高，以点A为圆
心，AB长为半径画弧，交 于点E，再分别以B、E为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在
的内部交于点F，作射线 ，则 ．
【答案】 /10度
【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出 平分 ，然后利用三
角形内角和定理求解即可．
解：因为 ，所以 ，
根据题意得： 平分 ，
所以 ，
因为AD为高，
所以 ，
所以 ,
所以 ，
故答案为： ．
2、拓展延伸
【例】（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）在等腰 中， ， ，将一块足够大的
直角三角尺 （ 、 ）按如图所示放置，顶点 在线段 上滑动，三角尺的直
角边 始终经过点 ，并且与 的夹角 ，斜边 交 于点 ．
（1）当 运动到 中点时， __________度；
（2）当 时，请写出图中所有的等腰三角形（ 除外）__________．
（3）在点 的滑动过程中，当 的形状是以 为底的等腰三角形时，请在指定位置画出此时形成
的图形，并指出此时图中的所有直角三角形（ 除外）．不用说明理由．
【答案】(1)60； (2) 和 ；(3)此时图中的所有直角三角形是 和 ．
【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，外角性质，直
角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得到 ，求得 ，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和定理得到 ，求得 ，根据等腰三角形的判定定
理得到 是等腰三角形，求得 ，根据等腰三角形的判定定理得到 是等腰三角
形
（3）当 时， 以 为底的等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到 ，
即 ，推出 是直角三角形，根据三角形的内角和定理得到 ，求得，于是得到 是直角三角形．
解：（1） ，点 为 中点，
，
，
，
，
故答案为：60；
（2） ， ，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
是等腰三角形，
故答案为： 和 ；
（3）如图，
，
，
当 时， 以 为底的等腰三角形，
，即 ，
；是直角三角形，
，
，
，
是直角三角形，
综上所述，此时图中的所有直角三角形是和．
