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专题 14.1 整式的乘法
【典例1】【知识回顾】有这样一类题：
代数式ax−y+6+3x−5 y−1的值与x的取值无关，求a的值；
通常的解题方法；
把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原
式=(a+3)x−6 y+5，所以a+3=0，即a=−3．
【理解应用】
（1）若关于x的多项式 的值与x的取值无关，求m的值；
(2m−3)x+2m2−3m
（2）已知 的值与x无关，求y的值；
3[(2x+1)(x−1)−x(1−3 y))+6(−x2+xy−1)
【能力提升】
（3）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形
ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为S ，左下角的面积为S
1 2
，当AB的长变化时，S -S 的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
1 2
【思路点拨】
（1）根据含x项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（2）先根据整式的加减求出3A+6B的值，再根据含x项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（3）设AB=x，先求出S ,S ，从而可得S −S ，再根据“当AB的长变化时，S −S 的值始终保持不
1 2 1 2 1 2
变”可知S −S 的值与x的值无关，由此即可得．
1 2
【解题过程】
解：（1）
(2x−3)m+2m2−3x=2mx−3m+2m2−3x，
=(2m−3)x−3m+2m2
关于 的多项式 的值与 的取值无关，
∵ x (2x−3)m+2m2−3x x
∴2m−3=0，
3
解得m= ；
2
（2）令
A=(2x+1)(x-1)-x(1-3 y)=2x2-2x+x-1-x+3xy=2x2+3xy-2x-1，
B=−x2+xy−1，
原式=
3A+6B=3(2x2+3xy−2x−1)+6(−x2+xy−1)
=6x2+9xy−6x−3−6x2+6xy−6
=15xy−6x−9
=(15 y−6)x−9，
∵3A+6B的值与x无关，
∴15 y−6=0，
2
解得y= ；
5
（3）解：设AB=x，
由图可知，S =a(x−3b)=ax−3ab，S =2b(x−2a)=2bx−4ab，
1 2
则S −S =ax−3ab−(2bx−4ab)
1 2
=ax−3ab−2bx+4ab
=(a−2b)x+ab，
∵当AB的长变化时，S −S 的值始终保持不变，
1 2
∴S −S 的值与x的值无关，
1 2
∴a−2b=0，
∴a=2b．
1．（2022春·贵州六盘水·七年级统考期中）已知a ，a ，a ，…，a 均为负数，则
1 2 3 2022，
M=(a +a +a +⋅⋅⋅+a )(a +a +⋅⋅⋅+a ) N=(a +a +a +⋅⋅⋅+a )(a +a +⋅⋅⋅+a )
1 2 3 2021 2 3 2022 1 2 3 2022 2 3 2021
，则M与N的大小关系是（ ）
A．M=N B．M>N C．M<N D．无法确定
2．（2022秋·全国·七年级专题练习）设x，y为任意有理数，定义运算：x∗y=(x+1)(y+1)−1，得到
下列五个结论：①x∗y= y∗x；②x∗y+z=x∗y+x∗z；③(x+1)∗(x−1)=x∗x−1；④x∗0=0
；⑤(x+1)∗(x+1)=x∗x+2∗x+1．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
x y z
3．（2022春·江苏·七年级专题练习）设x+ y+z=2020，且 = = ，则x3+ y3+z3−3xyz=
2019 2020 2021
（ ）
2020 2021
A．673 B． C． D．674
3 3
4．（2022春·江苏南京·七年级南京市人民中学校联考期中）如图，长为y(cm)，宽为x(cm)的大长方形被
分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm，下列
说法中正确的是（ ）
①小长方形的较长边为y−15；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x−y+5；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当x=15时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④
5．（2022春·浙江杭州·七年级统考期中）若a=255，b=344，c=433，d=522，则a，b，c，d的大小______(用<号连接)．
6．（2022秋·七年级单元测试）计算
( 1 1 1 1)(1 1 1 1 1) ( 1 1 1 1 1)(1 1 1 1)
1− − − − + + + + − 1− − − − − + + + 的结果是_______．
2 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5
7．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）如果(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)+m是一个完全平方式，那么
m=______
8．（2022秋·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）若a+b+c=0，a3+b3+c3=0，则a23+b23+c23=
______．
9．（2022秋·上海·七年级专题练习）若a, b, c 满足a+b+c=1, a2+b2+c2=2, a3+b3+c3=3，则
a4+b4+c4=________
10．（2022春·江苏·七年级专题练习）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”
其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了一个大
正方形ABCD，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作S ，每一
1
a
个边长为b的小正方形面积记作S ，若S =6S ，则 的值是______．
2 1 2 b
11．（2022秋·七年级课时练习）若
( x2+3mx− 1) (x2−3x+n)的积中不含有x与x3项．
3
（1）直接写出m、n的值，即m=___________，n= ___________；
（2）求代数式
(−m2n) 3 +(9mn) 2+(3m) 2014n2016
的值．12．（2020春·浙江杭州·七年级校考期中）回答下列问题：
（1）填空：
(a−b)(a+b)=___________________；
_____________________；
(a−b)(a2+ab+b2)=
______________________．
(a−b)(a3+a2b+ab2+b3)=
（2）猜想：
___________________．（其中 为正整数，且 ）；
(a−b)(an−1+an−2b+⋯+abn−2+bn−1)= n n≥2
（3）利用（2）猜想的结论计算：
①210+29+28+27+⋯+23+22+2；
②210−29+28−27+⋯−23+22−2．
13．（2022春·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+⋅⋅⋅+22020+22021的值，采
用以下方法：
设S=1+2+22+⋅⋅⋅+22020+22021①
则2S=2+22+⋅⋅⋅+22021+22022②
②−①得，2S−S=S=22022−1．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）2+22+⋅⋅⋅+220=______；
1 1 1
（2）求1+ + +⋅⋅⋅++ =______；
2 22 250（3）求 的和；（请写出计算过程）
(−2)+(−2) 2+⋅⋅⋅+(−2) 100
（4）求a+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan的和（其中a≠0且a≠1）．（请写出计算过程）
14．（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作(a,b)，如果ac=b．我们
叫(a,b)为“雅对”．
例如：因为23=8，所以(2,8)=3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式(3,3)+(3,5)=(3,15)成立．证明
如下：
设(3,3)=m，(3,5)=n，则3m=3，3n=5，故3m ⋅3n=3m+n=3×5=15，
则(3,15)=m+n，即(3,3)+(3,5)=(3,15)．
（1）根据上述规定，填空：(2,4)=_________；(5,1)=_________；(3,27)=_________．
（2）计算(5,2)+(5,7)=___________，并说明理由．
（3）利用“雅对”定义证明： ，对于任意自然数 都成立．
(2n,3n)=(2,3) n15．（2022春·江西抚州·七年级统考阶段练习）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多
项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数
从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余
式为0或余式的次数低于除式的次数.
例：计算 ，可依照 的计算方法用竖式进行计算.因此
(8x2+6x+1)÷(2x+1) 672÷21
.
(8x2+6x+1)÷(2x+1)=4x+1
（1） 的商是______，余式是______.
(x3+4x2+5x−6)÷(x+2)
（2）利用上述方法解决：若多项式2x4+4x3+ax2+8x−b能被x2−x+1整除，求ab值.
（3）已知一个长为(x+2)，宽为(x−2)的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，
此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为(x+10)，若长方形B的面积比C
的面积大76，求长方形C的另一边长.16．（2022春·浙江金华·七年级校联考阶段练习）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可
以得到一个数学等式．例如图1可以得到 ，请解答下列问题：
(a+b) 2=a2+2ab+b2
（1）写出图2中所表示的数学等式______；
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=15,ab+ac+bc=35，则a2+b2+c2=
_____；
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸
片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)长方形图形，则x+ y+z=_______．
（4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接AG
和GE，若两正方形的边长满足a+b=12, ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？17．（2022秋·江苏常州·七年级校考期中）已知7张如图1所示的长为a，宽为b(a>b)的小长方形纸片，按
图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的
阴影部分的面积的差为S．设BC=t．
（1）用a、b、t的代数式表示S= ___________ ．
（2）当BC的长度变化时，如果S始终保持不变，则a、b应满足的数量关系是什么？
（3）在（2）的条件下，用这7张长为a，宽为b的矩形纸片，再加上x张边长为a的正方形纸片，y张边长
为b的正方形纸片（x，y都是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则
当x+ y的值最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含b的代数式表示）？并求出此时的x、y的
值．18．（2022春·四川达州·七年级统考期末）把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进
行拼图（重合处无缝隙）．
（1）如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形ABCD和正方形EFGH，用两种不同的方法计算图
中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示），并写出一个等式；
（2）如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形MNPQ，求阴影部分的面积（用含a，b的代数式表
示）；
（3）如图4，将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个单位后得到一
个长方形图形，若AB=b，BC把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为S ，S ，若
1 2
m=S −S ，求证：m与x无关．
1 219．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，4张长为x，宽为y（x＞y）的长方形纸片拼成一个
边长为（x＋y）的正方形ABCD．
x
（1）当正方形ABCD的周长是正方形EFGH周长的三倍时，求 的值；
y
x
（2）当空白部分面积是阴影部分面积的二倍时，求 的值；
y
（3）在（2）的条件下，用题目条件中的4张长方形纸片，m张正方形ABCD纸片和n张正方形EFHG纸
片（m，n为正整数），拼成一个大的正方形（拼接时无空隙、无重叠），当m，n为何值时，拼成的大正
方形的边长最小？20．（2022春·广东佛山·七年级统考期末）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．
比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公
式： （如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也
(a+b) 2=a2+2ab+b2
可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
（1）由图2可得等式：__________；由图3可得等式：__________；
（2）利用图3得到的结论，解决问题：若a+b+c=15，ab+ac+bc=35，则a2+b2+c2=__________；
（3）如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片
拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)长方形（无空隙、无重叠地拼接），则x+ y+z=______；
（4）如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为ab的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸
片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地
拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为______．
【方法拓展】
（5）已知正数a，b，c和m，n，l，满足a+m=b+n=c+l=k．试通过构造边长为k的正方形，利用图形
面积来说明al+bm+cn<k2．
