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专题13 等腰三角形中的分类讨论模型
模型1、等腰三角形中的分类讨论模型
【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的
性质与三角形三边关系解题即可。
1）无图需分类讨论
①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；
③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：
即：如图：已知A，B两点是定点，找一点 C 构成等腰 △ABC
方法：两圆一线
具体图解：①当 AB=AC 时，以点A为圆心， AB 长为半径作⊙A，点 C 在⊙A上（B， C 除外）
②当 AB=BC 时，以点B为圆心， AB 长为半径作⊙B，点 C 在⊙B上（A，E除外）
③当 AC=BC 时，作 AB 的中垂线，点 C 在该中垂线上（D除外）
例1．（2023·辽宁盘锦·八年级校考月考）一个等腰三角形的两边长为8和10，则它的周长m的取值为（
）
A．26或28 B．26 C．28 D．
例2．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18cm，且一边长是4cm，则它
的腰长为（ ）
A．4cm B．7cm C．4cm或7cm D．全不对
例3．（2023春·四川达州·八年级校考期中）等腰三角形中，一个角为 ，则这个等腰三角形的顶角的度
数为（ ）A． B． C． 或 D． 或
例4．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则等腰三角
形的顶角度数为 ．
例5．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，
点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连结AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则网格中满足条
件的点C的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
例6．（2023·四川达州·八年级校考阶段练习）如图．在 中， ， ．点P为直
线 上一动点，若点P与 三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置
有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．9个
例7．（2023·福建南平·八年级校考期中）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两
个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．
如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，
若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是 ．例8．（2022·福建·厦门八年级期末）在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（0，3），以AB为边在第
一象限作等腰直角 ABC，则点C的坐标为_______．
△
例9．（2023春·吉林长春·七年级校考期末）在等边 中， ，动点 以每秒 个单位长度的速度
从点 出发在射线 上运动，设点 的运动时间为 秒．
(1)用含 的代数式表示线段 的长；(2)连结 ，当 时，求 的值；(3)若在线段 上存在一
点 ，且 ．在点 运动的同时有一动点 以每秒 个单位长度的速度从点 出发在线段 上运动，
当点 运动到点 时，立即以原速度返回至终点 ，当 为等腰三角形时，直接写出 的值．课后专项训练
1．（2023·四川成都·七年级统考期末）等腰三角形的两边长分别为 和 ，则这个三角形的周长为
（ ）
A． B． 或 C． D． 或
2.（2023·浙江·八年级课堂例题）如图， 是射线 上一动点， ，当 为等腰三角形时，
的度数一定不可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·福建龙岩·八年级校考期中）在平面直角坐标系xOy中，点 ， ，若点C在x轴上，
且 为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023·江苏八年级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B都是格点（小
正方形的顶点叫做格点），若△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，则满足条件的格点C有( )
A．0个 B．2个 C．4个 D．8个
5．（2023·山东日照·八年级统考期末）如图，由8个全等的小长方形拼成一个大正方形，线段AB的端点
都在小长方形的顶点上，若点 C是某个小长方形的顶点，连接CA，CB，那么满足△ABC是等腰三角形的
点C的个数是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2022·山东青岛·统考二模）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 的坐标为 ，若 为 轴
上一点，且使得 为等腰三角形，则满足条件的点 有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直
线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系 ，在坐标轴上取一点M使△MAB 为等腰三角形，符合
条件的 M 点有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
8．（2023春·山西太原·八年级校考期末）如图，在折线段 中， 可绕点 旋转， ，
，线段 上有一动点 ，将线段 分成两部分，旋转 ， ，当三条线段 ， ， 首
尾顺次相连构成等腰三角形时， 的长为（ ）
A．3 B．2或3 C．2或4 D．2或3或4
9．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）等腰三角形的一个外角是140°，则它的顶角的度数为 ．
10．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角是 ，
则底角的度数是 ．
11．（2023·湖北十堰·八年级统考期中）平面直角坐标系中有点A（2，0），B（0，4），以A，B为顶点在第一象限内作等腰直角△ABC，则点C的坐标为 ．
12．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在 中， ， ，在直线 或直线
上取点 ，使得 为等腰三角形，符合条件的 点有_______个．
13．（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）在 中， ， 垂直平分 分别交 ，
于 ， ．如果 是等腰三角形，那么 的大小是 ．
14．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，直线 ， 交于点 ， ，点 是直线 上的一个定点，
点 在直线 上运动，且始终位于直线 的上方，若以点 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形，则
，度．
15．（2023·江西抚州·七年级校考开学考试）一个等腰三角形相邻两个内角的度数比是2∶5，这个等腰三角
形的顶角是 度．
16．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图， 中， ， ，射线 从射线 开始绕
点C逆时针旋转 角 ，与射线 相交于点D，将 沿射线 翻折至 处，射线
与射线 相交于点E．若 是等腰三角形，则 的度数为 ．17．（2023春·四川达州·八年级统考期末）定义：在一个三角形中，如果一个内角度数是另一内角度数二
倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．若等腰 为“倍角三角形”，则 的顶角度数为
．
18．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）如图，已知在 中， ．过三角形顶点的
一条直线将 分割为两个等腰三角形．求 的度数．
19．（2022春·陕西铜川·七年级统考期末）如图，在 中， ， ，点 为 上任意
一点，若 是以 为腰的等腰三角形，求 的度数．
20．（2023秋·河南商丘·八年级校考期中）如图， 中， cm，现有两点M、N分别
从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为 ，点N的速度为 ．当点N第
一次到达B点时，M、N同时停止运动．(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？(2)点M、N运动几秒后，
可得到等边三角形 ？(3)当点M、N在 边上运动时，能否得到以 为底边的等腰三角形 ？
如存在，请求出此时M、N运动的时间．(4)点M、N运动______________________后，可得到直角三角形
．21．（2022秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）如图，在长方形 中， ，
，点P以 的速度从点A出发，沿 运动；同时点Q以 的速度从点D出
发向点A运动，P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为 ．
(1)用含t的代数式表示 ；(2)当点P在线段 上运动时，且 是等腰三角形时，求t的值；
(3)用含t的代数式表示 的面积．
22．（2022秋·北京·八年级校考阶段练习）（1）操作实践： 中， ，请画出一
条直线把 分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数； 要求用两种不同的
分割方法
（2）分类探究： 中，最小内角 ，若 被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示
意图并写出 最大内角的所有可能值； 以下为备用图（3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？ 请你至少写出两种
不同情况的条件,无需证明
