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专题 13.3 等腰三角形的性质与判定
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 根据等腰三角形腰定义求第三边或周长】............................................................................................1
【考点二 根据等腰三角形等边对等角求角的度数】............................................................................................3
【考点三 利用等腰三角形的定义解决新定义型问题】........................................................................................7
【考点四 根据等腰三角形三线合一进行求解】..................................................................................................12
【考点五 根据等腰三角形三线合一进行证明】..................................................................................................16
【考点六 等腰三角形的性质与判定的综合问题】..............................................................................................23
【过关检测】............................................................................................................................................................29
【典型例题】
【考点一 根据等腰三角形腰定义求第三边或周长】
例题：（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为 、 ，其周长为
；
（2）若等腰三角形的两条边长分别为 和 ，则它的周长为 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的另
一边长为 ．
2．（23-24七年级下·山东聊城·期末）已知等腰三角形的一边长为 ，它的周长为 ，则它的底边长
为 ．
3．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）若 是等腰三角形， 是其两边，且满足 ，
则 周长为 ．
【考点二 根据等腰三角形等边对等角求角的度数】
例题：（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为 ，则这个等腰三角形的底角的度
数为 ．
【变式训练】1．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）等腰三角形的两个内角的度数之比是 ，则它顶角的度数为 ．
2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图， ， 平分 ，如果射线 上的点 满足
是等腰三角形， 的度数为 ．
3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在 中， 为钝角， ，如果经过 其中一个顶
点作一条直线能把 分成两个等腰三角形，那么 的度数为 ．
【考点三 利用等腰三角形的定义解决新定义型问题】
例题：（23-24七年级下·陕西渭南·期中）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值 称为这个等腰三角
形的“优美比”．若等腰 的两边长分别是3和9，则这的“优美比” 为 ．
【变式训练】
1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长
三角形”．若等腰 是“倍长三角形”，腰AB的长为4，则底边 的长为 ．
2．（23-24七年级下·四川成都·期末）定义：点P、Q是图形上任意两动点，线段 的最大值称为该图形
的“通径”．已知 中， ， 是等腰 的最短边，将 沿 翻折得到 ，
四边形 的“通径”是8，将 沿 翻折得到 ，四边形 的“通径”也是8，则
．（提示：直角三角形中，若两直角边长为3、4，则斜边长为5）
3．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割
成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在
中， ，若存在过点C的“钻石分割线”，使 是“钻石三角形”，则满足条件的
的度数为 ．
【考点四 根据等腰三角形三线合一进行求解】
例题：（23-24八年级下·湖南岳阳·开学考试）已知 中， ， ，若 ，则
．【变式训练】
1．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）如图，在 中， ， ， 于点 ，
的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，连接 ，则 的度数为 ．
2．（23-24八年级上·河南鹤壁·期末）如图，在 中， ，点 是 的平分线 上的一
动点， ， 的面积为48，则 的最小值为 ．
3．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点E，交 于点
F，D为线段 的中点，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【考点五 根据等腰三角形三线合一进行证明】
例题：（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，在△ABC中， 是 的中点， ， ，垂足分别是 、 ，且 ．
(1)求证： ．
(2)连接AD，求证：AD⊥BC．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在 中， ， ， ，交 延长线
于点 ．
求证： ．
2．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，在 与 中， ， 与 相交于点E，
．
(1)求证： ；
(2)连接 ，设线段 的中点分别为M，线段 的中点分别为N，直线 与 相交于点F．求证：
F，N，E，M四点共线．3．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）在 中， ，过点C作射线 ，使 （点
与点B在直线 的异侧），点D是射线 上一个动点（不与点C重合），点E在线段 上，且
．
(1)如图1，当点E与点C重合时，在图中画出线段 ．若 ，则 的长为 （用含a的式子表示）；
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接 ．
①求证： ；
②用等式表示线段 之间的数量关系，并证明．
【考点六 等腰三角形的性质与判定的综合问题】
例题：（2024八年级上·江苏·专题练习）已知：如图 中 ， ， 平分 ，
平分 ，过 作直线平行于 ，交 ， 于E，F．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)求 的周长．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·重庆江北·期中）如图，在 中， ， 与 的平分线相交于点 ，延长 交 于点 ，过点 作 交 于 ，作 交 于点 ．
(1)求证： 为等腰三角形；
(2)求证： ．
2．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图所示，在四边形ABCD中， 的平分线与
的平分线相交于点F， 与 的延长线交于点E，连接 ．
求证：
(1) 是等腰三角形．
(2)若 ．则 ________．
3.如图，在 中， ，D是 边的中点，连接 ， 平分 交 于点E．
(1)若 ，求 的度数；
(2)过点E作 交 于点F，求证： 是等腰三角形．
(3)若 平分 的周长， 的周长为15，求 的周长．【过关检测】
一、单选题
1．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）等腰三角形的一个内角为80度，则它的顶角是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
2．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在 的网格中，以 为一边，点 在格点处，使 为
等腰三角形的点 有（ ）个
A．2个 B．5个 C．3个 D．1个
3．（23-24八年级上·重庆·期末）如图，在 中， ，点 是 上一点，且
，则 的面积为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．6
4．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，已知 ，点P在边AB上， ，点E，F在边
上，连接 ，有 ．若 ，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（22-23八年级上·山西大同·期末）如图，在 是 边的中线，点分别在边 和 上， 于点F，则以下结论；
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③
二、填空题
6．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）如图，在等腰三角形 中， ， ，则
度．
7．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，在 中， ， 平分 交 于点D，
，则 ．
8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在 中，已知边 的垂直平分线与边 的垂直平分线
交于点 ，连接 ，则图中有 个等腰三角形．9．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在 中， ， 平分 ，点E在边 上，
且 ．若 ，则 的大小为 ．
10．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）如图，已知 ，点 是边 上一点，在射线 上取一点
C，当 是等腰三角形时， 的度数为 ．
三、解答题
11．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图：在 中，过点 作 于点 ，过点 作
， ，若 ，求 的度数．
12．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，在 中， ， 为 的中点， ， 分别为 ，
上的点，且 ，求证： ．13．（2024八年级上·江苏·专题练习）已知 中， ，
(1)若点D为 边上的一个点，且 ，则 __________ ；
(2)若过点A的直线l恰好把 分成两个等腰三角形，则 的度数可能是___________．
14．（22-23八年级上·江西新余·阶段练习）在 中， ， ， 的平分线
交边 于点 ．
(1)如图1，求证： 为等腰三角形；
(2)如图2，若 的平分线 交边 于点 ，求证： ；
15．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）已知，在 中， ．
(1)如图1，点D、点E分别是线段 上两点，连接 ，若 ，且 ，求 的度数；
(2)如图2，点D、点E分别是线段 上两点，连接 ，过点B作 交 延长线于F，连接
，若 ，求证： ；
16．（2024八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，已知：在 中， ， 平分 ，
平分 ，过点 作 ，分别交 、 于 、 两点，则图中共有 个等腰三角形；
与 、 之间的数量关系是 ， 的周长是
（2）如图2，若将（1）中“ 中， ”改为“若 为不等边三角形， ，
”其余条件不变，则图中共有 个等腰三角形； 与 、 之间的数量关系是什么？证
明你的结论，并求出 的周长
（3）已知：如图3， 在 外， ，且 平分 ， 平分 的外角 ，过点
作 ，分别交 、 于 、 两点，则 与 、 之间又有何数量关系呢？直接写出结
论不证明．
