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热点 2-3 函数的最值(值域)及应用
函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始
终。在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程
中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
【题型1 单调性法求函数的最值（值域）】
满分技巧
函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）
（1）基本初等函数如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数可直接判断函数
的单调性，从而求得值域；
（2）可根据单调性的运算性质判断函数的单调性。
（3）对于复合函数，可根据“同增异减”判断函数的单调性。
【例1】（2023·宁夏固原·高三校考阶段练习）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·广东中山·高三校考阶段练习）函数 ， 的值域为
【变式1-2】（2023·广东深圳·高三珠海市第一中学校联考阶段练习）已知函数 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．【变式1-3】（2023·河南焦作·高三博爱县第一中学校考阶段练习）已知函数 ， ，
则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【变式1-4】（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知函数 是 上的单调函数，且
，则 在 上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 图象法求函数的最值（值域）】
满分技巧
画出函数的图象，根据图象确定函数的最大值与最小值，常见于含绝对值的函数。
【例2】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
（1）画出 的图像，并直接写出 的值域；
（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【变式2-1】（2023·河南新乡·高三校考阶段练习）对 ，用 表示 ， 中的较大者，记
为 ，若函数 ，则 的最小值为 .
【变式2-2】（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）定义在 上的函数 满足
，且当 时， ，当 时， 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023·北京·高三北京四中校考期中）已知 ，若实数 ，则
在区间 上的最大值的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【题型3 换元法求函数的最值（值域）】
满分技巧
换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有
（1） 或 的结构，可用“ ”换元；
（2） （ 均为常数， ），可用“ ”换元；
（3） 型的函数，可用“ ”或“ ”换
元；
【例3】（2023·广东河源·高三校联考开学考试）函数 的最大值为 .
【变式3-1】（2023·山西吕梁·高三统考阶段练习）函数 的最大值为（
）
A．4 B．2 C． D．
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）求函数 的值域.
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）求函数 的值域.
【题型4 分离常数法求函数的最值（值域）】
满分技巧
分离常数法：
（1）形如 的函数，可分离为 ，然后求值域；
（2）形如 ，将分子配成分母的一元二次，分子分母同时除以分母，分离为
；（3）形如 ，将分母配成分子的一元二次，分子分母同时除以分母，分离为
【例4】（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）求函数 的值域．
【变式4-2】（2023·江苏镇江·高三吕叔湘中学校考阶段练习）若 ，则函数 的值域是
.
【变式4-3】（2023·全国·高三对口高考）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【题型5 判别式法求函数的最值（值域）】
满分技巧
形如 或 的函数求值域，可将函数转化
为关于 的方程 ，利用二次项系数不为0，判别式 或二次项系数为0，一次方程有解得
出函数的值域。
【例5】（2023·河南平顶山·高三阶段练习）若函数 的最大值为 ，最小值为 ，则
（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8【变式5-1】（2022·陕西·高三校联考阶段练习）函数 的值域是 .
【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）求函数 的值域.
【变式5-3】（2023·广东茂名·统考二模）已知实数a，b满足 ，则 的最小值是
.
【题型6 几何法求函数的最值（值域）】
满分技巧
分析代数式的结构，一般情况表示的斜率、截距、距离等几何意义。
【例6】（2023·河北·校联考三模）函数 的值域是 ．
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域为
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域为 .
【变式6-3】（2023·陕西铜川·校考一模）若 ，则函数 的值域是
．
【题型7 导数法求函数的最值（值域）】
满分技巧
对可导函数 求导，令 ，求出极值点，判断函数单调性；
如果定义域是闭区间，则函数最值一定取在极值点处或区间端点处；
如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。
【例7】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则 的最小值为 ．【变式7-1】（2023·上海虹口·高三校考期中）函数 在区间 上的最大值是 .
【变式7-2】（2023·河南·高三校联考阶段练习）函数 的最小值为 ．
【变式7-3】（2023·广西玉林·校联考模拟预测）已知正实数x，y满足 ，则 的
最大值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【题型8 已知函数的最值（值域）求参数】
满分技巧
已知函数的最值求参数范围时，要视参数为已知数，结合函数值域（或最值）的求法，得到函数的最值
（含有参数），再与给出的函数最值作比较，求出参数范围。
【例8】（2023·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）已知函数 ，若
的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2023·上海青浦·统考一模）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围
为 ．
【变式8-2】（2023·湖北武汉·统考一模）已知函数 若 的值域为 ,则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（2022·河北衡水·高三校联考阶段练习）已知 的最小值为2，则 的
取值范围为（ ）A． B． C． D．
（建议用时：80分钟）
1．（2023·河北·校联考模拟预测）已知 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知函数 ，若
的最小值为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝3 －4 的最小值为（ ）
A．－8 B．8 C．－10 D．10
5．（2023·全国·高三专题练习）若函数 有最小值，则实数a的取值范围是（
）
A． B． C． D．
8．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）（多选）设函数 ，若 表示不超过 的最大整数，
则 的函数值可能是（ ）
A．0 B． C．1 D．2
8．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）（多选）已知函数f(x)的定义域为A，若对任意 ，
都存在正数M使得 总成立，则称函数 是定义在A上的“有界函数”．则下列函数是“有
界函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域为9．（2023·全国·高三专题练习）函数 在 上的最大值为 ．
10．（2023·全国·高三专题练习）求函数 的值域为 .
11．（2023下·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数 的最大值为 .
12．（2023·河北·高三校联考阶段练习）函数 的最小值为 ．
13．（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域是 ．
14．（2021·全国·模拟预测）函数 的值域为 .
15．（2023·陕西咸阳·高三统考期中）若对任意实数a，b规定 ，则函数
的最大值为 .
18．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则 的最小值为
.
18．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知函数 是定义域为 的偶函数.
（1）求a的值；
（2）若 ，求函数 的最小值.
18．（2023·海南·高三校联考阶段练习）已知函数 （ 且 ， 为常数）的图象经过点
， .
（1）求 的值；
（2）设函数 ，求 在 上的值域.
