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热点 2-4 导数的切线问题
导数的切线问题一直是高考数学的中重点内容，从近几年的高考情况来看，今年高考依旧会涉及导数的运
算及几何意义，以选择填空题的形式考察导数的意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为
解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档。
【题型1 “在”点P处的切线问题】
满分技巧
求曲线“在”某点处的切线方程步骤
x , f x f(x )
第一步（求斜率）：求出曲线在点 0 0 处切线的斜率 0
y f(x ) f(x )(xx )
第二步（写方程）：用点斜式 0 0 0
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
【例1】（2023·广东肇庆·高三校考阶段练习）曲线 在 处的切线方程为 .
【变式1-1】（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）已知函数 ，则曲线 在
处的切线方程为 .
【变式1-2】（2023·四川雅安·统考一模）若点 是函数 图象上任意一点，直线 为点
处的切线，则直线 倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知曲线 在点 处的切线与曲线相切，则 .
【题型2 “过”点P处的切线问题】
满分技巧
求曲线“过”某点处的切线方程步骤
Q x , f x
第一步：设切点为 0 0 ；
y f(x) x f(x )
第二步：求出函数 在点 0处的导数 0 ；
f(x )k x f(x )
第三步：利用Q在曲线上和 0 PQ，解出 0及 0 ；
y f(x ) f(x )(xx )
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为 0 0 0 ．
【例2】（2023·全国·模拟预测）过原点可以作曲线 的两条切线，则这两条切线方程为
（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【变式2-1】（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）已知函数 ，且 为曲线
的一条切线，则 ．
【变式2-2】（2023·河南周口·高三校联考阶段练习）已知 ，直线 与曲线
相切，则 ．
【变式2-3】（2023·陕西·校联考模拟预测）函数 的图象与直线 相切，则以下错误的是（
）
A．若 ，则 B．若 ，则 C． D．
【题型3 切线的平行、垂直问题】
满分技巧
结合平行垂直的斜率关系解决与切线平行、垂直的问题。
【例3】（2023·广东茂名·统考二模）已知曲线 在 处的切线与 在
处的切线平行，则 的值为 .【变式3-1】（2023·青海·校联考模拟预测）已知函数 的图象在 处的切线与直线
垂直，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【变式3-2】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若曲线 存在垂直于 轴
的切线，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若曲线 在点
处的切线与直线 平行，求出这条切线的方程.
【题型4 切线的条数问题】
满分技巧
已知
f (x)，过点
，可作曲线的 （ ）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率 ；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程： .
第四步：将 代入切线方程，得： ，整理成关于 得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于 的方程就有几个实数解；
【例4】（2023·湖南·校联考二模）若经过点 可以且仅可以作曲线 的一条切线，则下列选项正
确的是（ ）
A． B． C． D． 或
【变式4-1】（2023·全国·模拟预测）若曲线 有两条过点 的切线，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）若曲线 有3条过坐标原点的切线，则实数a的取值
范围为 .【变式4-3】（2023·广东深圳·高三珠海市第一中学校联考阶段练习）已知函数 ，过点
作 的切线 ，若 （ ），则直线 的条数为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 两条曲线的公切线问题】
满分技巧
已知
f (x)和
存在 （ ）条公切线问题
第一步：求公切线的斜率，设f (x)的切点 ，设 的切点 ；
第二步：求公切线的斜率 与 ；
第三步：写出并整理切线
（1） 整理得：
（2） 整理得：
第四步：联立已知条件
消去 得到关于 的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；
消去 得到关于 的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；
【例5】（2023·湖北荆州·高三荆州中学校考阶段练习）若曲线 与曲线 有公切
线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·广东广州·高三铁一中学校考阶段练习）若函数 与函数 的图象存
在公切线，则实数t的取值范围为 .
【变式5-2】（2023·辽宁营口·高三校考阶段练习）已知直线 与 是曲线
的两条切线，则 ．
【变式5-3】（2023·江西·高三校联考阶段练习）若函数 与 ， 有公
共点，且在公共点处的切线方程相同，则 的最小值为 .【题型6 与切线有关的距离最值】
满分技巧
利用平行线间距离最短的原理，找寻与已知直线平行的曲线的切线。
【例6】（2023·广西玉林·校联考模拟预测）已知点P是曲线 上的一点，则点P到直线 的
最小距离为 ．
【变式6-1】（2023·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数 ，直线 ．若A，
B分别是曲线 和直线l上的动点，则 的最小值是
【变式6-2】（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知点P在函数 的图象上，点Q
在函数 的图象上，则 的最小值为 .
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，记
，则 的最小值为 ．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·云南红河·统考一模）已知函数 的图象在点 处的切线经过点 ，则实
数m的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2023·重庆·高三统考阶段练习）设曲线 在 处的切线为 ，若 的倾斜角小于 ，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知函数 ，过原点作曲线 的切线 ，则切
点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．4．（2023·福建莆田·高三莆田第二十五中学校考阶段练习）已知函数 的图象有两条与直线
平行的切线，且切点坐标分别为 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·四川凉山·统考一模）函数 在区间 的图象上存在两条相互垂直的切线，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）已知曲线 在 处的切线与直线
垂直，则 的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
7．（2023·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）若过点 可以作三条直线与曲线 ：
相切，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）若函数 与函数 的图象在公共点处有相同
的切线，则实数 （ ）
A． B． C． D．
9．（2023·广东·校联考二模）（多选）已知函数 的图象在点 处的切线为 ，
则（ ）
A． 的斜率的最小值为 B． 的斜率的最小值为
C． 的方程为 D． 的方程为
10．（2023·全国·模拟预测）（多选）若 的图象在 处的切线分别为 ，且
，则（ ）
A． B． 的最小值为2
C． 在 轴上的截距之差为2 D． 在 轴上的截距之积可能为
11．（2023·河北石家庄·高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习）曲线 在点 处的
切线方程为 ．
12．（2023·全国·模拟预测）函数 的图象在点 处的切线与直线 垂直，
则实数 ．
13．（2023·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）设函数 的图象在点
处的切线为 ，则 的斜率的最小值为 ，此时 .
14．（2023·全国·模拟预测）试写出曲线 与曲线 的一条公切线方程 .15．（2023·江苏淮安·高三淮阴中学校联考阶段练习）已知函数 ， .
（1）求 的单调区间；
（2）当 时， 与 有公切线，求实数 的取值范围.
16．（2023·河南南阳·高三统考期中）已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）若过点 作直线与函数 的图象相切，判断切线的条数.
