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专题 13.3 三角形中的几何综合
【典例1】已知△ABC,AB=AC．
（1）若∠BAC=90°，作△BCE，点A在△BCE内．
①如图1，延长CA交BE于点D，若∠EBC=75°,BD=2DE，则∠DCE的度数为 ；
②如图2， 垂直平分 ，点A在 上，AD ，求S 的值；
DF BE DF =❑√3 △ABD
AF S
△AFC
（2）如图3，若∠BAC=120°，点E在AC边上，∠EBC=10°，点D在BC边上，连接
DE,AD,∠CAD=40°，求∠BED的度数．
【思路点拨】
（1）①连接AE，由已知易得∠DBA=30°，继而可知BD=2AD，则有AD=AE，
∠AED=∠DAE=30°，所以AB=AE=AC，得△ACE是等腰三角形，再由三角形外角的性质即可求
解．
②过C点作CH⊥FD交延长线于H，构造K字形全等△ABD≌△CAH，得CH=AD，AH=BD，再由
AB=AC=AE可得∠BEC=45°，进而可得ED=DF，而BD=DE，即有BD=AF+AD，再由三角形面
积公式可求比值．
（2）以AB为边作等边三角形，由△ABC是顶角为120°的等腰三角形，易得BC垂直平分AN,AD=ND
，由∠DAC=40°可知∠NAD=∠DNA=20°，再在BE上取M点，使∠MAB=∠ABM=20°，由ASA
即可判定△ABM≌△∧¿，所以AM=AD，再由已有条件易得AM=AE，所以△ADE是等腰三角形，进
而求出∠AED,∠BED度数即可．【解题过程】
（1）解：①连接AE，
∵AB=AC,∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∵∠EBC=75°，
∴∠ABD=30°，
∴在Rt△ABD中，BD=2AD,∠BDA=60°，
又∵BD=2DE，
∴DE=DA，
∴∠DEA=∠DAE=30°，
∴∠ABD=∠DEA=30°，
∴AB=AE，
∴AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE，
又∵∠AEC+∠ACE=∠EAD=30°，
∴∠DCE=15°，
故答案为：15°．
②解：连接AE，过C点作CH⊥FD交延长线于H，
∵DF垂直平分BE，即∠ADE=∠ADB=90°,DE=DB，
∴AB=AE，
∴∠ABD+∠BAD=90°，又∵∠BAC=90°，
∴∠CAH+∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠CAH，
在△ABD和△CAH中，
{∠ADB=∠CHA
)
∠ABD=∠CAH ，
AB=CA
∴△ABD≌△CAH(AAS)，
∴CH=AD,AH=BD，
∵AB=AC=AE，
又∵∠BAC=∠ABE+∠AEB+∠ACE+∠AEC，
∴2∠BEC=∠BAC=90°，
∴∠BEC=45°，
∴Rt△FDE是等腰直角三角形，
∴DF=DE，
∴DB=DF，
AD
∵ =❑√3，即AD=❑√3AF，
AF
∴BD=AD+AF=AF+❑√3AF，
1 1 1
∵S = BD⋅AD,S = AF⋅CH= AF⋅AD，
△ABD 2 ΔAFC 2 2
∴S BD AF+❑√3AF ；
△ABD= = =1+❑√3
S AF AF
△AFC
故S 的值为 ；
△ABD 1+❑√3
S
△AFC
（2）解：以AB为边作等边△ABN，连接DN，
∵∠BAC=120°,AB=AC，∴∠ABD=30°，
∴BD垂直平分AN，
∴AD=ND，
∵∠DAC=40°，
∴∠NAD=∠DNA=20°，
在BE上取M点，使∠MAB=20°，
∵∠EBC=10°，
∴∠EBA=∠MAB=20°，
在△ABM和△ADN中，
{ ∠BAM=∠NAD )
，
∠ABM=∠∧¿AB=AN
∴△ABM≌△∧(AAS)，
∴AM=AD，
∵∠EBA=∠MAB=20°,∠EBC=10°,∠C=30°，
∴∠AME=40°,∠AEM=40°，
∴AM=AE，
∴AD=AE，
∵∠DAC=40°，
∴∠AED=70°，
∴∠BED=∠AED−∠AEB=70°−40°=30°．
1．（2023春·陕西西安·八年级陕西师大附中校考阶段练习）在等边△ABC中，将线段CA绕点C旋转
α(0°<α<60°)，得到线段CD，连接AD、BD．
（1）如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为 ；
（2）将线段CA绕点C顺时针旋转α时，得到线段CD，连接AD、BD．①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；
②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE．则AD+CE与BE之间存在怎样
的等量关系，并证明．
2．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，已知等腰直角△ABC中，∠A＝90°， AB＝AC，以
BC为边在点A的另一侧作等边△BCD，点F，G分别在线段BC，BD上，∠CDF＝15°，且CF=BG，
CG与DF相交于点H，延长DF交AC于E．
（1）求证：△EHC是等边三角形；
（2）试判断线段AE和DH的数量关系，并说明理由．
（3）若点M是AC边上的动点，AB=aAB＝a，AE=b，BC=c，求△BMD周长的最小值（结果用含a，
b，c的整式表示）．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）已知在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥CE于点E，且∠ABC=∠ACB，∠BCE=30°．
（1）如图1，求证：BE=BD；
（2）如图2，点F为AC上一点，连接FB并延长与CE的延长线相交于点G，若AB=GB，求∠BFC的度
数；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长CA至点H，使得HF=CF，过点H作HI∥AB交CG于点I，若
HI=FG=6❑√3，求CH的长．
4．（2023秋·全国·八年级专题练习）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；
（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，
MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；
（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延长线
于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．
5．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．点E为AD
上的动点，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△PBE．（1）若BD=3，试求出BC的长度；
（2）若BE=BC，设PB与AC相交于点F．
①请求出∠BFC的度数；
②连接EF，过点C作CG⊥EF交EF的延长线于点G．若BF=10，EG=6．试求线段CF的长．
6．（2023秋·湖北武汉·八年级校联考期中）已知等腰△ABC中，AB=AC=20cm，∠ABC=30°，
CD⊥AB交BA延长线于点D，AF为CA的延长线，点P从A点出发以每秒2cm的速度在射线AF上向右
运动，连接BP，以BP为边，在BP的左侧作等边△BPE，连接AE．（1）如图1，当BP⊥AC时，求证：△ABP≌△ACD；
（2）当点P运动到如图2位置时，此时点D与点E在直线AP同侧，求证：AP=AB+AE；
（3）在点P运动过程中，连接DE，当点P运动______秒时，线段DE长度取到最小值．
7．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．
（1）在线段AD上任意取一点F，过点F作MN⊥AD，交AB于点M，交AC于点N，通过这样的作图能得到结论MF=FN，那么依据是_________．
（2）如果∠B=60°，CE平分∠ACB交AB于点E，且AD、CE相交于点F，求证：FE=FD．
（3）如果∠ACB=100°，在边AB上截取一点E，连接CE，使∠ACE=20°，连接DE．请直接写出
∠ADE的度数．
8．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）（1）已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．
①如图1，点M，N均在边BC上，∠ANB=45°，∠MAN=∠NAD=60°，AD=AM，连接ND,CD；
请直接写出BM与CN的数量关系
②如图2，点M在边BC上，点N在BC的上方，且∠MBN=∠MAN=60°，求证：MC=BN+MN；
（2）如图3，在四边形ABCD中，∠CAB=α， 平分∠ABC，若∠ADC与∠ABD互余，则∠DAC
的大小为______（用含α的式子表示）．9．（2023·全国·八年级专题练习）如图1，等边△ABC的边长为4，点D是直线AB上异于A，B的一动
点，连接CD，以CD为边长，在CD在侧作等边△CDE，连接BE．（1）求证：BE∥AC；
（2）当点D在直线AB上运动时，
①△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求此时AD的长；若不存在，说明理由；
②△BDE能否形成直角三角形？若能，求此时AD的长；若不能，说明理由．
10．（2023春·全国·八年级期中）已知：△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，其中
∠BDC=120°，过点D作∠EDF=60°，分别交AB于E，交AC于F，连接EF．（1）若BE=CF，求证：① △≝¿是等边三角形；② BE+CF=EF．
（2）若BE≠CF，即E、F分别是线段AB、AC上任意一点，BE+CF=EF还会成立吗？请说明理由．
11．（2023秋·福建莆田·八年级莆田二中校考期中）已知：△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点D是BC
上一点，BE⊥AD交AD的延长线于点E．（1）如图①，求证：∠CAD=∠EBD
（2）如图②，若CF∥AB交BE的延长线于点F，连接DF，求证：∠EDF+2∠CDF=180°；
AD−CG
（3）如图③，若AD是∠BAC的平分线，CG∥BE交AD于点H，交AB于点G，求 的值．
DH
12．（2023秋·江苏宿迁·八年级校联考阶段练习）如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，
∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）当A，B，C三点，C，E，N三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；
（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：AC=CN；
（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，A，B，M，N四点在同一条直线上时，（2）中的结
论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．
13．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考期中）如图，在△ABC中，点E在线段
BC的延长线上，连接BD、DE，∠ABD=∠CDE，BD=DE；（1）如图1，求证：△ABC是等腰三角形；
（2）如图2，BC=AB，求证：AD=CE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，点F是线段BD中点，连接AF，∠BAF=2∠BED，
9 19
DH⊥AE于点H，DH= ，△ACE的面积为 ，求线段AB的长．
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14．（2023春·福建三明·八年级统考阶段练习）如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，点D，E分别是边
AB，AC上一动点，连接BE交CD于点F．（1）如图1，若BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，求∠CFE的度数；
（2）如图2，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数；
（3）如图3，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连
接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量
关系，并证明你的猜想．
15．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在△ABC中，点D在线段AC上，点E在线段BC的
延长线上，连接BD、DE，∠ABD=∠CDE，BD=DE；（1）如图1，求证：△ABC是等腰三角形；
（2）如图2，BC=AB，求证：AD=CE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，点F是线段BD中点，连接AF，∠BAF=2∠BED，
9 19
DH⊥AE于点H，DH= ，△ACE的面积为 ，求线段AB的长．
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16．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）在△ABC中，CD⊥AB于点D，∠B=2∠ACD．（1）如图1，求证：△ABC是等腰三角形．
（2）如图2，点E是边AB上一点，F是BC延长线上一点，连接CE、AF，若CE=AF，求证：
AE=2AD+CF．
（3）如图3，在（2）的条件下，过A作AC的垂线交CE的延长线于点H，点K是CE上一点，连接KA并
1
延长至点G，使GA=AK，连接HG．若∠G=2∠GHA，∠F−∠B= ∠CAF，GK=12，求HK的
2
长．17．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）已知，在△ABC中，∠C=90°，
AC=BC，E是BC边上一点．
（1）如图1，点D是AC边上一点，连接DE，将DE绕点E逆时针旋转90°至EF，连接BF．若AC=4，
BE=2，求△BEF的面积；
（2）如图2，连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90°至EM，连接BM，取BM的中点N，连接EN.试探究
线段EN，BE，AB之间的数量关系；
（3）如图3，连接AE，P为AE上一点，在AP的上方以AP为边作等边△APQ，刚好点Q是点P关于直线
1
AC的对称点，连接CP，当CP+ AP取最小值的条件下，点G是直线PQ上一点，连接CG，将△CGP沿
2
CG所在直线翻折得到△CGK（△CGK与△ABC在同一平面内），连接AK，当AK取最小值时，请直接
写出S 的值．
△CGK
S
△APQ18．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）如图，在△ABC中，
AB=AC，∠BAC=120°，点D在边AB上，连接CD，AB⊥AB，AE交CD于点E，点F在边BC上，
BF=AE，连接AF交CD于点G．
（1）如图1，求证：AF=CE；
（2）如图1，求∠AGC的度数；
（3）如图2，点D为AB中点，CN∥AF，DN⊥CN于点N，连接AN交BC于点K，过点N作
NH⊥BC，垂足为H，当KH=2时，求FK的长．19．（2022秋·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期中）如图，等边△ABC中，过顶点A在AB边的右
侧作射线AP，∠BAP=α （30∘<α<120∘）.点B与点E关于直线AP对称，连接AE，BE，且BE交射
线AP于点D，过C，E两点作直线交射线AP于点F.
（1）当α=40∘时，求∠AEC的度数；
（2）在α变化过程中，∠AFE的大小是否发生变化？如果变化，写出变化的范围；如果不变化，求
∠AFE的大小；
（3）探究线段AF，CF，DF之间的数量关系，并证明．
20．（2022秋·重庆·八年级校联考阶段练习）△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB，BC上，若BD=EC．
（1）如图1，求证：∠AFD=60∘；
（2）如图2，FH为∠AFC的平分线，点H在FM的延长线上，连接HA、HC，
∠AHC+∠AFC=180∘，求证：AF+CF=FH；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长AF交CH的延长线于点K，点G在线段AH上，GH=CK，连接
CG交FH于点M，FN=3，AK=8，求FH的长．
