专题14.2因式分解（压轴题专项讲练）（人教版）（学生版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_压轴题专项-V5_2024版

专题 14.2 因式分解 【典例1】【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式ax2+bx+c进行因 式分解呢？我们已经知道，ax  cax  c  aax2 acx  acx  cc aa x2ac ac x  1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 cc． 1 2 反过来，就得到： ． a a x2+(a c +a c )x+c c =(a x+c )(a x+c ) 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 我们发现，二次项的系数a分解成a a ，常数项c分解成c c ，并且把a， a， c， c 如图①所示摆 1 2 1 2 1 2 1 2 放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a c +a c ，如果a c +a c 的值正好等于ax+bx+c的一次项系数 1 2 2 1 1 2 2 1 2 b，那么ax2+bx+c就可以分解为ax  ca x  c ，其中a1 ， c1位于图的上一行，a ， c 位于下一 1 1 2 2 2 2 行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘 法”． 例如，将式子x2−x−6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1， 把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按图②所示的摆放，按对角线 交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2= －1，恰好等于一次项的系数－1，于是x2−x−6就可以分解 为(x  2)(x  3)． 请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： x2−x−6= ． 【理解与应用】 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （1）2x2+5x−7= ； （2）6x2−7xy+2y2= ．【探究与拓展】 对于形如ax2+bxy+c y2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解．如 图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq  np  b ， pk  qj  e ，mk  nj  d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则， 则原式= mx  py  jnx  qy  k ，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： （1）分解因式3x2+5xy−2y2+x+9 y−4= ； （2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy−18 y2−5x+my−24可以分解成两个一次因式的积，求m的 值； （3）已知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+3 y=−1，请写出一组符合题意的x，y的值． 【思路点拨】 【阅读与思考】利用十字相乘法，画十字交叉图，即可； 【理解与应用】（1）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可； （2）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可； 【探究与拓展】（1）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可得到答案； （2）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可求解； （3）根据二元二次多项式的十字相乘法，对方程进行分解因式，化为二元一次方程，进而即可求解． 【解题过程】 解：【阅读与思考】画十字交叉图： ∴x2−x−6=  x -3 x  2． 故答案是： x- 3 x  2； 【理解与应用】（1）画十字交叉图： ∴2x2  5x  7 =  x 12x  7， 故答案是： x 12x  7；（2）画十字交叉图： ∴6x2 7xy  2y2 = 2x  y3x  2y， 故答案是：2x  y3x  2y； 【探究与拓展】（1）画十字交叉图： ∴3x2 5xy  2y2 x  9y  4  x  2y 13x  y  4， 故答案是：x  2y 13x  y  4； （2）如图， ∵关于x，y的二元二次式x2+7xy－18y2－5x+my－24可以分解成两个一次因式的积， ∴存在1×1=1，9×(－2)=－18，(－8)×3= －24，7=1×(－2)+1×9 ，－5=1×(－8)+1×3， ∴m=9×3+ (－2)×(－8)=43或m=9×(－8)+(－2)×3= －78． ∴m的值为：43或－78； （3）∵x2+3xy+2y2+2x+3 y=−1， ∴x2+3xy+2y2+2x+3 y+1=0， 画十字交叉图：∴(x+2y+1)(x+ y+1)=0， ∴x+2y+1=0或x+ y+1=0， ∵x，y为整数， ∴x=－1，y=0是一组符合题意的值． 1．（2023春·江苏·七年级专题练习）因式分解：15x2+13xy﹣44y2＝_____． 2．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式：x6−28x3+27=______． 3．（2023春·七年级课时练习）分解因式：a4−4a3+4a2−9=___________． 4．（2023春·七年级课时练习）因式分解：x3﹣6x2+11x﹣6＝_____． 5．（2023春·七年级课时练习）因式分解：6x2−5xy+ y2+17x−7 y+12=_______． 6．（2023春·七年级课时练习）分解因式： ______ ． (x+ y−2xy)(x+ y−2)+(xy−1) 2= 7．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式： （1）x2−7x+10 （2）x2x2−9x+18 （3）x2x2−5x−6 （4）x2x2−9x−22 （5）x23x2+x−2 （6）x23x2+x−4（7）x2−12x2+25x−12 （8）x2−3x2−x+10 （9）x2x2−y2−x−y （10）x2x3+x2+x+1 （11）x2a2+4a−9b2+4 （12）x2a2−4b2−2a+4b 8．（2022秋·全国·八年级专题练习）因式分解： （1） ； （2） ； x2−2x3+16x2−24x x2 (a2+b2−c2 ) 2−4a2b2 （3） ； （4） ； x2 (x2−x−3)(x2−x−5)−3 x2(x+ y) 3−x3−y3 （5）x2x3−9x+8． 9．（2023春·七年级课时练习）因式分解： （1）x2a2−4b2+12bc−9c2； （2）x2x2−2x−15； （3）x2x2−y2−4x+6 y−5． 10．（2022秋·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期末）分解因式：（1） ； （2） ； 3a(b2+9) 2−108ab2 2b3−b2−6b+5a−10ab+3 ( 24+ 1)( 44+ 1)( 64+ 1) （3）计算： 4 4 4 ； （4） ． 4x2−14xy+6 y2−7x+ y−2 ( 14+ 1)( 34+ 1)( 54+ 1) 4 4 4 11．（2022秋·全国·八年级专题练习）把下列多项式分解因式： （1）a2+4ab+4b2−ac−2bc （2）ax2+bx2+bx+ax+cx2+cx （3） （4） a2−b2−x2+ y2−2ay+2bx (1+ y) 2−2x2(1−y2)+x4(1−y) 2 12．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解： （1） 2a(a−1) 2−28a2(1−a)+18a(a−1) （2） (x2+3x) 2 −8(x2+3x)−20 （3）4x3−2x2−9x y2−3xy （4）y(y−4)−(m+2)(m−2)13．（2023春·全国·七年级专题练习）因式分解：x2+xy−2y2−3xz−12yz−10z2 14．（2022秋·全国·八年级专题练习）因式分解： （1） 2(x2+6x+1) 2 +5(x2+1)(x2+6x+1)+2(x2+1) 2 （2） x2(y−z) 3+ y2(z−x) 3+z2(x−y) 3 15．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）当m为何值时，多项式 6x2+mxy−5 y2−15x+38 y−21可以分解为两个关于x，y的一次三项式的乘积？ 16．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下列材料： 材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋ q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6） （x＋2）． 材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A²＋2A ＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）² 上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式； （2）结合材料1和材料2，完成下面小题； ①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16； ②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3 17．（2022秋·全国·八年级专题练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因 式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法 及“3+3”分法等． 如“2+2”分法： ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+ y)+b(x+ y)=(x+ y)(a+b) 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： （1）分解因式：x2−y2−x−y； （2）分解因式：9m2−4x2+4xy−y2； （3）分解因式：4a2+4a−4a2b2−b2−4ab2+1. 18．（2022秋·全国·八年级期末）因式分解与整式乘法互为逆运算．如对多项式x2﹣7x+12进行因式分 解： 首先，如果一个多项式能进行因式分解，则这个多项式可看作是有两个较低次多项式相乘得来的．故可写 成x2﹣7x+12＝（x+a）（x+b），即x2﹣7x+12＝x2+（a+b）x+ab（对任意实数x成立），由此得a+b＝﹣ 7，ab＝12．易得一组解：a＝﹣3，b＝﹣4，所以x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）．像这种能把一个多项式 进行因式分解的方法，称为待定系数法．（1）因式分解：x2﹣15x﹣34＝ ． （2）因式分解：x3﹣3x2+4＝（x+a）（x2+bx+c），请写出一组满足要求的a，b，c的值： ． （3）请你运用待定系数法，把多项式3m2+5mn﹣2n2+m+9n﹣4进行因式分解． 19．（2023秋·湖北襄阳·八年级期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用 上述方法无法分解，例如x2−4 y2−2x+4 y，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以 分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下： x2−4 y2−2x+4 y =(x2−4 y2)−(2x+4 y) =(x+2y)(x−2y)−2(x+2y) =(x−2y)(x+2y−2) 这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式： （1）mn2−2mn+2n−4； （2）x2−2xy+ y2−16； （3）4x2−4x−y2+4 y−3． 20．（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）阅读下列材料： 因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如 x2−2xy+ y2−16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四 项结合再运用平方差公式进行分解． 过程如下： ． x2−2xy+ y2−16=(x−y) 2−16=(x−y+4)(x−y−4) 这种因式分解的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）因式分解：a2−6ab+9b2−25； （2）因式分解：x2+x−5x−5； 1 （3）若m、n、p为非零实数，且 (m−n) 2=(p−n)(m−p)，求证：2p=m+n． 4