文档内容
专题 14.1 整式的乘法
【典例1】【知识回顾】有这样一类题：
代数式ax−y+6+3x−5 y−1的值与x的取值无关，求a的值；
通常的解题方法；
把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原
式=(a+3)x−6 y+5，所以a+3=0，即a=−3．
【理解应用】
（1）若关于x的多项式 的值与x的取值无关，求m的值；
(2m−3)x+2m2−3m
（2）已知 的值与x无关，求y的值；
3[(2x+1)(x−1)−x(1−3 y))+6(−x2+xy−1)
【能力提升】
（3）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形
ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为S ，左下角的面积为S
1 2
，当AB的长变化时，S -S 的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
1 2
【思路点拨】
（1）根据含x项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（2）先根据整式的加减求出3A+6B的值，再根据含x项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（3）设AB=x，先求出S ,S ，从而可得S −S ，再根据“当AB的长变化时，S −S 的值始终保持不
1 2 1 2 1 2
变”可知S −S 的值与x的值无关，由此即可得．
1 2
【解题过程】
解：（1）
(2x−3)m+2m2−3x=2mx−3m+2m2−3x，
=(2m−3)x−3m+2m2
关于 的多项式 的值与 的取值无关，
∵ x (2x−3)m+2m2−3x x
∴2m−3=0，
3
解得m= ；
2
（2）令
A=(2x+1)(x-1)-x(1-3 y)=2x2-2x+x-1-x+3xy=2x2+3xy-2x-1，
B=−x2+xy−1，
原式=
3A+6B=3(2x2+3xy−2x−1)+6(−x2+xy−1)
=6x2+9xy−6x−3−6x2+6xy−6
=15xy−6x−9
=(15 y−6)x−9，
∵3A+6B的值与x无关，
∴15 y−6=0，
2
解得y= ；
5
（3）解：设AB=x，
由图可知，S =a(x−3b)=ax−3ab，S =2b(x−2a)=2bx−4ab，
1 2
则S −S =ax−3ab−(2bx−4ab)
1 2
=ax−3ab−2bx+4ab
=(a−2b)x+ab，
∵当AB的长变化时，S −S 的值始终保持不变，
1 2
∴S −S 的值与x的值无关，
1 2
∴a−2b=0，
∴a=2b．
1．（2022春·贵州六盘水·七年级统考期中）已知a ，a ，a ，…，a 均为负数，则
1 2 3 2022，
M=(a +a +a +⋅⋅⋅+a )(a +a +⋅⋅⋅+a ) N=(a +a +a +⋅⋅⋅+a )(a +a +⋅⋅⋅+a )
1 2 3 2021 2 3 2022 1 2 3 2022 2 3 2021
，则M与N的大小关系是（ ）
A．M=N B．M>N C．Mb)的小长方形纸片，按
图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的
阴影部分的面积的差为S．设BC=t．
（1）用a、b、t的代数式表示S= ___________ ．
（2）当BC的长度变化时，如果S始终保持不变，则a、b应满足的数量关系是什么？
（3）在（2）的条件下，用这7张长为a，宽为b的矩形纸片，再加上x张边长为a的正方形纸片，y张边长
为b的正方形纸片（x，y都是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则
当x+ y的值最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含b的代数式表示）？并求出此时的x、y的
值．18．（2022春·四川达州·七年级统考期末）把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进
行拼图（重合处无缝隙）．
（1）如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形ABCD和正方形EFGH，用两种不同的方法计算图
中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示），并写出一个等式；
（2）如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形MNPQ，求阴影部分的面积（用含a，b的代数式表
示）；
（3）如图4，将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个单位后得到一
个长方形图形，若AB=b，BC把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为S ，S ，若
1 2
m=S −S ，求证：m与x无关．
1 219．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，4张长为x，宽为y（x＞y）的长方形纸片拼成一个
边长为（x＋y）的正方形ABCD．
x
（1）当正方形ABCD的周长是正方形EFGH周长的三倍时，求 的值；
y
x
（2）当空白部分面积是阴影部分面积的二倍时，求 的值；
y
（3）在（2）的条件下，用题目条件中的4张长方形纸片，m张正方形ABCD纸片和n张正方形EFHG纸
片（m，n为正整数），拼成一个大的正方形（拼接时无空隙、无重叠），当m，n为何值时，拼成的大正
方形的边长最小？20．（2022春·广东佛山·七年级统考期末）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．
比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公
式： （如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也
(a+b) 2=a2+2ab+b2
可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
（1）由图2可得等式：__________；由图3可得等式：__________；
（2）利用图3得到的结论，解决问题：若a+b+c=15，ab+ac+bc=35，则a2+b2+c2=__________；
（3）如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片
拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)长方形（无空隙、无重叠地拼接），则x+ y+z=______；
（4）如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为ab的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸
片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地
拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为______．
【方法拓展】
（5）已知正数a，b，c和m，n，l，满足a+m=b+n=c+l=k．试通过构造边长为k的正方形，利用图形
面积来说明al+bm+cn
