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模块六 立体几何（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．在四面体 中， ，则四面体 外接球的体积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为 ， ， ，所以 .
又 ，所以 ，故 .
取 的中点 ，则 到四面体 四个顶点的距离均为2，即四面体 外接球的半径为2，则四而
体 外接球的体积为 .
故选：D.
2．如图所示，在正方体 中，E为线段 上的动点，则下列直线中与直线CE夹角为定
值的直线为（ ）A．直线 B．直线
C．直线 D．直线
【答案】C
【解析】
设正方体的棱长为1，
如图，以 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系，
， ， ， ， ，
设 ， ，则 ， ， ， ，
，
，不是定值，故A错；，不是定值，故B错；
，所以直线 与直线 所成角为 ，故C正确；
，不是定值，故D错.
故选：C.
3．若平面 截球 所得截面圆的面积为 ，且球心 到平面 的距离为 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由平面 截球 所得截面圆的面积为 ，得此截面小圆半径 ，而球心到此小圆距离
，
因此球 的半径 ，有 ，
所以球 的表面积 .
故选：C
4．在三棱柱 中， 平面 是等边三角形， 是棱 的中点， 在棱
上，且 . 若 ，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】取AB中点 ,连接DF，EF,
因为D是BC的中点，所以 ，
即异面直线AC 与 DE 所成角就是平面 或补角，假设 ，因为△ABC 是等边三角形，所以 ,
因为 , ，
所以 ,
因为 平面ABC，则 为直三棱柱，
所以 , ,
在△DEF中， ,
故异面直线AC 与 DE 所成角余弦值为 .
故选：B.
5．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直
角圆锥，若直角圆锥底面圆的半径为1，则其内接正方体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
沿正方体上底面的对角线作圆锥的轴截面，如图所示，
由题知 为等腰直角三角形， ， ，设正方体的棱长 ，
则 ， ，
则由 与 相似可得 ，即 ，
，所以正方体棱长为 .
故选：C.
6．阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿
交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到的阿基米德多面体，如图所示.则
该多面体所在正方体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，截面三角形边长为 ，
则原正方体棱长的一半为1，即多面体所在正方体的棱长为2，
可得正方体体对角线长 ，外接球半径为 ，
所以外接球表面积为 .
故选：D.
7．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，两圆锥的表面积分别为 和 ，内切
球半径分别为 和 ．若 ，则 的值是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】两圆锥的母线长为 ，甲圆锥底面半径为 ，乙圆锥底面半径为 ，
由圆心角之和为 ，得 ，则 ，
又 ，即 ，将 代入，
所以 ，
即 ，所以 ，从而 ， ．
由圆锥内切球半径公式得， ，
所以 ，将 代入 ，解得 ，同理可得 ，所以 .
故选：C.
8．半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体 就是一个半
正多面体，其中四边形 和四边形 均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所
有棱长均为2，则平面 与平面 之间的距离为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】分别取 的中点 ，连接 ，
根据半正多面体的性质可知，四边形 为等腰梯形；
根据题意可知 ，
而 平面 ，
故 平面 ，又 平面 ，
故平面 平面 ，则平面 平面 ，
作 ，垂足为S，平面 平面 ，
平面 ，故 平面 ，
则梯形 的高即为平面 与平面 之间的距离；
，
故 ，
即平面 与平面 之间的距离为 ，
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．如图，在正四棱柱 中， ， 为 的中点， 为 上的动点，下列结论正
确的是（ ）A．若 平面 ，则 B．若 平面 ，则
C．若 平面 ，则 D．若 平面 ，则
【答案】BD
【解析】如图建立空间直角坐标系，令 ，则 ， ， ， ，
，
则 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，
又平面 的法向量可以为 ，
设 ， ，则 ，
若 平面 ，则 ，即 ，解得 ，
即 ，故A错误，B正确；
若 平面 ，则 ，则 ，即 ，
所以 ，解得 ，即 ，故C错误，D正确.故选：BD
10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．已知任意非零向量 ，若 ，则
B．若对空间中任意一点 ，有 ，则 四点共面
C．设 是空间中的一组基底，则 也是空间的一组基底
D．若空间四个点 ，则 三点共线
【答案】BD
【解析】对于 ：若 ，则 ，
且 ，故 错误；
对于 ，若对空间中任意一点 ，
有 ， ，
四点共面，故B正确；
对于 ， 是空间中的一组基底，
且 ， 共面，
不可以构成空间的一组基底，故C错误；对于 ，若空间四个点 ， ，
， 三点共线，故D正确.
故选：BD
11．在等腰梯形 中， ，点 分别为 的中点，以 所
在直线为旋转轴，将梯形旋转 得到一旋转体，则（ ）
A．该旋转体的侧面积为
B．该旋转体的体积为
C．直线 与旋转体的上底面所成角的正切值为
D．该旋转体的外接球的表面积为
【答案】ACD
【解析】由题意可知，所得到的旋转体是圆台，如图．
因为 ，
所以圆台的上、下底面的半径分别满足 ．
又 ，
所以该圆台的侧面积 ，所以A正确．
过点 分别作 于点 于点 ，
则 ，所以 ，故该圆台的体积 ，
所以B错误．
易知圆台的上、下底面平行，
所以直线 与圆台的上底面所成的角等于其与圆台的下底面所成的角．
过点 作 于点 ．易知 为直线 与下底面所成的角．
又 ， ，
所以 ，所以 正确．
设该圆台的外接球的半径为 ，球心为 ．
当点 在线段 上时， ．由 ，得 ，即
，解得 ．
当点 在线段 的延长线上时， ．由 ，得 ，即
．
化简，得 ，此时 无解．
所以 ，
则该旋转体的外接球的表面积 ，所以 正确．
故选：ACD
12．如图1，矩形 由正方形 与 拼接而成．现将图形沿 对折成直二面角，如图2．点 （不与 重合）是线段 上的一个动点，点 在线段 上，点 在线段 上，且满足
， ，则（ ）
图1 图2
A． B．
C． 的最大值为 D．多面体 的体积为定值
【答案】AC
【解析】设正方形 ， 的边长为1因为 两两垂直，
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴、 轴、 轴,建立空间直角坐标系，如图所示，则
， ， ， ， ， ，设 ， ，
由 ，且 ,
可得 ，解得 ，
即 ， ，
对于A中， ，可得 ，
即 ，所以A正确；
对于B中，由 ，所以当且仅当 时， ，即 ，所以B错误；
对于C中，因为 ，
当且仅当 时等号成立，由 为钝角，所以 ，
即 的最大值为 ，所以C正确；
对于D中，多面体 的体积 ，非定值，所以D错误.故选：AC．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16，且其侧面梯形的高为 ，则该正四棱台的高为
.
【答案】
【解析】如图：在正四棱台 , 分别为侧面上的高以及棱台的高，
设棱台的上下底面的边长分别为 ，则 ，
在等腰梯形 中， ，
所以 ，
故棱台的高为 ，故答案为：
14．如图，四边形 是平行四边形， 是平面 外一点， 为 上一点，若 平面 ，
则 ．
【答案】
【解析】连接 交 于点 ，连接 ，
因为四边形 是平行四边形，所以 为 的中点，
因为 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 ，
所以 为 的中点，
所以 .
故答案为： .15．在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 .若四棱锥 的体积为9，且
其顶点均在球 上，则当球 的体积取得最小值时， .
【答案】3
【解析】如下图所示，设四棱锥 底面边长为 ，则该四棱锥的体积 ，
所以 ；设四棱锥 的外接球半径为 ，
通过构造长方体可知满足 ；
即 ，
令 ，则 ，令 ,即 ；
当
所以， 在 上单调递减，在 上单调递增；即函数 在 处取最小值，此
时外接球的半径最小，体积最小；所以 ， .
故答案为：3
16．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲
率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点
有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体在每个顶点的曲率为 ，故其总曲率为 .根据曲率
的定义，正方体在每个顶点的曲率为 ，四棱锥的总曲率为 .
【答案】 /
【解析】根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为 ；
由定义可得多面体的总曲率 顶点数 各面内角和，
因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，
所以任意四棱锥的总曲率为 .
故答案为： ； .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
如图，在直三棱柱 中， 分别为 的中点．
(1)求异面直线 与 所成角的余弦值；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．
【解析】（1）由题意可知 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，则 ，
即 ，
所以 ，
即异面直线 与 所成角的余弦值为 ；
（2）由上易知 ，
设面 的一个法向量为 ，则有 ，
取 ，即 ，
所以点 到平面 的距离为 ；
（3）由上可知 ，
设面 的一个法向量为 ，则有 ，
取 ，即 ，
设平面 与平面 夹角为 ，则 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值 .
18．（12分）
如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 分别为 上的点，且 .
(1)证明： 平面 ；
(2)若 平面 为 的中点， ，求二面角 的正切值.
【解析】（1）证明：如图，在 上取一点 ，使得 ，连接 ， ， ，
因为底面 是平行四边形，所以 ，所以 ，
因为 ， ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 .
（2）当 为 中点， ， ，易知 ， 为 中点，又因为 平面 ，所以 两两垂直，
则以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如（1）图，
设 ，则 ， ， ， ，
所以 ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
所以 ，
故二面角 的正弦值为 ，
所以正切值为 .
故二面角 的正切值为 .
19．（12分）
如图，在五面体 中，面 面 ， ， 面 ， ，
， ，二面角 的平面角为 .(1)求证： 面 ；
(2)点 在线段 上，且 ，求二面角 的平面角的余弦值.
【解析】（1）∵ 面 ，
又 面 ，面 面 ，
∴ .
又 面 ， 面 ，
∴ 面 ；
（2）取 中点 ， 中点 ，连结 ， .
∵面 面 ，交线为 ，
面 ， ，∴ 面 .
∴ 是二面角 的平面角.即 .
∵ 面 ，
又 面 ，面 面 ，
∴ .
∴ .又 ，∴四边形 是梯形.
∴ 是梯形 的中位线.∴ .∴ 面 .
∵ ， 是 中点，∴ .
以 为原点， ， ， 为轴如图建立空间直角坐标系 ，则
， ， ， ， ， ，
， ， ， ，
由 ，
设面 的一个法向量为 ，由 ， ，得
，取 ，得 ， ，∴ .
设面 的一个法向量为 ，由 ， ，得，取 ，得 ， ，∴ .
∴
∴二面角 的平面角的余弦值为 .
20．（12分）
如图， 是半球 的直径， 是底面半圆弧 上的两个三等分点， 是半球面上一点，且
．
(1)证明： 平面 ：
(2)若点 在底面圆内的射影恰在 上，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【解析】（1）连接 ，因为 是底面半圆弧 上的两个三等分点，
所以有 ，又因为 ，所以 都为正三角形，
所以 ，四边形 是菱形，
记 与 的交点为 ， 为 和 的中点，
因为 ，
所以三角形 为正三角形，
所以 ，所以 ，
因为 是半球面上一点， 是半球 的直径，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）因为点 在底面圆内的射影恰在 上，
由（1）知 为 的中点， 为正三角形，所以 ，
所以 底面 ，
因为四边形 是菱形，所以 ，
即 两两互相垂直，
以点 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系 ，如图所示，
则 ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，所以 ，
取 ，则 ，设直线 与平面 的所成角为 ，
所以 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
21．（12分）
如图，四棱锥 的底面 是正方形，且平面 平面 ． ， 分别是 ， 的中
点，经过 ， ， 三点的平面与棱 交于点 ，平面 平面 ，直线 与直线 交于点 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求多面体 的体积．
【解析】（1）连接 ，
由题意， 与 的交点即为点 ，连接 ，
因为底面 是正方形，所以 ,
又因为 面 ， 面 ，
所以 面 ，
因为平面 平面 ， 面 ，
所以 ，
又 为 中点，所以 ，
所以 ，
又因为 且 ，所以 且 ，
所以 ，
因为 是 中点，所以 .
（2）连接 ， ，所以多面体 的体积为
因为 ， 是 中点，
所以 ， ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 面 ，
所以 ，
因为 为 中点，
所以 ，
由（1）可知 ，
所以 ，
所以多面体 的体积为 .
22．（12分）
无数次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年､建党百年天安门广场三千人合唱的磅礴震撼，
“930烈士纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄严 金帆合唱团，这绝不是一个抽象的名字，
而是艰辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星璀璨！这是开学典礼中，我校金帆合唱团
的颁奖词，听后让人热血沸腾，让人心向往之.图1就是金帆排练厅，大家都亲切的称之为“六角楼”，其造型别致，可以理解为一个正六棱柱（图2）由上底面各棱向内切割为正六棱台（图3），正六棱柱的侧棱
交 的延长线于点 ，经测量 ，且
(1)写出三条正六棱台的结构特征.
(2)“六角楼”一楼为办公区域，二楼为金帆排练厅，假设排练厅地板恰好为六棱柱中截面，忽略墙壁厚度，
估算金帆排练厅对应几何体体积.（棱台体积公式： ）
(3)“小迷糊”站在“六角楼”下，陶醉在歌声里.“大聪明”走过来说：“数学是理性的音乐，音乐是感性的
数学.学好数学方能更好的欣赏音乐，比如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数
，你看这多美妙!”
“小迷糊”：“.....”
亲爱的同学们，快来帮“小迷糊”求一下 的最大值吧.
【解析】（1）类似于上下底面平行，相似，都是正六边形，侧棱等长，侧棱延长交于一点，侧面都是等
腰梯形，等等.（2）在 中，可求 ，
所以排练厅上底面为边长10的正六边形，下底面为边长9的正六边形，高为 ，
所以 ，
所以 .
（3）法1.四元均值不等式
.
当且仅当 ，即 时取等号.
所以 最大值为 .
法2.琴生不等式法
，当且仅当 ，即 取等号.
所以 最大值为 .
法3.二元均值不等式推广 ，
，
当且仅当 时取等号.
所以 最大值为 .
法4.柯西不等式
，根据二次函数知识可知当 取得最大值 ，
所以 ；柯西不等式等号成立时与二次函数取到最值时相同，当且仅当 .
所以 最大值为 .
