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热点 3-2 三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质是高考的热点，函数 的图象变换以及三角函数的周期性、对称性、
单调性之间逻辑关系则是重心。随着新高考改革的推进，更加注重对以周期性为核心的三大性质之间的逻
辑关系的考查，要求考生能用几何直观和代数运算来研究三角函数。高考中的相关试题多以选择题、填空
题的形式考查，难度中等或偏下。
【题型1 三角函数的识图问题】
满分技巧
图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选”
（1）求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）；
（2）判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）；
（3）找特殊值：** 错误的表达式 **对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；** 错误的表达式 **对比
各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）；
（4）判断单调性：可取特殊值判断单调性.
【例1】（2024·湖南长沙·统考一模）下图是函数 的部分图象，则该函数的解析式可以是
（ ）
A． B． C． D．【变式1-1】（2024·天津宁河·高三统考期末）函数 在区间 上的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·陕西宝鸡·统考一模）函数 的部分图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2024·河北廊坊·高三文安县第一中学校联考期末）现有四个函数：① ；② ；
③ ；④ 的图象（部分）如图，则按照从左到如图像对应的函数序号正确的一组是（
）
A．①③②④ B．①④③② C．③①②④ D．③①④②
【变式1-4】（2023·福建泉州·高三校考阶段练习）函数 的图象大致为（
）
A． B． C． D．【题型2 由三角函数的图象求解析式】
满分技巧
已知 的部分图象求其解析式时， 比较容易看图得出，困难的是求
待定系数 和 ，常用如下两种方法：
（1）由 即可求出 ；确定 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横
坐标 ，则令 （或 ），即可求出 ；
（2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或“零点”）坐标代入解析式，再结合图形解出
和 ，若对 ， 的符号或对 的范围有要求，可用诱导公式变换使其符合要求。
【例2】（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数 的部分图象如
图所示，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·四川攀枝花·统考二模）函数 的部分图象如图
所示，则将 的图象向右平移 个单位长度后，得到的函数图象解析式为（ ）
A． B． C． D．【变式2-2】（2024·广东广州·华南师大附中校考一模）函数 的部分
图像如图所示，则 ， 的值分别是（ ）
A．2， B．2， C．2， D．4，
【变式2-3】（2024·辽宁沈阳·高三沈阳实验中学校联考期末）函数
的部分图象如图，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【变式2-4】（2024·河南信阳·统考二模）（多选）已知函数 的图象如图所示， ，
是直线 与曲线 的两个交点，且 ，则下列选项正确的是（ ）
A． 的值为3 B． 的值为2 C． 的值可以为 D． 的值可以为
【题型3 三角函数的图象变换问题】
满分技巧
函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换：
（1）A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；（2）ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；
（3）φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换．
图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．
【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少
值；
（2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同。
【例3】（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考一模）为了得到函数 的图象，只需把函数
的图象上所有的点的（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变
【变式3-1】（2024·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）将函数 的图象向右平移
个单位长度，得到函数 的图象，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·福建·高三校联考期末）已知函数 ，要得到函数
的图象，只需将 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【变式3-3】（2024·天津和平·高三统考期末）已知函数 ，函数 图象的一条对称轴
与一个对称中心的最小距离为 ，将 图象上所有的点向左平移 个单位长度，再将所得图象上所有
点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（ ）
A． B．
C． D．【变式3-4】（2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）要得到函数 的图象，可以
将函数 的图象（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
【题型4 三角函数的单调性及应用】
满分技巧
1、求三角函数单调区间的2种方法
（1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数
的单调性列不等式求解；
（2）图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间
求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．
2、已知单调区间求参数范围的3种方法
（1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子
集，列不等式(组)求解；
（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解。
【例4】（2023·北京海淀·高三北大附中校考阶段练习）已知函数 ，则（ ）
A． 在 单调递减 B． 在 单调递增
C． 在 单调递减 D． 在 单调递增
【变式4-1】（2024·浙江温州·温州中学校考一模）已知函数 ，其中 .若 在
区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·山东威海·高三统考期末）已知函数 在 上是增函数，则 的取值范围是 .
【变式4-3】（2024·广东·高三广东实验中学校联考期末）已知函数 的最小正周
期为 ，且 在 上单调递减，在 上单调递增，则实数 的取值范围是 .
【变式4-4】（2024·湖南邵阳·统考一模）已知函数 在 上单调递增，在
上单调递减，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 三角函数的周期性及应用】
满分技巧
周期的计算公式：
2
T
y Asin(x),y Acos(x) (0)
函数 的周期为 ，
T
y Atan(x) (0)
函数 的周期为 求解.
【例5】（2023·河南周口·高三校联考阶段练习）下列函数中，以 为周期的函数是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·重庆·重庆市石柱中学校校联考一模）函数 的最小正周
期为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）函数 的最小正周期为
.【变式5-3】（2024·广东汕头·金山中学校考模拟预测）“ 的最小正周期为 ”是“ ”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式5-4】（2024·山东德州·高三统考期末）设函数 在 的图象大致如图，
则 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 三角函数的奇偶性及应用】
满分技巧
与三角函数奇偶性相关的结论
三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan
ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有：
（1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
（2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．
（3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
【例6】（2023·陕西西安·统考一模）已知函数 ，则“ ”是“ 为奇函数”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式6-1】（2024·河南·模拟预测）已知函数 ，则“ ， ”是“ 为
偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式6-2】（2024·广东广州·广州六中校考三模）若函数 为奇函数，则
（ ）
A． B． C． D．【变式6-3】（2024·河南周口·高三统考阶段练习）已知函数 为偶函数，则 （
）
A．－2 B．－1 C．0 D．2
【变式6-4】（2023·广东广州·高三统考阶段练习）若 为奇函数，则实数 （
）
A． B． C． D．
【变式6-5】（2023·北京海淀·高三专题练习）函数 ，则（ ）
A．若 ，则 为奇函数 B．若 ，则 为偶函数
C．若 ，则 为偶函数 D．若 ，则 为奇函数
【题型7 三角函数的对称性及应用】
满分技巧
三角函数对称性问题的2种求解方法
1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x
轴的交点，即函数的零点；
2、公式法：
（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为；
（2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为；
（3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z
【例7】（2024·重庆·高三统考期末）（多选）下列函数中，其图象关于点 对称的是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2024·山东菏泽·高三山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）“函数 的图象关于
对称”是“ ， ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式7-2】（2024·山东青岛·高三青岛二中校考期末）已知函数 的图像
关于原点中心对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知 是函数 的
一条对称轴，且 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
【变式7-4】（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）若函数 的图象在
内有且仅有两条对称轴，一个对称中心，则实数 的最大值是 ．
【题型8 三角函数的最值问题】
满分技巧
三角函数值域或最值的3种求法
1、直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出；
2、化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范
围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)；
3、换元法：
（1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
（2）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函
数求值域(最值)
【例8】（2022·河南·高三校联考专题练习）函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2024·江苏苏州·高三统考期末）已知函数 的最小正周期为 ，
则 在区间 上的最大值为（ ）A． B．1 C． D．2
【变式8-2】（2024·广东广州·广东实验中学校考模拟预测）（多选）对于下列四种说法，其中正确的是（
）
A． 的最小值为4 B． 的最小值为1
C． 的最小值为4 D． 最小值为
【变式8-3】（2024·江西赣州·高三南康中学校联考期末）已知函数 在区间 上
有且只有一个最大值和一个最小值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-4】（2024·湖北武汉·高三统考期末）已知函数 ， ，若函数 在
上存在最大值，但不存在最小值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型9 三角函数零点综合】
【例9】（2024·全国·模拟预测）函数 与函数 的图象所有交点的横坐标
之和为 ．
【变式9-1】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 在 上有两个零
点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2024·浙江宁波·高三统考期末）将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象.若 在 上恰有三个不同的零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（2023·甘肃天水·高三校联考阶段练习）已知函数 （其中 ）在区间
上恰有4个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-4】（2024·辽宁·高三校联考期末）（多选）已知函数 恰
有5个零点，则 的值可能为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【题型10 三角函数图象性质综合】
【例10】（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）（多选）已知函数 的部分
图像如图所示，则（ ）
A． 在 上单调递增 B． 在 上有4个零点
C． D．将 的图象向右平移 个单位，可得 的图象
【变式10-1】（2024·吉林长春·高三长春吉大附中实验学校校考期末）已知函数 （其
中 ， ， ）的部分图象如图所示，将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数
的图象．（1）求 与 的解析式；
（2）令 ，求 在区间 内的所有实数解的和．
【变式10-2】（2023·安徽·高三校联考阶段练习）函数 的部分图象
如图所示.
（1）求函数 的解析式；
（2）将函数 的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐
标不变，得到函数 的图象，求函数 在 上的值域.
【变式10-3】（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）已知函数
的最小值为 ，其图象上的相邻两条对称轴之间的距离为 ，且
图象关于点 对称．
（1）求函数 的解析式和单调递增区间；
（2）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【变式10-4】（2024·吉林白城·高三校考阶段练习）已知函数
为奇函数，且 图象的相邻两条对称轴间的距离为 .
（1）求 的解析式与单调递减区间；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数
的图象，当 时，求方程 的所有根的和.
（建议用时：60分钟）
1．（2023·北京延庆·高三北京市延庆区第一中学校考阶段练习）设函数 ，则下列结论正确
的是（ )
A． 的最小正周期为 B． 的图象关于直线 对称
C． 的一个零点为 D． 的图象可以由 图像左移 得到
2．（2022·全国·高三校联考专题练习）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）函数 在
上的值域为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·云南昭通·统考模拟预测）函数 向左平移 个单位 得到 ，若
是偶函数，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023·青海·高三校联考阶段练习）将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函
数 的图象，若直线 是 图象的一条对称轴，则 的值可能为（ ）A． B． C． D．
6．（2023·福建福州·高三校联考期中）函数 的两个零点分别为 ，且 ，在
上 仅有两条对称轴，则 可以是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·河北石家庄·高三校考阶段练习）已知函数 满足
，且在 上单调，则 的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．4
8．（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）设函数 若存在
且 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·湖南·高三湖南省祁东县第一中学校联考阶段练习）若函数 在区间
上恰有两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·江苏南京·高三期末）已知函数 在区间 上恰有两个最大值，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·广西·高三南宁三中校联考阶段练习）（多选）已知函数 ，则下列说法正确
的是（ ）
A． 的最小正周期为 B． 在区间 上单调递减
C． 是函数 图象的一条对称轴 D． 的图象关于点 对称
12．（2023·山东青岛·高三莱西市第一中学校联考期中）（多选）设函数 ，则（ ）
A． 为奇函数 B． 的最小正周期为
C． 存在零点 D． 存在极值点13．（2023·安徽安庆·高三怀宁县新安中学校考期中）（多选）已知 ，下列结论中正确
的有（ ）
A． 既是奇函数也是周期函数 B． 的最大值为
C． 的图象关于直线 对称 D． 的图象关于点 中心对称
14．（2023·安徽·高三校联考期末）（多选）已知函数 的部分图象如图
所示，则（ ）
A． B． 在 上单调递增
C． 的图象关于直线 对称 D． 为偶函数
15．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数 图象的相邻两条对称轴
之间的距离为 ，且关于点 对称，则 的值为 ．
16．（2024·山东临沂·高三统考期末）设函数 在区间 上的最大值为 ，最小值
为 ，则 的最小值为 ．
17．（2024·江苏常州·高三校考期末）将余弦函数 的图象上所有点的纵坐标伸长到顶原来的
倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象.若关于x的方程
在 内有两个不同的解，则实数m的取值范围为 ．
18．（2023·北京东城·高三北京五十五中校考阶段练习）已知函数
的部分图象如图所示．（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 的单调递增区间；
（3）求函数 的最大值与最小值．
19．（2023·河南·高三校联考期中）设 ， ，已知函数 的图象在区间
内恰有4条对称轴，且函数 为偶函数．
（1）求 的值以及 的取值范围；
（2）当 取得最大值时，将 的图象上所有点的横坐标缩小为原来的 ，再将所得图象向右平移
个单位长度，得到函数 的图象，求函数 在区间 上的值域．
20．（2023·福建泉州·高三校考阶段练习）已知点 ， 是函数
图象上的任意两点， ，且当 时，
的最小值为 .
（1）求 的解析式；
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
