文档内容
2022~2023 学年度第一学期高三期初试卷
数 学
2022.08
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．已知集合 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．命题“对于任意事件 ， ”的否定是（）
A．对于任意事件 ， B．对于任意事件 ，
．存在事件 ， D．存在事件 ，
3．已知 ， 为正整数，且 ，则在下列各式中，正确的个数是（）
（1） ；（2） ；（3） ；（4）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分，从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升
高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据．由下表可知其线性回归方程为
，
月份代码 1 2 3 4 5
碳酸锂价格 0.5 1 1.2 1.5
则表中 的值为（）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
5．日常生活中的饮用水是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将 水净化到纯
净度为 时所需费用（单位：元）约为 ，则净化到纯净度为98%左右时净化费用
的变化率，大约是净化到纯净度为92%左右时净化费用变化率的（）
A．16倍 B．20倍 C．25倍 D．32倍
6．某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正确的是（）
A． 越大，该物理量在一次测量中在 的概率越大
B． 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C． 越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D． 越小，该物理量在一次测量中落在 与落在 的概率相等7．四棱柱 的底面 是边长为1的菱形，侧棱长为2，且
，则线段 的长度是（）
A． B． C．3 D．
8．设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ．若
，则 的值是（）
A． B． C．2 D．12
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知空间向量 ， ．（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
10．已知函数 ，则（）
A． 有一个极值点 B． 没有零点
C．直线 是曲线 的切线 D．曲线 关于直线 对称
11．已知函数 的定义域为 ．（）
A． B．
C． D． 被8整除余数为7
12．设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，则（）
A．从甲袋中每次任取一个球不放回，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为
B．从甲袋中随机取出了3个球，恰好是2个白球1个红球的概率为
C．从乙袋中每次任取一个球并放回，连续取6次，则取得红球个数的数学期望为4
D．从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．数据：1，2，2，3，4，5，6，6，7，8，其中位数为 ，60百分位数为 ，则 ．
14．已知 为自然对数底数，函数 的值域为 ，请给出函数 的一个定义域．15．已知函数 的导函数为 ，关于 的不等式 的解集为
，则 ；且 的最小值为．
16．已知四棱锥 的底面是平行四边形，侧棱 ， ， 上分别有一点 ， ， ，且满足
， ， ，若 ， ， ， 四点共面，则实数 ．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤。
17．已知集合 ， ．
（1）若 ，求 ；
（2）若存在正实数 ，使得“ ”是“ ”成立的，求正实数 的取值范围．
从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答．
18．已知 为正偶数，在 的展开式中，第5项的二项式系数最大．
（1）求展开式中的一次项；
（2）求展开式中系数最大的项．
19．2022年某公司为了提升产品的竞争力和市场占有率，对该项产品进行了创新研发和市场开拓，经过一段时
间的运营后，统计得到创新研发和市场开拓的总投入 （单位：百万元）与收益 （单位：百万元）之间的五组数
据如下表：
1 2 3 4 5
10 11 14 25 20
（1）请判断收益 与总投入 的线性相关程度，求相关系数 的大小（精确到0.01）；
（2）该公司对该产品的满意度进行了调研，得到部分调查数据如下表：
满意度
满意 不满意 总计
性别
男 54 18
女 36
总计 90 60 150
问：消费者满意程度是否与性别有关？
参考公式：① ；② ，其中 ．
临界值表：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.0012.706 3.841 5.024 6.635 10.828
参考数据：
20．如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 是梯形， ，且 ，
， ．
（1）求二面角 的大小；
（2）已知 为 中点，问：棱 上是否存在一点 ，使得 与 垂直？若存在，请求出 的长；若不存
在，请说明理由．
21．超市举行回馈顾客有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可参加抽奖活动，抽奖规则是：从装有4个红
球、6个黄球的甲箱和装有5个红球、5个黄球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，
则获一等奖，得奖金20元；若只有1个红球，则获二等奖，得奖金10元；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获得奖金数总额为 元，求 的分布列和数学期望．
22．已知函数 （ 为常数， ）．
（1）求函数 不同零点的个数；
（2）已知实数 ， ， 为函数 的三个不同零点．
①如果 ， ，求证 ；
②如果 ，且 ， ， 成等差数列，请求出 ， ， 的值．2022~2023学年度第一学期高三期初试卷
数学参考答案
一、选择题
题号 答案 题源 知识点方法思想技能能力 难度
1 A 原创 集合的运算，运算能力 A
2 D 原创 含一个量词的否定，理解能力 A
3 原创 排列数、组合数的运算，运算 A
4 D 模拟题改编 回归方程，运算能力 A
5 A 模拟题改编 导数的概念，理解能力 B
6 A 2021年全国卷Ⅱ改编 正态分布，运算能力 B
7 D 人教A版选一P7例2改编 向量基本定理，运算能力 B
8 B 2022年新高考卷Ⅰ第12题改编 对称性、周期性，运算能力 C
二、选择题
题号 答案 题源 知识点方法思想技能能力 难度
9 BCD 苏教版选二P25.9改编 向量的坐标运算，运算能力 A
10 AD 2022新高考Ⅰ第10题改编 函数性质，数形结合，分析能力 B
11 BC 苏教版选二P81.11改编 二项式定理应用，赋值法，运算能力 B
12 ACD 苏教版选二P97例4改编 概率分布，分析能力 C
三、填空题
13．10【说明】原创．考查中位数、百分位数基本概念．
14． 【说明】原创，开放性问题，考查复合函数的值域，属于中档题．
（ ， ，“1，4”至少一个“=”成立，“2”最多只有一个“=”成立）
15．0； 【说明】原创，考查二次函数性质，切线方程、基本不等式求最值；考查消元法．
16． 【说明】本题课本改编．考查向量向量基本定理、共面定理．
四、解答题
17．解：
因 ，则 ．
（1）当 时， ，所以 ．
（2）选① 因“ ”是“ ”成立的充分不必要条件，则 是 的真子集．
所以 ．经检验“=”满足．
所以实数 的取值范围是 ．
选② 因为“ ”是“ ”成立的必要不充分条件
所以 是 的真子集．所以 ，经检验“=”满足．
所以实数 的取值范围是 ．
【说明】本题原创，属于简单的开放性问题考查指数不等式、二次不等式的解法，集合的运算及充分必要条件．
18．因 为正偶数，在展开式中的第5项的二项式系数最大，则 ， ．
设 ，
令 ，得 ，所以展开式中的一次项为 .
（1）令 ，当 时，
令 ，
或 ．
所以系数最大的项为： ， ．
【说明】本题源自苏教版选择性必修二P81.11改编．考查二项式定理的通项公式，二项式系数的性质，系数最大
项最值问题；考查运算能力．
19．（1）由表格中的数据得 ， ．
所以
．所以收益 与总投入 的线性相关程度较强，且相关系数 约为0.84．
（1） 列联表为
满意度
满意 不满意 总计
性别
男 54 18 72
女 36 42 78
总计 90 60 150
假设 ：消费者满意程度与性别无关，
．
所以消费者满意程度与性别无关的概率小于0.001．
所以有99.9%的把握认为消费者满意程度与性别有关．
【说明】本题源自模拟题改编，考查线性相关系数、 检验，考查运算能力，属于容易题．
20．解：【方法一】因为 面 ， 面 ，所以 ， ．
因为 面 ，所以 是斜线 在面 的射影，因为 ，
由三垂线定理知： ．
分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立如图坐标系，
， ， ， ， ．
设平面 的一个法向量 ，
平面 的一个法向量 ．
因为 ， ， ， ．
所以 ，取 ，得 ．所以 ．
因为 ， ， ， ，
所以 ，取 得 ， ，所以 ．
因 ，
设二面角 的大小为 ， 为钝角，则 ，所以 ．
（2）假设线段 上存在一点 ，使得 与 垂直，设 ， ，可得 ，
， ，
因为 ，所以 ，解得 ．
．
【法二】（1）将图形补成长方体 ，设 ，连 ．
在 中， ， ， ，
所以 ．
平面 ，
所以 是斜线， 是射影．
由三垂线定理得 ．
所以 是二面角 的平面角．
在直角 中， ，
由 为锐角知， ．
所以二面角 的大小为 ．（1）过 点作 交 于 ，连 ．
因为 平面 ，所以 平面 ．
要使 与 垂直，由三垂线定理得 ．
以 为 轴， 为 轴，建立平面直角坐标系．
设 ， ， ， ， ．
因为 ， ， ，所以 ，解得 ．
因为 ，所以 ，即 ，解得 ．
【说明】本题源自苏教版选择性必修二P47.11改编，考查立体几何中的角的求法、线线位置关系的处理方法，考
查空间向量的计算、综合法的推理；考查运算能力与空间想象能力．
21．解：设顾客抽奖1次获一等奖的概率为 ，获二等奖的概率为 ，不获奖的概率为 ．
（1） ， ，
所以顾客抽奖1次能获奖的概率为：
（2） ．
的可能取值为0，10，20，30，40，50，60．
， ，
， ，
， ，．
所以 的分布列为
0 10 20 30 40 50 60
所以 的数学期望为
．
【说明】本题源自人教A版选择性必修三P81.6改编，考查概率分布；考查分类讨思想；考查阅读理解能力和建
模能力；考查运算能力以及运用数学解决问题的能力．
22．解（1）因为 ，令 ，得 ，或 ．
0
+ 0 - 0 +
①当 ，即 时，由 的单调性知：当 时， ．
因 ，则 ．又因 在
为增函数，则存在唯一 ，使得 ．此时 有1个零点；
②当 即 时， ，此时 有2个零点为 或 ．
③当 ， ，即 时， ， ，所以 ．
因 ，所以 ．
因 ，所以 ．
存在三个零点： ， ， ，此时 有3个零点．④当 ，即 时， ，
此时 有2个零点为 或 ．
⑤当 ，即 时，由 的单调性知：当 时， ．
因 ，所以 ．
又因 在 上增函数，此时 有1个零点；
综上：
①当 或 时， 有1个零点；
②当 或 时， 有2个零点；
③当 时， 有3个零点．
（2）①因为 ， 为函数 的不同零点且 ， ，
【法一】因为 ， ，则 ．
所以 ．
因为 ，则 ，
所以 ．所以 ，
又因为 ，则 ，
所以 ．
【法二】不妨设 ，先证 ．
如果 ，则 显然成立．
当 时，设 ， ，
则 ，
所以 ，令 ，则 ，
而 ， ，函数在 为减函数，
所以 ，即 ．再证 ．
要证 ，只要证 ．
因为 在 是减函数，所以只要证 ．
因为 ，所以只要证 ．
只要证 ，
设 ，则 ．
所以 ，令
，因为 ， ， 在 是增函数，
所以 ．
②因为实数 ， ， 为函数 的三个不同零点，
设 ．
从而有 ，
因为 ， ， 成等差数列，所以 代入上式得，
又因为 ，解得 ， ， ．
【说明】本题源自2022年新高考卷Ⅰ第22题改编，考查利用导数研究数单调性、零点问题；考查方程组的处理
能力；考查比差法、待定系数法；考查运算能力、分析问题、解决问题能力．
