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专题14.3平方差和完全平方公式（5个考点）
【考点1: 平方差公式运算】
【考点2:平方差公式的几何背景】
【考点3:完全平方公式】
【考点4: 完全平方公式下得几何背景】
【考点5: 完全平方公式的逆运算】
【考点1: 平方差公式运算】
1．已知a2−4b2=12，且a−2b=3，则a+2b= ．
2．计算：2002−198×202= ．
3．计算：(a−3)(a+3)= ．
4．计算(2x+1)(2x−1)的结果为 ．
5．若a2−b2=15，a−b=−5，则a+b= ．
6．计算：(a+3b)(a−3b)= ．
7．已知a−b=10,a+b=4，则a2−b2= ．
8．已知x+ y=4，x2−y2=20，则x−y= ．
9．计算 的结果为 ．
(2❑√3+1)(1−2❑√3)
10．若m−n=−2，且m+n=5，则m2−n2= ．
【考点2:平方差公式的几何背景】
11．如图①，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼
接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公式为（ ）A． B．
(a−b) 2=a2−2ab+b2 (a+b)(a−b)=a2−b2
C． D．
a(a−b)=a2−ab (a+b) 2=a2+2ab+b2
12．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边
的长方形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A．
(a−b)²=a²−2ab+b2
B．a(a−b)=a²−ab
C．(a−b)²=a²−b²
D．a²−b²=(a+b)(a−b)
13．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形
（如图2）
(1)上述操作能验证的等式是__________；
A． B．
a2−2ab+b2=(a−b) 2 b2+ab=b(a+b)
C． D．
a2−b2=(a+b)(a−b) a2+ab=a(a+b)
(2)应用你从（1）得出的等式，完成下列各题：
①①已知x2−4 y2=12，x+2y=4，求x的值．
②计算：( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 )( 1 )．
1− 1− 1− ⋯ 1− 1−
22 32 42 192 20214．乘法公式的探究及应用．
(1)如图1到图2的操作能验证的等式是 ．（请选择正确的一个）
A． B．
a2−2ab+b2=(a−b) 2 a2+ab−a(a+b)
C． D．
(a−b) 2−(a+b) 2−4ab a2−b2=(a+b)(a−b)
(2)当4m2=12+n2，2m+n=6时，则2m−n= ．
(3)运用你所得到的公式，计算下列各题：
①20232−2022×2024；
② ．
2×(3+1)×(32+1)×(34+1)×(38+1)×(316+1)+1
15．如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成
的两张纸拼成如图2的长方形．(1)设图1中阴影部分面积为S ，图2中阴影部分面积为S ．请直接用含a，b的代数式表示S =
1 2 1
__________，S = __________；写出上述过程所揭示的乘法公式__________．
2
(2)应用公式计算：
1 1 1
①已知9x2− y2=12，3x+ y=4，求3x− y的值．
4 2 2
②2024×2026−20252．
16．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边方
形（如图2所示）．
(1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）．
A．
a2+ab=a(a+b)
B．
a2−b2=(a−b)(a+b)
C．
a2−2ab+b2=(a−b) 2
(2)请应用上面的公式完成下列各题：
①若4a2−b2=24，2a+b=6，则2a−b=______；
②计算：242−232+222−212+202−192+⋯22−1；
17．实践与探索：如图1，在边长为a的大正方形里挖去一个边长为b的小正方形，再把图1中的剩余部分
（阴影部分）拼成一个长方形（如图2所示）．(1)上述操作能验证的等式是：______（请选择正确的一个）
A．
a2−b2=(a+b)(a−b)
B．
a2−2ab+b2=(a−b) 2
C．
a2+ab=a(a+b)
(2)请应用这个等式完成下列各题：
①已知4a2−b2=24,2a+b=6，则2a−b=______．
②计算： ．
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)
18．如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图
②所示）
(1)上述操作能验证的等式是（ ）．（请选择正确的一个）
． ； ． ； ．
A a2−b2=(a+b)(a−b) B a2−2ab+b2=(a−b) 2 C a2+ab=a(a+b)
(2)请应用（1）中的等式完成下列各题：
①己知9a2−16b2=28，3a+4b=7则3a−4b=______；②计算：502−492+482−472+⋅⋅⋅+42−32+22−12．
③计算：( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 )．
1− × 1− × 1− ×⋅⋅⋅× 1− 1−
22 32 42 492 502
【考点3:完全平方公式】
19．如果 ，那么 ．
x2+mx+4=(x+n) 2 n=
20．计算： ．
(3x−y) 2=
21．若 ，则 ．
(2x−9) 2=4x2−mx+81 m=
22．计算( 1) 2的结果为 ．
2p+
4
23．计算： ．
(−a+b) 2=
24．计算： ．
(a−3) 2=
25．计算：( 1) 2 ．
2x− =
2
26．若 ，则 ．
(a+3 y) 2=16+by+9 y2 b=
27．计算： ．
(−x−3 y) 2=
28． 计算∶ ( 1 ) 2 ．
2x− y =
2
24．计算 的结果是 ．
(−3x−4 y) 2【考点4: 完全平方公式下得几何背景】
29．如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A． B．
(a+b) 2=a2+2ab+b2 (a−b) 2=a2−2ab+b2
C． D．
(a+b)(a−b)=a2−b2 (ab) 2=a2b
30．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为2a+b的正方形，需要B类卡片 张．
31．如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖出直径分别为a与b的两个圆．
(1)求剩下的钢板的面积；
1
(2)若剩下的钢板面积是原钢板面积的 ，求a与b的关系．
2
32．把完全平方公式 适当的变形，如： 等，这些变形可解决
(a±b) 2=a2±2ab+b2 (a+b) 2=(a−b) 2+4ab
很多数学问题．
例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：因为 ， ，所以 ，
a+b=3 ab=1 (a+b) 2=9 2ab=2
即a2+b2+2ab=9，2ab=2，所以a2+b2=7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题．
(1)①若2m+n=3，mn=1，且2m>n，则2m−n=________；
②我们知道 ，若 ，则 ________．
(2−m)−(5−m)=−3 (2−m)(5−m)=3 (2−m) 2+(5−m) 2=
(2)如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，AB=5，两个正方形的面积和为
15，设AC=x，BC= y，求图中阴影部分的面积．
33．如图①是一个长为4n，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的
方式拼成一个大正方形．
(1)【知识生成】请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）：
方法一： ；方法二： ；
(2)【得出结论】根据（1）中的结论，请你写出代数式 ， ， 之间的等量关系为 ；
(m+n) 2 (m−n) 2 mn
(3)【知识迁移】根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知实数a，b满足：a+b=8，ab=7，求
a−b的值
34．如图1，有边长分别为m，n的两个正方形和两个长宽分别为n，m的长方形，将它们拼成如图2所示
的大正方形ABCD．四边形AHOE，HDGO，OGCF，EOFB的面积分别为S ,S ,S ,S ．
1 2 3 4(1)用两种方法表示图2的面积，可以得到一个关于m，n的等式为______；
(2)在图2中，若S =3,S =9，则m+n=______；若m+n=12，S =35，则S +S =______；
1 2 1 2 4
(3)如图3，连接AF交EO于点N，连接GF．若△FGN与△AEN的面积之差为18，求m的值．
35．乘法公式的探究及应用：
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长
为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张
拼成如图2的大正方形．
(1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积：
方法1：__________，方法2：__________；
(2)观察图2，请你写出三个代数式 ， ， 之间的数量关系：__________；
(a+b) 2 a2+b2 ab
(3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：
①已知a+b=7，a2+b2=33，求ab的值；
②已知 ，求 的值．
(2024−a) 2+(a−2022) 2=8 (2024−a)(a−2022)
36．在学习完全平方公式后，我们对公式的运用作进一步探讨，请你阅读下列解题思路：
例1：已知a+b=4，ab=3，求a2+b2的值．
解：∵a+b=4，ab=3，∴
a2+b2=(a+b) 2−2ab
=42−2×3=10．
例2：若 ，求 的值．
(10−x)(x−2)=16 (10−x) 2+(x−2) 2
解：设10−x=a，x−2=b，则：
a+b=10−x+x−2=8，
ab=(10−x)(x−2)=16．
这样就可以利用例1中的方法进行求值了．
请结合以上两个例题解答下列问题：
(1)若a+b=8，ab=12，求a2+b2的值；
(2)若x满足 ，求 的值；
(18−x)(x−5)=30 (18−x) 2+(x−5) 2
(3)如图，用4个长为a宽为b的长方形拼成一个大正方形．已知每个长方形的面积是6，周长是10，
求右图中空白小正方形面积．
37．我们将 进行变形，如： ， (a+b) 2−(a2+b2)等．请
(a+b) 2=a2+2ab+b2 a2+b2=(a+b) 2−2ab ab=
2
灵活利用这些变形解决下列问题：
(1)已知 ， ，则 _______．
a2+b2=28 (a+b) 2=48 ab=
(2)若x满足 ，求 的值．
(25−x)(x−10)=−15 (25−x) 2+(x−10) 2
(3)如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD=AC，BE=BC，连结CD，CE，若
AC·BC=10，则图中阴影部分的面积为_______．38．若x满足 ，求 的值．
(9−x)(x−4)=4 (9−x) 2+(x−4）2
解：设9−x=a，x−4=b，则(9−x)(x−4)=ab=4，a+b=(9−x)+(x−4)=5，
．
∴(9−x) 2+(x−4) 2=a2+b2=(a+b) 2−2ab=52−2×4=17
请仿照上面的方法解答下面的问题：
(1)若x满足 ，求 的值．
(x−10)(x−20)=15 (x−10) 2+(x−20) 2
(2)若x满足 ，求 的值．
(x−2023) 2+(x−2024) 2=33 (x−2023)(x−2024)
(3)如图，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE=1，CF=3，长方
形EMFD的面积是48，分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面
积．
【考点5: 完全平方公式的逆运算】
39．若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
40．（1）已知x+ y=2，xy=−6，求x2+ y2和x2+xy+ y2的值．
1 1
（2）已知x−
=3，求x4+
的值．
x x4
41．已知x2+ y2=9，x+ y=4，求下列代数式的值：
(1)xy；
(2)(x−3)(y−3)．42．已知a−b=5,ab=4求：
(1)3a2+3b2的值；
(2) 的值．
(a+b) 2
43．已知a+b=6，ab=3，求下列各式的值．
(1)
(a−b) 2
(2)a4+b4
44．已知：m+n=2，mn=1．
(1)求m2+n2的值；
(2)求 ．
(m−n) 2
45．已知： ， ，求下列代数式的值：
(x+ y) 2=9 xy=−2
(1)x2+ y2；
(2)x−y．
46．已知 ，求：
(a+b) 2=9,(a−b) 2=4
(1)ab的值
(2)a2+b2的值47．若a+b=3，ab=−12，求下列各式的值
(1)a2+b2
(2)
(a−b) 2
48．已知x+ y=5,xy=4，求下列各式的值．
(1)
(x+ y) 2
(2)x2+ y2
(3)x−y
