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专题14.4 解题技巧专题：乘法公式(平方差公式与完全平方公式)的灵活运用之
八大考点
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目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【考点一 对乘法公式的识别问题】................................................................................................................1
【考点二 求完全平方项中的字母系数问题】................................................................................................3
【考点三 与乘法公式有关的化简求值问题】................................................................................................5
【考点四 利用乘法公式进行简便运算】........................................................................................................9
【考点五 利用乘法公式的变式求值】..........................................................................................................12
【考点六 利用完全平方配方求多项式最小/大值问题】............................................................................14
【考点七 平方差公式在几何图形中的应用】..............................................................................................18
【考点八 完全平方公式在几何图形中的应用】..........................................................................................25
【典型例题】
【考点一 对乘法公式的识别问题】
例题：（2023秋·四川巴中·八年级四川省巴中中学校考阶段练习）下列各式中不能用平方差公式进行计算
的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（2023春·江西赣州·七年级校考阶段练习）在下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是 （ ）
A． B．C． D．
2．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A． B． ．
C． D．
3．（2023春·河南驻马店·七年级驻马店市第二初级中学校考期中）下列各式不能用平方差公式的是
（ ）
A． B．
C． D．
【考点二 求完全平方项中的字母系数问题】
例题：（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）若多项式 是一个完全平方公式，则m的值为（ ）
A．3 B．6 C．-6 D．
【变式训练】
1．（2023春·山东枣庄·八年级统考阶段练习）若多项式 是一个完全平方式，则k的值为
（ ）
A．3 B． C．3或0 D．3或
2．（2023秋·四川巴中·八年级四川省巴中中学校考阶段练习）若 是完全平方式，则m的
值为 ．
3．（2023春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）若代数式 是完全平方式，则 ．
4．（2023秋·四川成都·八年级校考开学考试）已知 （ 为常数）是一个完全平方式，则
的值为 .
【考点三 与乘法公式有关的化简求值问题】例题：（2023春·山东枣庄·七年级统考期中）先化简，再求值： ，其
中 ．
【变式训练】
1．（2023春·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）先化简，后求值： ，
其中 ， ．
2．（2023春·安徽宣城·七年级校考期中）先化简，再求值：
，其中 ， ．
3．（2023春·河南郑州·七年级校联考阶段练习）先化简，再求值： ，
其中a，b满足 ．
4．（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）先化简，再求值
(1) ，其中 ， ．
(2) ，其中 ．
5．（2023春·山东枣庄·七年级统考阶段练习）先化简，再求值：(1) ，其中
(2) ，其中 ．
【考点四 利用乘法公式进行简便运算】
例题：（2023春·广西北海·七年级统考期中）用简便方法计算：
(1)
(2)
【变式训练】
1．（2023春·北京海淀·七年级校考期末）用简便方法计算： ．
2．（2023春·江苏常州·七年级统考期中）用简便方法计算：
(1)
(2)
3．（2023春·四川成都·七年级校考阶段练习）用简便方法计算．
(1)
(2)
(3) ；
(4) ．【考点五 利用乘法公式的变式求值】
例题：（2023春·湖南怀化·七年级校考期中）已知： ， ．
(1)求 ；
(2)求 ．
【变式训练】
1．（2021春·广东深圳·七年级校考期中）已知： ， ，求下列代数式的值：
(1) ；
(2) ．
2．（2023春·安徽安庆·八年级安庆市石化第一中学校考期末）已知 ， ，求下列代数式
的值．
(1) ；
(2) ．
3．（2023春·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习）已知 ， ，求：
(1)
(2)【考点六 利用完全平方配方求多项式最小/大值问题】
例题：（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）阅读材料：数学课上，老师在求代数式 的最小值时，
利用公式： ，对式子作如下变形： ，
因为 ，所以 ，
当 时， ，
因此 有最小值 ，即 的最小值为 ．
通过阅读，解下列问题：
(1)代数式 的最小值为___________，此时 的值为___________
(2)试比较代数式 与 的大小，并说明理由．
【变式训练】
1．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式
或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中
的隐含条件，是解题的有力手段之一．
例如，求代数式 的最小值．
解：原式 ．
， ． 当 时， 的最小值是 ．
(1)请仿照上面的方法求代数式 的最小值．(2)代数式 的最大值为______．
2．（2023春·浙江·七年级统考期末）在学习了乘法公式“ ”的应用后，王老师提出
问题：求代数式 的最小值．同学们经过探究、合作、交流，最后得到如下的解法：
解： ，
∵ ，∴ ，
当 时， 的值最小，最小值为1．
∴ 的最小值是1，
请你根据上述方法，解答下列问题：
(1)求代数式 的最小值；
(2)求代数式 的最小值；
(3)若 ，求 的最小值．
3．（2023春·广东茂名·七年级统考期末）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的
非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广
泛的应用.如利用配方法求最小值，求 的最小值．
解： ，因为不论a取何值， 总是非负数，即 ．
所以 ，所以当 时， 有最小值 ．
根据上述材料，解答下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： _____________；
(2)将 变形为 的形式，并求出 的最小值；
(3)若代数式 ，试求N的最大值．
【考点七 平方差公式在几何图形中的应用】
例题：（2023春·广东揭阳·七年级统考期中）长为 的正方形中剪掉一个边长为 的正方形（如图 ），然
后将剩余部分拼成一个长方形（如图 ）
(1)上述操作能验证的等式是___________（请选择正确的一个）
A．
B．
C．
(2)应用你从（ ）选出的等式，完成下面习题：
①已知 ， ，求 的值；
②计算【变式训练】
1．（2023秋·河北邢台·八年级校联考期末）乘法公式的探究及应用．
【探究】（1）将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的长方形，通过比较图1、图2阴影部
分的面积，可以得到整式乘法公式_________；
【应用】（2）运用你所得到的乘法公式，完成下列齐题：
①若 ， ，求 的值；
②计算： ．
【拓展】（3）计算： ．
2．（2023春·广东河源·七年级统考期末）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，
将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．
(1)请你表示出图①中阴影部分的面积_________________________；
请你表示出图②中阴影部分的面积_________________________；
(2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_________________________；(3)请应用公式计算： ．
3．（2023春·山东潍坊·七年级校联考阶段练习）如图，在边长为 的正方形中挖去一个边长为 的小正方
形 ，把余下的部分剪拼成一个矩形．
(1)通过计算两个图形的面积 阴影部分的面积 ，可以验证的等式是______ ； 请选择正确的一个
A.
B.
C.
D.
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知 ， ，求 的值．
②计算：
【考点八 完全平方公式在几何图形中的应用】
例题：（2023春·浙江绍兴·七年级校联考期中）图1是一个长为 、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)观察图2，请你写出下列三个代数式 ， ， 之间的等量关系为________________．
(2)运用你所得到的公式，计算：若 为实数，且 ， ，试求 的值．
(3)如图3，点C是线段 上的一点，以 为边向两边作正方形，设 ，两正方形的面积和
，求图中阴影部分面积．
【变式训练】
1．（2022秋·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考期中）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中
虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)图②中阴影部分的正方形的边长是 ；
(2)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1： ；方法2： ；
(3)观察图②，请写出代数式 ， ， 之间的等量关系： ．
(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：已知： ， ，求： 的值；2．（2023春·山东潍坊·七年级统考期末）图1是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀
平均裁成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．
(1)图2中的阴影部分正方形的边长是 （用含a，b的代数式表示）；
(2)观察图1，图2，能验证的等式是： （请选择正确的一个）；
A．
B．
C．
(3)如图3，C是线段 上的一点，以 为边向上分别作正方形 和正方形 ，连结 ．
若 ，求 的面积．
3．（2023春·山东烟台·六年级统考期中）如图1是长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成
四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于多少？___________．(2)观察图2，请你写出 、 、 之间的等量关系是___________；
(3)若 ， ，求 的值；
(4)拓展：若 ，求 的值．
