文档内容
2023 年高考数学模拟考试卷 2
高三数学（理科）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自
己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：高中全部知识点。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ，则 在复平面内所对应的点是（ ）
A． B． C． D．
3．已知等比数列 的前n项和为 ，若 ， ，且 ，则实数
a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 的定义域为 ，且 ， 为偶函数，若 ，
，则 的值为（ ）
A．117 B．118 C．122 D．123
5．某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决
赛.决赛规则如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；
每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人
被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束.
若经抽签，已知第一场甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 ，则
（ ）
A．甲获得冠军的概率最大 B．甲比乙获得冠军的概率大
C．丙获得冠军的概率最大 D．甲、乙、丙3人获得冠军的概率相等
6．设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，B为双曲线E上在第一象限内的点，线段 与双曲线E相交于另一点A，AB的中点为M，且 ，若
，则双曲线E的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
7．记不等式组 的解集为D，现有下面四个命题：
， ； ， ；
， ； ， ．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知随机变量 的分布列如下：
0 1 2
其中 ，2，若 ，则（ ）A． ， B．
，
C． ， D． ，
9．在正方体 中，点P在正方形 内，且不在棱上，则正确的是
（ ）
A．在正方形 内一定存在一点Q，使得
B．在正方形 内一定存在一点Q，使得
C．在正方形 内一定存在一点Q，使得 平面
D．在正方形 内一定存在一点Q，使得平面 ∥平面
10．任意写出一个正整数 ，并且按照以下的规律进行变换：如果 是个奇数，则下一步
变成 ，如果 是个偶数，则下一步变成 ，无论 是怎样一个数字，最终必进入
循环圈 ，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．它可以表示为数列
（ 为正整数）， ，若 ，则 的所有可能取
值之和为（ ）
A． B． C． D．11．函数 的最大值为（ ）.
A． B． C． D．3
12．设 ， ， ，则（ ）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．a＞b＞c
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量 满足 ， ， ，则向量 在向量 上的投影为
______．
14． 的展开式中不含 的各项系数之和______.
15．如图，在四面体ABCD中， ， ，
，则四面体ABCD外接球的表面积为______．
16．已知点F是椭圆 的右焦点，点 到椭圆上的动点Q的距离的最
大值不超过 ，当椭圆的离心率取到最大值时，则 的最大值等于
__________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（12分）已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期；
(2)在 中，若 ，求 的最大值．
18．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 从该生产线
上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位： ）做好记录．下表是检验员在一天内依次
抽取的 个零件的尺寸：抽取次序
零件尺寸（ ）
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸（ ）
经计算得 ， ，
， ，其中 为抽取的第 个零件的尺寸（
）．
(1)求 的相关系数 ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生
产过程的进行而系统地变大或变小（若 ，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的
进行而系统地变大或变小）；
(2)一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线
在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
②在 之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零
件尺寸的均值与标准差．（精确到 ）
19．（12分）如图，已知四棱锥 ，底面ABCD为菱形， 平面ABCD，
，E是BC的中点．
(1)证明： ；
(2)H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为 ，求异面直线PB与AC所
成的角的余弦值．
20．（12分）已知直线 过抛物线 的焦点．(1)求抛物线C的方程；
(2)动点A在抛物线C的准线上，过点A作抛物线C的两条切线分别交x轴于M，N两点，
当 的面积是 时，求点A的坐标．
21．（12分）已知函数 和 有相同的最小值.
(1)求 的值；
(2)设 ，方程 有两个不相等的实根 ， ，求证:
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的
第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 中，点 ，曲线C的参数方程为 （ 为参数），以
坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为
．
(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)设点M为C上的动点，点P满足 ，写出P的轨迹 的参数方程，并判断l与
是否有公共点．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数 ，且 的解集为 .
(1)求实数m的值；
(2)若a，b，c均为正实数，且 ，求证： .
