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专题 14.2 整式的乘法
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 计算单项式乘多项式】............................................................................................................................1
【考点二 计算多项式乘多项式】............................................................................................................................1
【考点三 已知多项式乘积不含某项求字母的值】................................................................................................2
【考点四 (x+p)(x+q)型多项式乘法】....................................................................................................................2
【考点五 多项式乘法中的规律性问题】................................................................................................................3
【考点六 多项式乘多项式与图形面积】................................................................................................................5
【考点七 幂的乘除混合运算】................................................................................................................................6
【考点八 幂的乘除逆运算】....................................................................................................................................6
【考点九 整式运算中的先化简再求值】................................................................................................................7
【考点十 多项式除以单项式】................................................................................................................................7
【考点十一 整式运算中的新定义型问题】............................................................................................................8
【过关检测】..............................................................................................................................................................9
【典型例题】
【考点一 计算单项式乘多项式】
例题：（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）计算:（1） .（2）
．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）计算 计算： ．
2．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：（1） ．（2）
．
【考点二 计算多项式乘多项式】
例题：（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算(1) ；
(2) ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算：
(1) ；
(2)
2．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算：
(1) ．
(2)
(3)
【考点三 已知多项式乘积不含某项求字母的值】
例题：（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）若 的乘积中不含 项，求n的值．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若 的积中不含 与 项．
(1)求 ， 的值；
(2)求代数式 的值．
2．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知 的展开式中不含 的一次项，常数项是 ．
(1)求 ， 的值．
(2)先化简再求值 ．
【考点四 (x+p)(x+q)型多项式乘法】例题：（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）观察下列各式：
回答下列问题：
(1)总结公式： _____ ；
(2)已知a，b，m均为整数，若 ，求m的值．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·云南昆明·期中）观察下列多项式的乘法计算，回答问题：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
(1)计算 __________；
根据你发现的规律，猜想 __________；
(2)若 ，求 的值．
2．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）综合与实践
问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“多项式的乘法 ”的结果的一般性规律问题：
观察发现：（1）① ；② ；
③ _________；
④ _________．
规律总结：（2） _________．
应用规律：（3）①若 ，求 的算术平方根；
②若 的结果不含 的项，求 的立方根．
【考点五 多项式乘法中的规律性问题】
例题：（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
观察下列各式：
；
；
；
……
请根据你发现的规律完成下列各题：
(1)根据规律可得 _______________；
(2)请你利用上面的结论解答下列小题：
①若 ，求 的值．
②计算 的值．（结果用幂表示）
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知
．(1)根据以上式子计算：
① ；
② ．
(2)请你进行下面的探索：
① ____________；
② ____________；
③ ____________．
2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三
角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，
它给出了 （n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角
形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着 展开式中的系数．
(1)根据上面的规律不难发现， 的展开式共有____________项，请写出它的展开式
；
(2) 的展开式共有__________项，系数和为___________；
(3)利用上面的规律计算： ；
(4)运用：若今天是星期二，经过 天后是星期___________．【考点六 多项式乘多项式与图形面积】
例题：（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，为了方便学生
取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，其余部分停放自行车，已知矩形车棚的宽为x米，长
为 米，小路的宽为2米，求停放自行车的面积．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·全国·课后作业）为了提升居民的幸福指数，某居民小组规划将一长为 米、宽
为 米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为
米、宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材．
(1)求安装健身器材的区域面积；
(2)若 ， ，求篮球场的面积．
2．（24-25八年级上·山西·阶段练习）晋阳湖公园是太原市面积最大的城市综合性公园，位于太原市西南
方的晋阳湖水域周边．小华与家人在公园内某一长方形区域观赏风景，设该观景区长3a米，宽 米，
中间修有一条“S”型等宽小路供游客行走，已知小路宽2米，其余区域皆为草坪．(1)求该观景区草坪的面积．
(2)当 ， 时，草坪的面积是多少？
【考点七 幂的乘除混合运算】
例题：（24-25八年级上·福建福州·期中）计算：
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算： ．
2．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）计算：
(1)
(2)
【考点八 幂的乘除逆运算】
例题：（24-25八年级上·全国·单元测试）已知 ， ， ：
(1)求证： ；
(2)求 的值．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）已知 ， ；
(1)当 时，求a的值；
(2)求 的值．
2．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知 ， ， ．(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)直接写出字母a、b、c之间的数量关系为 ．
【考点九 整式运算中的先化简再求值】
例题：（2024·广西桂林·一模）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）先化简，再求值： ，其中
， ．
2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）先化简，再求值： ，其中
【考点十 多项式除以单项式】
例题：（24-25八年级上·全国·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，
然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如 ，仿照 计算
如图①所示．
因此 ．
(1)阅读上述材料后，试判断 能否被 整除，并说明理由；(2)若多项式 能被 整除，求 的值；
(3)有一个长为 ，宽为 的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长
方形B的周长是A周长的2倍（如图），另有一长方形C，它的一边长为 ，且长方形B的面积比C
的面积大76，求长方形C已知边长的邻边长．
【变式训练】
1．（2024八年级上·全国·专题练习）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多
项式该怎么计算呢？我们可以用竖式进行演算，即先把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的
项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数．例如：
计算 的结果．
故 ．
请你用竖式计算： ．
【考点十一 整式运算中的新定义型问题】
例题：（23-24七年级下·重庆·期末）定义：对于一组关于x的多项式 ， ， ， （a．b，
c，d是有理数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数p时（不含字母
x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，有理数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．例如：对
于多项式 ， ， ， ，因为 ，
所以多项式 ， ， ， 是一组黄金多项式，其黄金因子为 ．
(1)小贤发现多项式 ， ， ， 是一组黄金多项式，其列式为请帮小贤求出这组黄金多项式的黄金因子．
(2)若多项式 ， ， ， （n是有理数）是一组黄金多项式，求n的值．
(3)若多项式 （m为有理数） ， ， 是一组黄金多项式，且黄金因子为5，请直接写出m
的值．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算： （其中m、n为常数），
如 ．
(1)填空：当 ， 时， __________；
(2)若 ， ，求 的值．
2．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，
学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“ ”，对于任意有理数a，b，c，d，规定
，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如： ．
请解答下列问题：
(1)填空： ______；
(2)若 的代数式中不含x的一次项时，求n的值；
(3)求 的值，其中 ；
(4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中 ，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为 ，右上
角长方形的面积为 ．当 ，求 的值．
【过关检测】
一、单选题
1．（24-25七年级上·上海·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（北京二中教育集团2024—2025学年上学期八年级数学期中考试卷）已知式子 的计算结
果中不含x的一次项，则a的值为（ ）
A． B．3 C．1.5 D．0
3．（2024·陕西榆林·三模）已知单项式 与 的积为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）按如图程序计算，若开始输入 的值为3，则最后输出的结果是
（ ）
A．156 B．231 C．198 D．262
5．（24-25六年级上·上海·期中）在矩形 内，将两张边长分别为a和 的正方形纸片按图1，
图2两种方式放置（图1．图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用涂色表示．设图1中涂色部分的面积为 ，图2中涂色部分的面积为 ，当 时，
的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ．
7．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）若 对任意的x恒成立，则n的值是
．
8．（24-25六年级上·上海·期中）等式 成立，则 ，
．
9．（23-24六年级下·山东泰安·期末）新定义一种运算，其法则为 ，则 ．
10．（24-25八年级上·北京·期中）如图①是某年某月的月历，用如图②所示的“凹”字型框在月历中任意
圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为 ．
（1）用含 的代数式表示： ；（2） ．
三、解答题
11．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
12．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）先化简，再求值： ，其中
， ．
13．（24-25七年级上·上海闵行·期中）（1）已知 ，求 的值．
（2）已知 ，求 的值．
14．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）（1）先化简，再求值：
，其中x=1
（2）先化简，再求值：
，其中 ， ．
15．（22-23七年级上·湖南长沙·期末）给出如下定义：我们把有序实数对 叫做关于x的二次多项
式 的附属系数对，把关于 的二次多项式 叫做有序实数对 的附属多项式．
(1)关于 的二次多项式 的附属系数对为_________；
(2)有序实数对 的附属多项式与有序实数对 的附属多项式的差中不含一次项，求 的值．
16．（24-25八年级上·北京·期中）观察下列各式，回答问题：
① ；
② ；③ ；
……
(1) ；
(2)按此规律，第n个等式是： ；
(3) 的值的末位数字是 ．
17．（北京二中教育集团2024—2025学年上学期八年级数学期中考试卷）我们已经学习过多项式除以单项
式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算 ，可用竖式除法．
步骤如下：
①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐；
②用被除式的第一项 除以除式第一项 ，得到商式的第一项 ；
③用商式的第一项 去乘除式 ，把积 写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减；
④把相减所得的差 当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数
低于除式的次数时为止．
被除式=除式×商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除．
余式为0， 可以整除 ．
请根据阅读材料，回答下列问题（直接填空）：
(1)请在两个方框内分别填入正确的数或式子；(2)多项式 除以 商式为______，余式为______；
(3)多项式 的一个因式是 ，则该多形式因式分解的结果为______．
18．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式
的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把 看作字母，m看作
系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即原式
，所以 ，则 ．
(1)若多项式 的值与x的取值无关，求a值；
(2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形 内，大长方形中未
被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为 ，右下角的面积为 ，当 的长变化时，发
现 的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系．
