文档内容
郑州外国语学校 2022-2023 学年上期高三第四次调研考试试卷
数 学（理科）
（120分钟 150 分）
一、选择题（本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设全集U＝R，集合 A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|lgx＞0}，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣1≤x≤2} B．{x|1＜x≤2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x≥﹣1}
2．已知复数 z 满足 zi＝3i+4，其中 i 为虚数单位，则𝑧在复平面内对应点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列各命题的否定为真命题的是（ ）
A．∀𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥2 −𝑥 + 1 ≥ 0 B．∃x∈R，2x＞x2
4
C．∃𝑥 ∈ 𝑅+,( 1 )𝑥 > log 𝑥 D．∀𝑥 ∈ [0, 𝜋 ],sin𝑥＜𝑥
2
3 2
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
32 32
A．16π+32 B．8π+32 C．8𝜋+ D．16𝜋+
3 3
5．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点 P是C 上一点，且|PF|＝5，以PF
为直径的圆截x轴所得的弦长为 1，则p＝（ ）
A．2 B．2或4 C．4 D．4或6
6．设正项等比数列{a }的前n项和为S ，若 2S ＝3a +8a ，S ＝2S +2，则a ＝（ ）
n n 3 2 1 8 7 2
A．4 B．3 C．2 D．1
7．将曲线（x+y）（x﹣2y+1）+1＝0的图像画在坐标轴上，再把坐标轴擦去（x轴水
平向右，y轴竖直向上），得到的图像最有可能为（ ）
第1页（共4页）A． B．
C． D．
8．若函数 f（x）＝x2+mx+n 在区间（﹣1，1）上有两个零点，则 n2﹣m2+2n+1 的取
值范围是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（0，4） D．（1，4）
9．已知函数 f（x）＝aex+4x，对任意的实数𝑥 ,𝑥 ∈ (−∞,+∞)，且 x ≠x ，不等式
1 2 1 2
𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)
> 𝑥 +𝑥 恒成立，则实数 a的取值范围是（ ）
1 2
𝑥1−𝑥2
2 2 2 2
A．[ ，+∞) B．[ +∞) C．( ，+∞) D．( +∞)
𝑒 𝑒3 𝑒 𝑒3
10．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾在数学著作《算罔论》中得
出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五．已知在菱形 ABCD中，AB＝BD
＝2√3，将△ABD 沿 BD 进行翻折，使得 AC＝2√6．按张衡的结论，三棱锥 A﹣
BCD外接球的表面积约为（ ）
A．72 B．24√10 C．28√10 D．32√10
11．已知函数f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx，且对任意 x∈（0，+∞），f（x）≥0恒成立，则
实数a的取值集合为（ ）
A．{a|0＜a＜1} B．{a|1＜a＜2} C．{a|﹣1＜a＜1} D．{1}
12．已知函数f（x）＝sin（cosx）+cos（sinx），则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数 B．f（x）的最大值为2
C．∀x∈R，f（x﹣π）＝f（x） D．∀x∈[0，π]，f（x+π）＞0
二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上.）
13．∫ 2 (𝑒|𝑥| +√4−𝑥2)𝑑𝑥 = ．
−2
14．已知甲袋内有大小相同的 2 个红球和 2 个白球，乙袋内有大小相同的 1 个红球
和 2 个白球．现从甲、乙两个袋内各任取 2 个球，则恰好有 2 个红球的概率
第2页（共4页）为 ．
15．已知函数f（x）＝（sinωx）2+ 1 sin2𝜔𝑥− 1 (𝜔＞0，𝜔 ∈ 𝑅)，若f（x）在区间（π，
2 2
2π）内没有零点，则 ω 的取值范围是 ．
𝑥2 𝑦2
16．过双曲线Γ： − = 1(𝑎＞0，𝑏＞0)的左焦点𝐹 的动直线l 与Γ 的左支交于 A，
𝑎2 𝑏2 1
B 两点，设 Γ 的右焦点为𝐹 . 若存在直线 l，使得 AF ⊥BF ，则 Γ 的离心率的取
2 2 2
值范围是 ．
三、解答题（本大题共 6小题，共 70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）
17．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且csinBcosB+bsinBcosC=
√3
b．
2
（1）求A；
𝑆
（2）若角A为钝角，△ABC 的面积为 S，求 的最大值．
𝑎2
2
18．已知数列{a }和{b }的前n项和分别为S ，T ，且a ＝1，a = − 𝑆 +1，𝑏 =
n n n n 1 n+1 𝑛 𝑛
3
2log 𝑎 +3．
1 𝑛
3
（1）求数列{a }和{b }的通项公式；
n n
1
（2）若c ＝a + ，设数列{c }的前n项和为 R ，证明：R ＜3．
n n n n n
𝑇𝑛
19．如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD＝CD＝DP＝2PQ＝
2AB＝2，点E，F，M 分别为AP，CD，BQ的中点．
（1）求证：EF∥平面 CPM；
𝜋
（2）若N 为线段CQ 上的点，且直线DN 与平面 QPM所成的角为 ，求线段 QN
6
的长．
第3页（共4页）20．目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当
前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市 2022年共有10000 名考
生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取 100 人的笔试成绩（满分
100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：
笔试成绩X [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
人数 5 10 25 30 20 10
由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩 X 近似服从正态分布 N（μ，σ2），
其中，μ 近似为 100 名样本考生笔试成绩的平均值（同一组的数据用该组区间的
中点值代替）．
（1）若σ≈12，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于 85的人数（结果四舍五入
精确到个位）；
（2）按照分层随机抽样方法，从笔试成绩为[80，90）和[90，100]的考生中随机抽
取了6人，再从这6 人中随机抽取 2人，记成绩不低于 90分的人数为随机变量 ξ，
求ξ 的分布列和均值．
参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）
≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．
21．已知离心率为√2
的椭圆 C 的中心在原点 O，对称轴为坐标轴，F ，F 为左右焦
1 2
2
→ →
点，M 为椭圆上的点，且|𝑀𝐹 |+|𝑀𝐹 | = 2√2．直线 l 过椭圆外一点 P（m，0）
1 2
（m＜0），与椭圆交于 A（x ，y ），B（x ，y ）两点，满足y ＞y ＞0．
1 1 2 2 2 1
（1）求椭圆C 的标准方程；
→ →
（2）对于任意点P，是否总存在唯一的直线 l，使得𝐹 𝐴// 𝐹 𝐵成立，若存在，求
1 2
出点P（m，0）对应的直线 l 的斜率；否则说明理由．
22．已知函数𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 −𝑏𝑥+ln𝑥在点(1,𝑓(1))处的切线方程为2𝑥−2𝑦 −3 = 0．
（1）求实数 a，b的值；
3
（2）设函数𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥)−𝑚𝑥(𝑚 ≥ )的两个极值点为 x ，x 且𝑥 < 𝑥 ，若𝑔(𝑥 )−
1 2 1 2 1
2
𝑔(𝑥 ) ≥ 𝜆恒成立，求满足条件的 λ的最大值．
2
第4页（共4页）
