文档内容
专题 13.2 等腰三角形中的几何综合
【典例1】【概念学习】
规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角
形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个
三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形
似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”．
（1）【概念理解】
如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，CD平分∠ACB， 则△CBD与△ABC （填“是”或
“不是”）互为“形似三角形”．
（2）如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A=36°，∠B=48°．求证：CD为△ABC的等腰分割
线；
（3）【概念应用】
在△ABC中，∠A=45°，CD是△ABC的等腰分割线，直接写出∠ACB的度数．
【思路点拨】
（1）由题意推出∠BCD=36°，∠ABC=72°，∠BDC=72°，从而得出结论；
（2）根据题意，通过计算得出△BCD是等腰三角形，∠A=∠A=36°，∠ACD=∠B=48°，
∠ADC=∠ACB=96°，从而得出结论；
（3）根据题意，分为当△ACD是等腰三角形和△BCD是等腰三角形两类，当△ACD 是等腰三角形时，
再分为：AC=AD，AD=CD，AC=CD三种情形讨论；同样当△BCD是等腰三角形时，也分为三种情
形讨论，分别计算出∠ACB的度数即可．
【解题过程】
（1）解：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵CD平分∠ACB，
1
∴∠BCD= ∠ACB=36°，
2
∵∠ABC=72°，
∴∠BDC=72°，
∴△CBD和△ABC互为“形似三角形”，
故答案为：是；
（2）证明：．∵∠A=36°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°−36°−48°=96°，
∵CD平分∠ACB，
1 1
∴ ∠ACD=∠BCD= ∠ACB= ×96°=48°，
2 2
∴∠BCD=48°=∠B，
∵∠ADC是△BCD的一个外角，
∴ ∠ADC=∠B+∠BCD=96°=∠ACB，
∴△BCD是等腰三角形，∠A=∠A=36°，∠ACD=∠B=48°，∠ADC=∠ACB=96°，
∴CD为△ABC的等腰分割线；
（3）解：（Ⅰ）当△ACD是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时，
①如图1所示：
当AD=CD时，则∠ACD=∠A=45°，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=90°，
此时，△ABC、△CBD是“形似三角形”，可知∠BCD=∠A=45°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°；
②如图2所示：180°−45°
当AC=AD时，则∠ACD=∠ADC= =67.5°，
2
此时，△ABC、△CBD是“形似三角形”，可知∠BCD=∠A=45°，
∴∠ACB=45°+67.5°=112.5°；
③当AC=CD时，这种情况不存在；
（Ⅱ）当△BCD是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时，
①如图3所示：
当CD=DB时，∠B=∠BCD，
此时，△ABC、△ACD是“形似三角形”，可知∠ACD=∠B，
∴∠B=∠BCD=∠ACD，
∴∠BDC=∠ACD+∠A=∠ACD+45°，
∵∠BDC+∠B+∠BCD=180°，
∴∠ACD+45°+∠ACD+∠ACD=180°，
∴∠ACD=45°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=2×45°=90°；
②如图4所示：
当BC=BD时，∠BDC=∠BCD，
此时，△ABC、△ACD是“形似三角形”，可知∠ACD=∠B，∴∠BCD=∠BDC=∠ACD+∠A=∠ACD+45°，
在△BCD中，由三角形内角和可知∠B+2∠BDC=180°，得∠ACD+2(∠ACD+45°)=180°，
∴∠ACD=30°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=45°+2×30°=105°；
③当CD=CB时，这种情况不存在；
综上所述：∠ACB=90°或105°或112.5°．
1．（2022秋·河南南阳·八年级校考期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=3，∠B=40°，点D在线
段BC上运动(D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA=105°时，∠BAD= °；点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或
“小” )；
（2）当DC等于多少时，△ABD≅△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角
形．
2．（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）在等腰△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E
为CD的中点．（1）如图1，连接AE，作EH⊥AC，若AD=2BD，S =6，EH=2，求AB的长．
△BDC
（2）如图2，F为AC上一点，连接BF，BE．若∠BAC=∠ABE=∠CBF，求证：BD+CF=AB．
3．（2022秋·河北邯郸·八年级校考期中）如图，已知：在△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=120°，将
一块足够大的直角三角尺PMN(∠M=90°,∠MPN=30°)按如图放置，顶点Р在线段AB上滑动（且不
与A、B重合），三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点
D．
（1）当α=______°，PN∥BC，此时∠APD=______°
（2）点Р在滑动时，当AP长为多少时，△ADP与△BPC全等，为什么？
（3）点Р在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，直接写出夹角α的大小；若不可以，
请说明理由．
4．（2023秋·重庆永川·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足是点D，
AE平分∠CAD，交BC于点E，在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FB⊥BC（1）求证：CE=BF；
（2）在AC上取一点M，使CM=2DE，连接MB，交AD于点N，连接ME．求证：①ME⊥BC；②
DE=DN．
5．（2022秋·福建泉州·八年级统考期中）如图，已知以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰Rt△ABD
与等腰Rt△ACE，其中∠BAD=∠CAE=90°，连接BE、CD，BE和CD相交于点O．
（1）求证：BE=DC；
（2）求∠BOC的大小；
（3）连接DE，取DE的中点F，再连结AF，猜想AF与BC的位置关系和数量关系，并证明．
6．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AC，BC上，连
接AE，BD交于点F，∠BAC=∠BFE=2∠AEB．（1）说明：∠EAC=∠ABD；
（2）若BD平分∠ABC，BE=15，AF=6，求△BEF的面积；
（3）判断EF，BF，AF之间的数量关系，并加以说明.
7．（2022秋·广东广州·八年级校考阶段练习）如图所示：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点 P
为边 AC 上一点（点P 不与 A、C 重合），CD⊥BP 交 BP 延长线于点 D，点 E 在 BP 上且
AE⊥AD．
（1）求证：∠BAE=∠DAC；
（2）点 P 在边 AC 上运动的过程中，∠DAC+∠ABE的大小是否发生变化？若不变，求出该值，若变
化，请说明理由；
S
（3）记△BCP 的面积为 S，若点 P 为 AC 中点且 =5，求 PE 的长．
PD
8．（2023秋·八年级课时练习）已知：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，点P
是BC边上的一个动点，（1）如图①，若点P与点D重合，连接AP，则AP与BC的位置关系是______________；
（2）如图②，若点P在线段BD上，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，则CF，BE和
EF这三条线段之间的数量关系是______________；
（3）如图③，在（2）的条件下，若BE的延长线交直线AD于点M，找出图中与CP相等的线段，并加以
证明；
（4）如图④，已知BC=4，AD=2，若点P从点B出发沿着BC边向点C运动，过点B作BE⊥AP于点E
，过点C作CF⊥AP于点F，设线段BE的长度为d ，线段CF的长度为d ，试求出点P在运动的过程中
1 2
d +d 的最大值．
1 2
9．（2022秋·湖南长沙·八年级长沙市南雅中学校考期末）在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，
E、F分别为AB、AC上的点．
（1）如图1，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF；
（2）如图2，∠AED+∠AFD=180°，请判断DE和DF有什么数量关系？并说明理由；
DP
（3）如图3，点F与点A重合，点P为CD上的一点，且∠APE=∠C，BA=BP，求 的值．
AE
10．（2022秋·重庆长寿·八年级统考期末）在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90∘，点O为AB的中点．
（1）若∠EOF=90°，两边分别交AC，BC于E，F两点．如图1，当点E，F分别在边AC和BC上时，
求证：OE=OF；
（2）如图2，若∠EOF=90°，当点E，F分别在AC和CB的延长线上时，连接EF，若OE=6，则
S =______;
△EOF
（3）如图3，若∠EOF=45∘，两边分别交边AC于E，交BC的延长线于F，连接EF，若CF=3，
EF=5，试求AE的长．
11．（2022秋·北京海淀·八年级校考期中）在ΔABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在直线BC上，
∠C=2∠BDE，BE⊥DE于点E，DE交直线AB于点F．
（1）如图1，当点D与点C重合，且E与A在BC同侧时，
①补全图形；
②试探究线段BE与线段FD的数量关系，并证明你的结论．
（2）如图2，点D在线段BC上，试探究线段BE与线段FD的数量关系，并证明你的结论．12．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）已知△ABC，CD⊥AB，
∠A=2∠BCD．
（1）如图1，求证：AB=AC；
（2）如图2，在AC上取点E，连接DE，若∠ACD=2∠ADE，取DE的中点F，作FG⊥BC于G，求
证：GF=CG；
（3）如图3，在（2）的条件下，FG交CD于点H，若BD=2DH，△BCD的面积为4，求CH长度．
13．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期末）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，等腰Rt△ABC
中，∠C=90°，BC=AC，点D为AC上一点，过点A作AE∥BD，AE=BF，AE⊥EF，EF交AB
于点P，大家通过思考与实践，纷纷提出不同的问题．
（1）小明说：PE与PF有一定数量关系，试说出小明的猜想，并加以证明；
（2）小伟说：如图2，连接CE，如果CE=AC，则AE=EF，请帮助小伟加以证明；（3）小超受小伟的启发，在小伟添加的条件下，也提出一个问题：如图3，在BD上取点Q，使
∠ECQ=45°，若AE=6，求ΔBCQ的面积，请你思考此问题，并解决此问题．
14．（2023春·全国·七年级专题练习）已知△ABC和△ADE，∠CAB=∠EAD=90°，AB=AC，
AD=AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F．
（1）如图1，当AB=AD时
①请直接写出BF与DF的数量关系：____________（填“> ”、“<”、“=”）
②求证：CE=2AF
（2）如图2，当AB≠AD时，上述① ②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．15．（2023春·四川成都·七年级统考期末）已知等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在射线BC上，连
接AD，在AD右侧作等腰Rt△ADE，且∠ADE＝90°
（1）如图1，若AD平分∠BAC，延长AE、BC交于点F，求证：DE=EF；
（2）如图2，点M为AE的中点，求证：点M在线段CD的垂直平分线上；
（3）如图3，射线AC与射线ED交于点G，若AD+DG=AE，求∠ADC的度数．16．（2023春·福建宁德·八年级统考期中）如图1，已知等腰三角形ABC与等腰三角形BED全等，边AB
与边BE重合，BD交射线AC于点M，AB=AC．
（1）若∠ACB=72°，求∠AMB的度数．
（2）如图2，将等腰三角形BDE绕点B按顺时针方向旋转，过点E作EN∥DB，交AM于点N．
①求证：EN=AN．
②判断EN，DM，CM的数量关系，并证明．17．（2022秋·江苏常州·八年级校考阶段练习）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那
么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．如图①，在△ABC中，∠B＝2∠C，
线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．
（1）求证：AE是△ABC的一条特异线；
（2）如图②，若△ABC是特异三角形，且∠A＝30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数；
（3）若某等腰三角形是特异三角形，求此等腰三角形的顶角度数（直接写出答案即可）．18．（2022秋·福建泉州·八年级福建省泉州市培元中学校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、
E分别在AC、BD上，且满足∠ADB+∠ECB=90°，延长CE交AB于点F．
（1）如图1，若∠BAC=100°,∠ADB=70°．
①求证：CF平分∠ACB；
②求证：BC=AF+CF；
1 CE a
（2）如图2，过点B作BM⊥BD，交CF的延长线于点M，若BM= BC， = ，记△BCE的面积为
2 AC b
， 的面积为 ，求S 的值（用含 、 的式子表示）．
S △ABC S 1 a b
1 2 S
219．（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考开学考试）已知在△ABC中，AB=AC，且
∠BAC=α．作△ACD，使得AC=CD．
（1）如图1，若∠ACD与∠BAC互余，则∠DCB=__________(用含α的代数式表示)；
1
（2）如图2，若∠ACD与∠BAC互补，过点C作CH⊥AD于点H，求证：CH= BC；
2
（3）若由△ABC与△ACD的面积相等，则∠ACD与∠BAC满足什么关系？请直接写出你的结论数．20．（2022秋·广东东莞·八年级校考期中）△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，点D在AB边上
（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE=90°．
（1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE；
MF
（2）如图1，在（1）的条件下，连接AE交BC于M，求 的值；
AD
（3）如图2，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH当
2GH
点D在边AB上运动时，式子 的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由．
HE−GD
