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专题13 图形的旋转重难点题型专训（10大题型）
【题型目录】
题型一 生活中的旋转现象
题型二 判断一个图形旋转而成的图案
题型三 找旋转中心、旋转角、对应点
题型四 利用旋转的性质证明
题型五 利用旋转的性质求解
题型六 判断旋转对称图形
题型七 画旋转对称图形
题型八 求绕某点旋转后的坐标
题型九 旋转中的规律探究题
题型十 旋转中的最值探究
【知识梳理】
【经典例题一 生活中的旋转现象】
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编
号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟，若图2表示21号车厢
运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，3号车厢才会运行到最高点？（ ）
A．14分钟 B．20分钟 C．15分钟 D． 分钟
2．（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图
形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线 为对称轴进行翻折，再向右平移1
个单位；③先绕着点O旋转 ，再向右平移一个单位；④绕着 的中点旋转 即可．其中能得到图
（2）的是（ ）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②
3．（2022秋·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习）在平移现象后面画“△”，在旋转现象后面画“○”．
4．（2023·全国·九年级假期作业）如图所示，图形①经过 变换得到图形②；图形①经过
变换得到图形③；图形①经过 变换得到图形④(填“平移”“旋转”或“轴对称”)．
5．（2023秋·全国·九年级随堂练习）请你举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转
角．
【经典例题二 判断一个图形旋转而成的图案】
1．（2020·河北·统考模拟预测）如图，在 的正方形网格中有两个阴影四边形，现要将左边的阴影四边
形通过 次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中标出的各点为旋转中心，旋转角度为 （
为整数），则 的值（ ）
A．可以为 ，不可以为
B．可以为 ，不可以为
C．可以为 ， ，不可以为
D． ， ， 均可2．（2022秋·九年级课时练习）如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在边CD，BC上，点G在CB
的延长线上，DE＝CF＝BG．下列说法：①将 DCF沿某一直线平移可以得到 ABG；②将 ABG沿某一
直线对称可以得到 ADE；③将 ADE绕某一点△旋转可以得到 DCF．其中正确△的是（ ）△
△ △ △
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
3．（2022秋·全国·九年级专题练习）关于如图的形成过程：（1）由一个三角形平移形成的；（2）由一个
三角形绕中心依次旋转形成的；（3）由一个三角形作轴对称形成的；（4）由一个三角形先平移再旋转形
成的，说法正确的有 ；（填序号）
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，平南直角坐标系 中， 可以看作是 经过若干次图
形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由 得到 过程 ．
5．（2023春·山西运城·八年级统考期中）四边形 若满足两组对角互补，即 ，
，则我们称该四边形为“对角互补四边形”(1)【思路点拨】
如图1，四边形 为对角互补四边形， ， ．
求证： 平分 ．
小云同学是这么做的：延长 至 ，使得 ，连 ，可证明 ，得到 是等
腰直角三角形，由此证明出 平分 ．
①还可以知道 、 、 三者数量关系为：_________；
②请你用旋转的知识描述 如何旋转得到 _________；
(2)【变式拓展】
如图2，四边形 为对角互补四边形，且满足 ， ，请你仿照小云的做法，证明：
平分 ；
② ；
(3)【能力提升】
如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足 ， ，则 、 、 三者数量关
系为：_________．
【经典例题三 找旋转中心、旋转角、对应点】
1．（2023春·四川宜宾·七年级统考期末）将两块全等的含 角的直角三角板按图1的方式放置，已知
，固定三角板 ，然后将三角板 绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，
与 分别交于点D、E， 与 交于点F．当 ，旋转角的度数是（ ）．A． B． C． D．
2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在直角坐标系中，线段 是将 绕着点 逆时针旋转
一定角度后得到的 的一部分，则点 的对应点 的坐标是( )
A． B． C． D．
3．（2023秋·重庆·九年级校联考阶段练习）一副三角板按图1的形式摆放，把含 角的三角板固定，含
角的三角板绕直角顶点逆时针旋转，设旋转的角度为 ．在旋转过程中，当两块三角板
有两边平行时， 的度数为 ．
4．（2022春·福建三明·八年级统考期中）如图所示，将一个含 角的直角三角板 绕点 旋转，使得点 ， ， 在同一条直线上，则三角板 旋转的角度是 ．
5．（2023春·福建宁德·八年级统考期中） 在平面直角坐标系 中的位置如图所示．
(1)将 向下平移5个单位再向左平移1个单位得到 ，作出平移后的 ．
(2)将 绕点O顺时针旋转 得到 ，作出旋转后的 ．
(3) 可由 旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标为 ．
(4)将点 绕原点O逆时针旋转 ，则点P旋转后对应点 的坐标为 ．（用含m的式子表示）
【经典例题四 利用旋转的性质证明】
1．（2023秋·广东珠海·九年级珠海市九洲中学校考期中）如图， 为等边三角形，以 为边向外作
，使 ，再以点C为旋转中心把 旋转到 ，则给出下列结论：①D，A，E
三点共线；② 平分 ；③ ；④ ．其中正确的有（ ）A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
2．（2022秋·北京·九年级北京市十一学校校考期中）如图，将 绕点C顺时针旋转得到 ，使点
A的对应点D恰好落在边 上，点B的对应点为E，连接 ，则下列结论正确的是（ ）
① ②
③ ④
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
3．（2023秋·北京海淀·九年级人大附中校考阶段练习）在 中， ， ，将 绕
点A顺时针旋转 ，直线 与直线 交于点 ，点 ， 间的距离记为 ，点 ， 间
的距离记为 ．给出下面四个结论：① 的值一直变大；② 的值先变小再变大；③当
时， 的值一直变小；④当 时， 的值保持不变．上述结论中，所有正确结论
的序号是 ．
4．（2023秋·湖北咸宁·九年级咸宁市温泉中学校考阶段练习）如图，已知 中， ，
，直角 的顶点 是 中点，两边 ， 分别交 ， 于点 ， ，当 在
内绕顶点 旋转时（点 不与 ， 重合），给出以下四个结论：① ② 是等腰直角三角形③ ④ 正确的有 ．
5．（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）（1）如图1，在 中， ， ，点D，E
在 边上且不与点B，C重合， ，猜想 之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，在 中， ， ，点D，E在 边上且不与点B，C重合，
， ，猜想 之间的数量关系，并说明理由．
【经典例题五 利用旋转的性质求解】
1．（2023秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ，点
D为 的中点，点P在 上，且 ，将 绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接 ，
．当 时， 的长为（ ）
A． B． 或 C． 或 D． 或2．（2023秋·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，在 中， ， 将 绕
点C顺时针旋转 得到 ，则线段 的长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图， 中， ， ，现将 绕
点 顺时针方向旋转 得到 ，连接 ，若 ，则 的度数是 ．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， ，将
绕点B按逆时针方向旋转，得到 ，点E为线段 中点，点P是线段 上的动点，将
绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点 ．
（1）如图，线段 ；
（2）则线段 的最大值为 ，最小值为 ．
5．（2023·全国·九年级专题练习）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起， ， 分别是斜边
， 的中点， ．(1)将 绕顶点 旋转一周，请直接写出点 ， 距离的最大值和最小值；
(2)将 绕顶点 逆时针旋转 （如图 ），求 的长．
【经典例题六 判断旋转对称图形】
1、（2023·江苏·八年级假期作业）如图点 为正方形 对角线的交点，则将 绕点 旋转得到
，则这种旋转方式是（ ）
A．顺时针旋转 B．顺时针旋转 C．逆时针旋转 D．逆时针旋
转
2．（2023春·上海虹口·七年级上外附中校考期末）下列正确的叙述是（ ）
A．中心对称图形由两个图形组成
B．圆的对称轴有无数条，就是它的直径
C．正五边形的旋转角只有是
D．正六边形既是轴对称图形，也是旋转对称图形，还是中心对称图形
3．（2023·全国·九年级专题练习）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度 称为这个图形的
一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转 或 后，能与自身重合，所以正方形是旋
转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是 ；
A.矩形；B.正五边形；C.菱形；D.正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有： （填序号）；
（3）下列三个命题：
①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．其中真命题的个
数有 个；
4．（2023·全国·九年级专题练习）阅读理解并解决问题：一般地，如果把一个图形绕着一个定点旋转一定
角度α（α小于360°）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转
对称中心，α叫做这个旋转对称图形的一个旋转角．请依据上述定义解答下列问题：
（1）请写出一个旋转对称图形，这个图形有一个旋转角是90°，这个图形可以是______；
（2）为了美化环境，某中学需要在一块正六边形空地上分别种植六种不同的花草，现将这块空地按下列
要求分成六块：①分割后的整个图形必须既是轴对称图形又是旋转对称图形；②六块图形的面积相同；请
你按上述两个要求，分别在图中的两个正六边形中画出两种不同的分割方法（只要求画图正确，不写作
法）．【经典例题七 画旋转对称图形】
1、（2023·福建·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中， 位于第二象限，点 的坐标是
，先把 向右平移3个单位长度得到 ，再把 绕点 顺时针旋转 得到 ，
则点 的对应点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2、（2023·山东青岛·统考三模）如图，四边形ABCD的顶点坐标A（﹣3，6）、B（﹣1，4）、C（﹣1，
3）、D（﹣5，3）．若四边形ABCD绕点C按顺时针方向旋转90°，再向左平移2个单位，得到四边形
A′B′C′D′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（0，5） B．（4，3） C．（2，5） D．（4，5）3．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中， 为原点，每个小方格的边长为1
个单位长度.正方形 顶点都在格点上，其中点 的坐标为 .
（1）若将正方形 绕点 顺时针方向旋转 ，点 到达点 ，点 到达点 ，点 到达点 ，此
时 的坐标是 ；
（2）若线段 的长度与点 的横坐标的差恰好是一元二次方程 的一个根，线段
， 的值为 .
4．（2023春·山西运城·八年级统考期中）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 ，
， ，请按要求完成下列任务．
任务一：将 向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到 ，画出 ，并写出 的坐标；任务二：将 绕点B旋转 ，得到 ，画出 ，并写出 的坐标；
任务三：在x轴上求作一点P，使 的值最小，并求出点P的坐标及 的最小值．
【经典例题八 求绕某点旋转后的坐标】
1、（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为
，连接 ，若将 绕点B顺时针旋转90°，得到 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·山东东营·八年级统考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，A点的坐标是 ，B点的坐
标是 ， 由 绕点A顺时针旋转 而得，则C点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）如图，点A的坐标为 ，点 是 轴正半轴上的一点，将线段
绕点A按逆时针方向旋转 得到线段 若点 的坐标为 ，则 点的坐标为 ．4．（2023·全国·九年级假期作业）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平
面直角坐标系后， 的顶点均在格点上，点C的坐标为 ．
(1)写出A、B两点的坐标；
(2)画出 绕点C旋转 后得到的 ．
(3)直接写出 的面积______．
【经典例题九 旋转中的规律探究题】
1、（2023·河南安阳·统考模拟预测）如图．四边形 为正方形，点A的坐标为 ，将正方形绕点
O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点C所到位置的坐标为（ ）A． B． C． D．
2．（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图， 为等腰三角形， ，顶点 的坐标 ，
底边 在 轴上，①将 绕点 按顺时针方向旋转一定角度后得 ，点 的对应点 在 轴上；
②将 绕点 按顺时针方向旋转一定角度后得 ，点 的对应点 在 轴上，则点 的坐标
为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图， 是正三角形，点A在第一象限，点 、 ．将
线段 绕点C按顺时针方向旋转 至 ；将线段 绕点B按顺时针方向旋转 至 ；将线段
绕点A按顺时针方向旋转 至 ；将线段 绕点C按顺时针方向旋转 至 ；……以此类推，
则点 的坐标是 ．4．（2023春·安徽·九年级专题练习）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，
在平面直角坐标系中，任意两点的对称中心的坐标为 ．
观察应用：
(1)如图，若点 、 的对称中心是点A，则点A的坐标为： ．
(2)在（1）的基础上另取两点 、 ．有一电子青蛙从点 处开始依次关于点 、 、 作循
环对称跳动，即第一次跳到点 关于点 的对称点 处，接着跳到点 关于点 的对称点 处，第三次再
跳到点 关于点 的对称点 处，第四次再跳到点 关于点 的对称点 处， ，则 、 的坐标分别
为： 、 ．
【经典例题十 旋转中的最值探究】1、（2023秋·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考期末）如图，点E是边长为4的正方形 内部
一点， ，将 按逆时针方向旋转 得到 ，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2、（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与坐标轴交于
两点， 于点 是线段 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针
旋转 ，得到线段 ，连接 ，则线段 的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形 中， ，连接 ，
将线段 绕着点A顺时针旋转 得到 ，则线段 的最小值为 ．4．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）问题探究
将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种
基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之
间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．
问题提出：如图1， 是边长为1的等边三角形，P为 内部一点，连接 、 、 ，求
的最小值．
方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为
折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．
问题解决：如图2，将 绕点 逆时针旋转 至 ，连接 ，记 与 交于点 ，易
知 ．由 ，可知 为正三角形，
有 ．
故 ．因此，当 共线时， 有最小值是 ．
学以致用：
(1)如图3，在 中， 为 内部一点，连接 ，则
的最小值是________．
(2)如图4，在 中， 为 内部一点，连接 ，求
的最小值．【重难点训练】
1．（2023春·广东江门·八年级江门市新会东方红中学校考期中）在平行四边形 中，对角线 与
相交于点 ，以点 为坐标原点，若点 的坐标为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考阶段练习）如图，原点O为 的对称中心，
轴，与y轴交于点 ， 与x轴交于 ， ．若将 绕原点O顺时针旋
转，每次旋转90°，则第502次旋转结束时，点A的对应点的坐标为( )
A． B． C． D．
3．（2023·河北沧州·统考二模）如图由 个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点 ， ， 均在格点上， 是 与网格线的交点，将 绕着点 顺时针旋转 ．
以下是嘉嘉和淇淇得出的结论，下列判断正确的是（ ）
嘉嘉：旋转后的三角形的三个顶点均在格点上；
淇淇：旋转前后两个三角形可形成平行四边形
A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 是等腰三角形 的底边中线， 与
关于点 中心对称，连接 ，则 的长是（ ）
A．4 B． C． D．
5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在四边形 中， ， ，对角线 与 交
于点 ，点 是 的中点，连接 ， 的周长为 ，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．四边形 是中心对称图形
C． 的周长等于3cmD．若 ，则四边形 是轴对称图形
6．（2023春·湖南·九年级校联考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为 ，直线EF经过正方形的中
心O，并能绕着O转动，分别交AB、CD边于E、F点，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接
AG，则AG长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·全国·九年级专题练习）对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个
单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A
的坐标为（2，0），点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点
C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（8，6），则△ABC的面积是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
8．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐
标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（ ）
A．M（1，﹣3），N（﹣1，﹣3）B．M（﹣1，﹣3），N（﹣1，3）
C．M（﹣1，﹣3），N（1，﹣3）
D．M（﹣1，3），N（1，﹣3）
9．（2022秋·广东惠州·九年级统考竞赛）如图所示，已知抛物线 ，抛物线 关于原点中心对称．如果
抛物线 的解析式为 ，那么抛物线 的解析式为 ．
10．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市南坪中学校校联考期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是
，作点A关于原点的对称点，得到点 ，再将点 向上平移3个单位，得到点 ，则点 的坐标
是 ．
11．（2023春·吉林长春·九年级统考开学考试）如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形
又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点M的坐标为 ，
点N的坐标为 ，则 的值为 ．
12．（2023春·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，菱形 的对角线交于原点O，若点A的坐标为，点B的坐标为 ，点D的坐标为 ，则边 ．
13．（2023春·四川德阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系 中，有一个由六个边长为1的正
方形组成的图案，其中点A，B的坐标分别为 ， ，现平移直线l： ，使平移后的直线将
这个图案分成面积相等的两个部分，则平移后直线的函数解析式为 ．
14．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ，点 与点 关
于原点 对称，将点 沿 轴向右平移 个单位后落在点 处．
(1) 的面积等于 ．
(2)设 ，点 是第一象限内的虚线格点，如果 是以 为腰的等腰三角形，那么点 的坐标
是 ．15．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期中）在棋盘中建立如图所示的直角坐标系，三颗棋子A，O，B
的位置如图，它们的坐标分别是 ， 和 ．
图1 图2
(1)在图1中添加一颗棋子C，画出以A，O，B，C四颗棋子为顶点的四边形，使其是轴对称图形，但不是
中心对称图形；
(2)在图2中添加一颗棋子P，画出以A，O，B，P四颗棋子为顶点的四边形，使其是中心对称图形，但不
是轴对称图形，并直接写出棋子P的坐标．
16．（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，方格纸中的每个小正方形都是边长为1个单位长度
的正方形，每个小正方形的顶点叫格点. 的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问
题：
(1)画出 关于点P成中心对称的 ，点 的坐标为______．
(2)画出 绕点P逆时针方向旋转 后所得到的 ，点 的坐标为______．17．（2023秋·四川广元·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ，
， ．
(1)求 的面积；
(2)在图中画出 绕点C逆时针旋转 得到的 并写出点A的对应点 的坐标．
(3)在图中画出 关于原点O中心对称的 的图形．
18．（2022春·陕西榆林·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为
， ， ．(1)将 经过平移得到 ，若点 的对应点 的坐标为 ，画出 ，直接写出 ， 的
坐标 （______，______）， （______，______）；
(2)画出与 关于原点 成中心对称的 ；
(3)若 与 是中心对称图形．则对称中心的坐标为（______，______）．
19．（2022春·河北邯郸·八年级校考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1， 在
网格中的位置如图所示， 的三个顶点都在格点上．将点 的横坐标和纵坐标都乘 ，分别得
到点 ．(1)写出 三个顶点的坐标 （____，____）， （____，____）， （____，___）；
(2)若 与 关于y轴对称，在平面直角坐标系中画出 ；
(3)若以点 为顶点的三角形与 全等，直接写出所有符合条件的点P的坐标．
20．（2022秋·江西南昌·九年级校考期中）在8×5的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形
的顶点坐标分别为 ， ， ， ．请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图
（保留作图痕迹）．
(1)将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ；
(2)作 的角平分线 ；
(3)作线段 关于四边形 的中心点对称的线段 ．21．（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类
的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形 的边 上，
，连接 ，试猜想 之间的数量关系
(1)思路梳理：
把 绕点A逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，由 ，得， ，
即点F、D、G共线，易证 _________，故 之间的数量关系为_________．
(2)类比引申：
如图2，点E、F分别在正方形 的边 的延长线上， ．连接 ，试猜想
之间的数量关系为_________，并给出证明．
(3)联想拓展：
如图3，在 中， ，点D、E均在边 上，且 ．若
，直接写出 和 的长．
