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专题 14.1 幂的乘法和乘方与积的乘方之六大考点
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【典型例题】..................................................................................................................................................1
【考点一 同底数幂相乘】................................................................................................................................1
【考点二 同底数乘法的逆用】........................................................................................................................2
【考点三 幂的乘方运算】................................................................................................................................3
【考点四 幂的乘方的逆用】............................................................................................................................4
【考点五 积的乘方运算】................................................................................................................................5
【考点六 积的乘方的逆用】............................................................................................................................6
【过关检测】.............................................................................................................................................8
【典型例题】
【考点一 同底数幂相乘】
例题：（2023春·陕西西安·七年级统考阶段练习）计算 的结果是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】解： ，
故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．掌握同底数幂的乘法运算法
则是解题的关键．
【变式训练】1．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）计算 的结果是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解： ．
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，正确使用同底数幂相乘，底数不变，指数相加是关键．
2．（2023·上海·七年级假期作业）计算下列各式，结果用幂的形式表示．
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据同底数幂乘法的运算法则计算即可；
（2）根据同底数幂乘法的运算法则计算即可；
（3）根据同底数幂乘法的运算法则计算即可。
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．【点睛】本题主要考查同底数幂相乘的计算，底数不变，指数相加；同时涉及到多重负号的化简，看“
”号的个数决定运算结果的符号，奇负偶正．
【考点二 同底数乘法的逆用】
例题：（2023春·江西吉安·七年级统考期中）若 ，则 ．
【答案】
【分析】逆用同底数幂的乘法，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）已知 ， ，则 ．
【答案】6
【分析】把原式化为 ，再代入计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为：6
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法的逆运算，熟记运算公式是解本题的关键．
2．（2023春·广东深圳·七年级校考期末）已知 ， ，则 的值为 ．
【答案】8
【分析】根据 进行求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，熟知 是解题的关键．
【考点三 幂的乘方运算】例题：（2023春·浙江绍兴·七年级统考期末）计算 ．
【答案】
【分析】根据幂的乘方进行计算即可．
【详解】 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查幂的乘方，熟练掌握 是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·河北唐山·七年级统考期中）计算： ．
【答案】
【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂的乘法是解题的关键．
2．（2023春·江苏南京·七年级南京市百家湖中学校考阶段练习）计算 的结果是 ．
【答案】
【分析】根据幂的乘方及同底数幂的乘法可进行求解．
【详解】解： ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（2023春·七年级单元测试）化简：（1） ；（2） ．
【答案】
【分析】（1）利用幂的乘方运算法则进行计算即可；
（2）利用幂的乘方和同底数幂乘法运算法则进行计算即可．
【详解】解：（1） ；
故答案为： ；（2） ；
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和同底数幂乘法运算法则．
【考点四 幂的乘方的逆用】
例题：（2023春·安徽六安·七年级统考期末）如果 ，则 ．
【答案】3
【分析】根据公式，得 ，代入计算即可．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·广东茂名·七年级统考期中）若 ， ，则 ．
【答案】18
【分析】利用同底数幂的乘法和幂的乘方逆运算法则解答即可．
【详解】解： ；
故答案为：18．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，熟练掌握运算法则、正确变形是解题关键．
2．（2023春·广东佛山·七年级校联考期中）已知 ，则 ．
【答案】
【分析】根据幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法的逆用的运算法则进行计算即可．
【详解】解： ，
，，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法逆用，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
【考点五 积的乘方运算】
例题：（2023春·重庆南岸·七年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】根据积的乘方运算法则计算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是熟练掌握积的乘方运算法则，准确进行计算．
【变式训练】
1．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】根据积的乘方计算法则求解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
2．（2022春·七年级单元测试）计算： ．
【答案】
【分析】先计算幂的乘方和积的乘方，再算同底数幂的乘法，最后合并．【详解】解：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及了幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解题
的关键是掌握相应的运算法则．
【考点六 积的乘方的逆用】
例题：（2023春·江苏扬州·七年级校考期末）计算 的结果是 ．
【答案】
【分析】根据幂的乘方的运算法则及同底数幂乘法的运算法则即可解答．
【详解】解： ，
故答案为 ；
【点睛】本题考查了积的乘方、幂的乘方，同底数幂相乘，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·江西抚州·七年级南城县第二中学校考阶段练习）计算： ．
【答案】
【分析】先把原式变形为 ，再利用积的乘方的法则进行求解即可．
【详解】解：
，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与灵活运用．
2．（2023春·山东济南·七年级校考阶段练习）若 ， ，则代数式 的值是 ．
【答案】1
【分析】运用乘的乘方逆运算法则对 进行变形，再将a，b的值代入求值即可．
【详解】解： ，
当 ， 时，
原式
故答案为：1
【点睛】本题考查了积的乘方逆运算，解决本题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
【详解】解： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相
加，是解题的关键．
2．（2023秋·重庆南岸·八年级校考开学考试）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则可以判断A；根据幂的乘方法则可以判断B；根据同底数幂的乘法
法则可以判断C；根据合并同类项的法则可以判断D，从而得到答案．
【详解】解：A、 ，故原选项计算正确，符合题意；
B、 ，故原选项计算错误，不符合题意；
C、 ，故原选项计算错误，不符合题意；
D、 和 不是同类项，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关
键．
3．（2023春·四川达州·七年级校考期末）若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据幂的乘方，可得 ，根据同底数幂的乘法，可得答案．
【详解】解： ，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法，利用了幂的乘方，同底数的幂的乘法．4．（2023春·河南平顶山·七年级校联考阶段练习）计算 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据积的乘方的逆运算及幂的乘方的逆运算求解即可．
【详解】解：原式
故选：A．
【点睛】本题考查幂的乘方逆运算和积的乘方的逆运算，解题的关键是掌握相应的运算法则．
5．（2023春·福建宁德·七年级福建省宁德第一中学校考期中）已知 ， ， 为自然数，且满足
，则 的取值不可能是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【分析】将原式变形为 ，因式中含有3，所以得到 ，而 不能被3整除，所
以得到 ，得 ， ，进而得到 ，根据三个数均为自然数，解得
，此时分类讨论 和 的值，计算 的取值判断即可．
【详解】原式 ，
式中有乘数3的倍数，
，
不能被3整除，原式中只能有1个3，
原式化为 ，
，
，
， ， 是自然数，
，
解得 ，
当 时， ，得 ；
当 时， ，得 ；
当 时， ，得 ；
当 时， ，得 ；
故选C．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的应用，掌握相关运算法则是解题的关键．
二、填空题
6．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期中）计算∶ ．
【答案】
【分析】积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，根据法则计算即可．
【详解】
故答案为： ．
【点睛】此题考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟知积的乘方的运算法则．
7．（2023春·浙江杭州·七年级校联考期中）已知 ，则 ，
．
【答案】 10 200
【分析】逆用同底数幂的乘法，幂的乘方，可得答案．
【详解】解： ，．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法和幂的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则：同底数幂的乘法，
底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
8．（2023春·天津·九年级专题练习）已知 ，则 的值为 ．
【答案】1
【分析】根据非负式子和为0，它们分别等于0，解出a，b，代入求解即可得到答案；
【详解】解：∵ ， ，且 ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ，
故答案为：1；
【点睛】本题考查绝对值与完全平方的非负性，积的乘方的逆应用，解题的关键是熟练掌握非负式子和为
0，它们分别等于0， ．
9．（2023春·山东淄博·六年级统考期中）已知 ，则 的值为 ．
【答案】5
【分析】根据幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方运算，正确的计算是解题的关键．
10．（2023春·湖南永州·七年级校考阶段练习）如果 那么我们规定 ．例如：因为 ，所以 ．根据上述规定，若记 ， ， ．则 、 、 的数量关系为
__________．
【答案】
【分析】根据新定义可知 ， ， ，根据同底数幂的乘法法则，可知 ，
即可知道 、 、 的数量关系．
【详解】解：如果 ，那么 ，
因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
则
即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查新定义运算和同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
三、解答题
11．（2023秋·八年级课时练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先运算幂的乘方，然后利用同底数幂的乘法计算解题；
（2）先运算幂的乘方、同底数幂的乘法，然后合并同类项解题；（3）先运算幂的乘方、同底数幂的乘法，然后合并同类项解题；
（4）先运算幂的乘方，然后利用同底数幂的乘法计算解题；
【详解】（1）原式 ；
（2）原式 ；
（3）原式 ；
（4）原式 ．
【点睛】本题考查幂的运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
12．（2023秋·八年级课时练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5)0；
(6) ．【分析】（1）先运算幂的乘方，然后利用同底数的幂的乘法运算解题；
（2）先运算幂的乘方，然后合并解题即可；
（3）先运算幂的乘方，同底数的幂的乘法，然后合并解题即可；
（4）先运算积的乘方，然后利用同底数的幂的乘法运算解题；
（5）先运算幂的乘方，然后同底数的幂的乘法，最后合并解题即可；
（6）先运算幂的乘方，然后同底数的幂的乘法，最后合并解题即可．
【详解】（1）原式 ；
（2）原式 ；
（3）原式 ；
（4）原式 ；
（5）原式 ；
（6）原式 ．
【点睛】本题主要考查幂的运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
13．（2023春·全国·七年级阶段练习）先化简再求值 ，其中 ， ．
【答案】 ，
【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，再合并同类项，然后将 ， 代入计算即可．
【详解】解：
，
当 ， 时，原式 ．
【点睛】本题考查整式的化简求值，积的乘方，幂的乘方，同底数的乘法，合并同类项．正确进行幂的运
算是解题的关键．
14．（2023春·湖南郴州·七年级校考阶段练习）已知 ， ，求
(1) 的值；
(2) 的值．
【答案】(1)73
(2)432
【分析】（1）逆用幂的乘方，通过 ，计算即可；
（2）逆用幂的乘方以及同底数幂的乘法，通过 ，计算即可．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆用以及同底数幂的乘法的逆用等知识，能灵活逆用幂的乘方，是解
答本题的关键．
15．（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）（1）先化简，再求值： ，其中
，
（2）规定
①求 ；②若 ，求x的值．
【答案】（1） ； （2）① ②
【分析】（1）先利用积的乘方运算，然后合并计算，并代入数值计算解题；
（2）利用新定义转化为同底数的幂的运算解题即可．
【详解】（1）解：
当 ， 时，原式 ；
（2）① ；
②
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查同底数的幂的运算和积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
16．（2023秋·山西长治·八年级长治市第六中学校校考阶段练习）我们知道，一般的数学公式、法则、定
义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆
向运用表现为 ， ， （m，n为正整数）．
请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：
(1)已知 ，请把 用“<”连接起来： ____________．
(2)若 ，求 的值．
(3)计算： ．【答案】(1)
(2)72
(3)8
【分析】（1）逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再比较大小；
（2）逆用同底数幂的乘法即可求解；
（3）逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再计算即可求解．
【详解】（1）解：由题得： ．
，
；
（2）解：∵ ，
∴
；
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方法则，掌握法则的逆用是解题的关键．
