文档内容
专题14 一元一次方程与实际问题分类型讲练（解析版）
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 产品配套问题
典例1 某车间有工人660名，生产一种由一个螺栓和两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓 14个
或螺母20个．如果你是这个车间的车间主任，你应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生
产出的螺栓和螺母刚好配套？
【思路引领】找出等量关系为：生产的螺栓数×2＝生产的螺母数，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：设x人生产螺栓，（660﹣x）人生产螺母，
14x×2＝（660﹣x）×20，
解得x＝275，
∴660﹣x＝385．
答：385人生产螺母，275人生产螺栓．
【总结提升】考查一元一次方程的应用，得到螺栓数和螺母数的等量关系是解决本题的关键．
针对训练1
1．（2021秋•香坊区校级期中）一套仪器由一个A部件和三个B部件构成，用1立方米钢材可做40个A
部件或240个B部件．现要用6立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材制作A部件，才能使生产的
A、B刚好配套？恰好配成这种仪器多少套？
【思路引领】设用x立方米钢材制作A部件，则用（6﹣x）立方米钢材制作B部件，制作的B部件的总
数是制作的A部件的总数的3倍，列方程求出x的值并计算出配成的套数即可．
【解答】解：设用x立方米钢材制作A部件，
根据题意得3×40x＝240（6﹣x），
解得x＝4，
∴40×4＝160（套），
答：应用4立方米钢材制作A部件，恰好配成这种仪器160套．
【总结提升】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地列代数式表示
制作A部件和B部件的个数是解题的关键．
类型二 工程问题
典例2（2021秋•惠城区校级期末）一项道路工程，甲队单独施工8天完成，乙队单独施工12天完成，现
在甲、乙两队共同施工4天，由于甲队另有任务，剩下的工程由乙队完成，问乙队还需几天才能完成？【思路引领】首先设乙队还需x天才能完成，由题意可得等量关系：甲队干4天的工作量+乙队干
（x+4）天的工作量＝1，根据等量关系列出方程，再解方程即可．
【解答】解：设乙队还需x天才能完成，由题意得：
1 1
×4+ （4+x）＝1，
8 12
解得：x＝2．
答：乙队还需2天才能完成．
【总结提升】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列
出方程．
针对训练
1．（2021秋•楚雄州期末）甲、乙两队修一座桥，如果由甲队单独完成，需要 15天；如果由乙队单独完
成，需要30天．现在由甲队单独做了3天后，承办方接到通知，需要加快修桥进度，后续工程由甲、
乙两队共同完成，则甲、乙两队后续需要合作多少天才能修完这座桥？
【思路引领】利用甲队单独完成需要15天，乙队单独完成需要30天，可得出每天完成的工作量份数，
进而利用总工作量为1得出等式求出答案．
【解答】解：设甲、乙两队合作完成还需要的天数是x，根据题意可得：
1 1 1
×3+（ + ）x＝1．
15 15 30
解得：x＝8．
答：甲、乙两队后续需要合作8天才能修完这座桥．
【总结提升】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意利用总共量为“1”得出方程是解题关键．
类型三 销售问题
典例3 （2023•青岛四模）某种商品A的零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折
优惠后，再让利40元销售，仍可获利10%，
①这种商品A的进价为多少元？
②现有另一种商品B进价为600元，每件商品B也可获利10%．对商品A和B共进货100件，要使这
100件商品共获纯利6670元，则需对商品A、B分别进货多少件？
【思路引领】①首先设进价为每件a元，根据题意可得等量关系：（1+利润率）×进价＝原售价×打折
﹣让利，代入相应数值列出方程，解方程即可；
②设需对商品A进货x件，需对商品B进货y件，根据“商品A和B共进货100件、这100件商品共获
纯利6670元”列方程组求解可得．【解答】解：①设这种商品A的进价为每件a元，由题意得：
（1+10%）a＝900×90%﹣40，
解得：a＝700，
答：这种商品A的进价为700元；
②设需对商品A进货x件，需对商品B进货y件，
{ x+ y=100 )
根据题意，得： ，
700×10%x+600×10% y=6670
{x=67)
解得： ，
y=33
答：需对商品A进货67件，需对商品B进货33件．
【总结提升】本题主要考查一元一次方程和二元一次方程组的实际应用，理解题意抓准相等关系并列出
方程是解题的关键．
针对训练
1．（2022秋•扶沟县校级月考）某水果店购进甲、乙两种水果共130千克，甲种水果15元/千克，乙种水
果20元/千克，共花费2000元．
（1）求该店购进甲、乙两种水果分别多少千克？
（2）该店甲种水果售价为20元/千克，乙种水果售价是26元/千克，在甲种水果出售55千克、乙种水
果全部售完后，商店决定对甲水果打折处理，在售完全部水果后，获得的总利润为400元，问甲种水果
打几折？
【思路引领】（1）设甲种水果为x千克，则乙种水果为（130﹣x）千克，由甲种水果的费用加上乙种
水果的费用等于2000元，再列方程即可；
（2）设甲种水果打y折，由销售甲的利润加上销售乙的利润等于400，再列方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设甲种水果为x千克，则乙种水果为（130﹣x）千克，
∴15x+20（130﹣x）＝2000，
整理得：5x＝600，
解得：x＝120，
∴130﹣x＝10，
答：甲种水果为120千克，则乙种水果为10千克．
y
（2）设甲种水果打y折，则55×(20−15)+(120−55)(20× −15)+10(26−20)=400，
10
整理得：130y＝65+65×15，解得：y＝8，
答：甲种水果打8折．
【总结提升】本题考查的是一元一次方程的应用，确定相等关系，列出方程是解本题的关键．
类型四 积分问题
典例4（2023春•桐柏县期中）下表是某次篮球联赛积分榜的一部分（无平局）：
（1）根据积分榜，你知道胜一场、负一场各积多少分吗？为什么？
（2）联赛中还有一支队伍，领队电话向组委会汇报，说他的队伍在比赛中获得胜场和负场的积分一样
请你判断该领队的说法是否成立，并说明理由．
球队 比赛场次 胜场 负场 积分
飞龙 14 10 4 24
猎豹 14 9 5 23
小牛 14 7 7 21
猛虎 14 0 14 14
… … … … …
备注：积分＝胜场积分+负场积分
【思路引领】（1）先根据猛虎队得知负一场积1分，再根据小牛队的积分列方程求解；
（2）假设成立，列方程求解．
【解答】解：（1）由猛虎队的积分知，负一场积1分，
设胜一场积x分，
则：7x+7＝21，
解得：x＝2，
答：胜一场积2分，负一场积1分；
（2）不成立，设该队胜了m场，则该队负了（14﹣m）场，
则2m＝（14﹣m）×1，
14
解得m= ，
3
因为m必须是整数，
所以该队长说法不成立．
【总结提升】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
针对训练
1．在一次有12个队参加的足球循环赛（每两队之间必须比赛一场）中，规定胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某队在这次循环赛中所胜场数比所负场多两场，结果积 18分，问该队战平几场？
设该队所负场数x场，则所胜场数为 x + 2 场，平 9 ﹣ 2 x 场，根据题意解方程为 3 （ x + 2 ） + （ 9 ﹣
2 x ）＝ 18 ．
【思路引领】本题是12个队进行单循环赛，每个队都要与除了它自己之外的11个队赛一场，所以一个
队的比赛总场数为11．本题中有两个等量关系：胜的场数+平的场数+负的场数＝11；胜的积分+平的积
分＝18．
【解答】解：设所负场数为x场，则胜场数为（x+2）长，平场为11﹣x﹣（x+2）＝9﹣2x场，
根据题意得：3（x+2）+（9﹣2x）＝18，
故答案为：x+2，9﹣2x，3（x+2）+（9﹣2x）＝18；
【总结提升】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，题中隐含一个等量关系：12个队进
行单循环赛，每个队都要与除了它自己之外的 11个队赛一场，所以一个队的比赛总场数为11．需要知
道这个知识点．
类型五 电话计费问题
典例5 某市电话拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一：
（A）计时制：0.05元每分钟；
（B）包月制：60元每月（限一部个人住宅电话上网）；
此外，每一种上网方式都得加收通信费0.02元每分钟．
（1）某用户某月上网的时间为x小时，请分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；
（2）若某用户估计一个月内上网的时间为25小时，你认为采用哪种方式较为合算？
【思路引领】（1）首先统一时间单位，（A）计时制：每分钟（0.05+0.02）元×时间＝花费；（B）包
月制：60元+每分钟0.02元×时间＝花费；
（2）把x＝25代入（1）中的代数式计算出花费，进行比较即可．
【解答】解：（1）x小时＝60x分钟，
（A）计时制：（0.05+0.02）•60x＝0.07•60x＝4.2x，
（B）包月制：60+0.02•60x＝60+1.2x．
（2）A）计时制：4.2x＝4.2×25＝105（元），
（B）包月制：60+1.2x＝60+1.2×25＝90（元）．
∵90＜105，
∴用（B）方式较为合算．
【总结提升】此题主要考查了列代数式，并比较哪种花费便宜的问题，关键是弄清题意列出式子．
针对训练1．（2022秋•凤翔县期末）某商场销售一种西装和领带，西装每套定价 1000元，领带每条定价200元．
“国庆节”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一套西装送一条领带；
方案二：西装和领带都按定价的90%付款．
现某客户要到该商场购买西装20套，领带x条（x＞20）．
（1）若该客户按方案一购买，需付款 （ 20 0 x +1600 0 ） 元．（用含x的代数式表示）若该客户按方
案二购买，需付款 （ 18 0 x +1800 0 ） 元．（用含x的代数式表示）
（2）若x＝40，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当x＝40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法及费用．
【思路引领】（1）根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可；
（2）将x＝40代入求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方案更合算；
（3）根据题意考可以得到先按方案一购买20套西装获赠送20条领带，再按方案二购买20条领带更合
算．
【解答】解：（1）按方案一购买：20×1000+200×（x﹣20）＝200x+16000，
按方案二购买：（1000×20+200x）×0.9＝180x+18000；
（2）当x＝40时，
方案一：200×40+16000＝24000（元）
方案二：180×40+18000＝25200（元）
所以，按方案一购买较合算．
（3）先按方案一购买20套西装获赠送20条领带，再按方案二购买20条领带．
则20000+200×20×90%＝23600（元）．
【总结提升】本题考查了列代数式和求代数式的值的相关的题目，解题的关键是认真分析题目并正确的
列出代数式．
第二部分 同步演练，自我检测
夯实基础
1．（2020秋•湛江期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：令有
人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱，每人出7钱，会差3钱，问合伙人数：羊价各是多少？设合伙
人数为x，所列方程正确的是（ ）
A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3x+45 x+3 x−45 x−3
C． = D． =
5 7 5 7
【思路引领】设合伙人数为x人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程即可．
【解答】解：设合伙人数为x人，
依题意，得：5x+45＝7x+3．
故选：B．
【总结提升】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解
题的关键．
2．（2022秋•天河区校级期末）甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑4米，乙每秒跑6米，甲先跑10秒，乙开
始跑，设乙x秒后追上甲，依题意列方程得（ ）
A．6x＝4x B．6x＝4x+40 C．6x＝4x﹣40 D．4x+10＝6x
【思路引领】利用路程＝速度×时间，结合乙追上甲时两人跑的路程相等，即可得出关于x的一元一次
方程，此题得解．
【解答】解：依题意得4（x+10）＝6x，
即6x＝40x+40．
故选：B．
【总结提升】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解
题的关键．
3．（2021秋•楚雄州期末）某口罩生产车间有13名工人生产口罩面和耳绳，每人每天平均生产口罩面400
个或耳绳500根，一个口罩面要配两根耳绳．为了使每天的口罩刚好配套，应该分配 8 名工人生产
耳绳．
【思路引领】设应安排x名工人生产口罩面，（13﹣x）名工人生产耳绳，由于一个口罩面需要配两根
耳绳，所以每天生产的耳绳的个数是口罩面个数的2倍，根据这一相等关系列方程求出x的值即可．
【解答】解：设应安排x名工人生产口罩面，（13﹣x）名工人生产耳绳，
根据题意得2×400x＝500（13﹣x），
解得x＝5，
∴13﹣x＝13﹣5＝8，
即：应安排8名工人生产耳绳．
故答案为：8．
【总结提升】此题考查了列一元一次方程解应用题等知识与方法，设应安排x名工人生产口罩面，正确
地用含x的代数式表示生产的口罩面和耳绳的个数是解题的关键．4．（2022秋•东莞市月考）一艘轮船航行在A、B两码头之间，已知水流速度是3千米/小时，轮船顺水航
行需要5小时，逆水航行需要7小时，则A、B两码头之间的航程是 10 5 千米．
【思路引领】可根据船在静水中的速度来得到等量关系为：航程÷顺水时间﹣水流速度＝航程÷逆水时间
+水流速度，把相关数值代入即可求得航程．
【解答】解：设A、B两码头之间的航程是x千米．
x x
−3= +3，
5 7
解得x＝105，
故答案为105．
【总结提升】考查一元一次方程的应用；得到表示船在静水中的速度的等量关系是解决本题的关键．
5．（2021秋•安新县校级月考）一项工程，甲、乙两人合作需要8天完成任务，若甲单独做需要12天完
成任务．
（1）若甲、乙两人一起做6天，剩下的由甲单独做，还需要 3 天完成；
（2）若甲、乙两人一起做4天，剩下的由乙单独做，还需要 1 2 天完成．
【思路引领】（1）设甲单独做还需要x天完成，根据它们的总工作量是1列出方程．
（2）设乙单独做还需要y天完成，根据它们的总工作量是1列出方程．
【解答】解（1）设甲单独做还需要x天完成，
1 1
依题意得： ×6+ x＝1，
8 12
解得：x＝3．
答：还需要3天完成．
故答案为：3；
（2）设乙单独做还需要y天．
1 1 1
依题意得： ×4+（ − ）y＝1，
8 8 12
解得：y＝12．
答：还需要12天完成．
故答案为：12．
【总结提升】考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答．
6．（2022秋•道里区校级月考）2022年卡塔尔世界杯激战正酣，按照国际足联的规定，足球比赛胜一场得
3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在小组赛阶段共进行了3场比赛，保持不败，共积7分，则
该队胜了 2 场．【思路引领】设该队胜了x场，由于该队参加的3场比赛保持不败，所以平了（3﹣x）场，按积分规则
计算，该队的积分为（3x+3﹣x）分，可列方程3x+3﹣x＝7，解方程求出x的值即可．
【解答】解：设该队胜了x场，则平了（3﹣x）场，
根据题意得3x+3﹣x＝7，
解得x＝2，
所以，该队胜了2场，
故答案为：2．
【总结提升】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确理解比
赛的积分规则并且用代数式表示该队获得的积分总数是解题的关键．
7．（2021秋•平桂区 期末）某件商品的标价为300元，7折销售仍获利25%，则该件商品进价为 168
元．
【思路引领】设商品进价为x元，根据售价﹣进价＝利润列出方程解答即可．
【解答】解：设商品进价为x元，由题意得
300×0.7﹣x＝25%x，
解得：x＝168，
答：商品进价为168元，
故答案为：168．
【总结提升】本题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
能力提升
8．（2023•高青县一模）某物美超市同时卖出了两个进价不同的冰墩墩 A和B，售价均为90元，按成本计
算，超市人员发现冰墩墩A盈利了50%，而冰墩墩B却亏损了40%，则这次超市是（ ）
A．不赚不赔 B．赚了 C．赔了 D．无法判断
【思路引领】根据利润率＝利润÷成本，从而可求出相应的成本，即可求解．
【解答】解：设冰墩墩A的成本为x元，依题意得：
90−x
×100%=50%，
x
解得：x＝60，
经检验：x＝60是原方程的根，
设冰墩墩B的成本为y元，依题意得：
90−y
×100%=−40%，
y解得：y＝150，
经检验：y＝150是原方程的解，
90﹣60+（90﹣150）＝﹣30（元），
故这次超市赔了．
故选：C．
【总结提升】本题主要考查分式方程的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．
9．（2023秋•西湖区校级期中）有一列数按一定的规律排列为﹣1，3，﹣5，7，﹣9，11，……，如果其
中三个相邻的数之和为﹣99，那么这三个相邻数中间的数为 9 9 ．
【思路引领】根据题目中这列数的特点，可知这些数字是一些连续奇数，其中奇数个数字为负，偶数个
数字为正，然后根据其中三个相邻的数之和为﹣99，可以列出相应的方程，然后求解即可．
【解答】解：设中间数为x，
∵其中三个相邻的数之和为﹣99，
∴第一个数为﹣（x﹣2），第三个数为﹣（x+2），
∴﹣（x﹣2）+x+[﹣（x+2）]＝﹣99，
解得x＝99，
即这三个相邻数中间的数为99，
故答案为：99．
【总结提升】本题考查一元一次方程的应用、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，列出相应的
方程，发现数字的变化特点．
10．（2023秋•舞钢市期末）如图，小刚将一个正方形纸片剪去一个宽为5cm的长条后，再从剩下的长方
形纸片上剪去一个宽为6cm的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为
150 cm2．
【思路引领】设原来正方形纸的边长是xcm，则第一次剪下的长条的长是xcm，宽是5cm，第二次剪下
的长条的长是（x﹣5）cm，宽是6cm；然后根据第一次剪下的长条的面积＝第二次剪下的长条的面积，
列出方程，求出x的值是多少，即可求出每一个长条面积为多少．【解答】解：设原来正方形纸的边长是xcm，则第一次剪下的长条的长是xcm，宽是5cm，第二次剪下
的长条的长是（x﹣5）cm，宽是6cm，
由题意得：5x＝6（x﹣5），
解得：x＝30，
∴30×5＝150（cm2）．
故答案为：150．
【总结提升】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，找到等量关系，列出方程是解题的
关键．
11．（2022秋•漯河期末）为鼓励居民节约用电，某市试行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下：
档次 每户每月用电量（度） 执行电价（元/度）
第一档 小于或等于200 0.5
第二档 大于200且小于或等于450 0.7
时，超出200的部分
第三档 大于450时，超出450的部 1
分
（1）一户居民七月份用电300度，则需缴电费 17 0 元．
（2）某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、
六月份的用电量均小于450度，求该户居民五、六月份分别用电多少度？
【思路引领】（1）根据分段计费原则直接计算即可；
（2）设五月份用电为x度，则六月份用电为（500﹣x）分情况列方程求解即可．
【解答】解：（1）200×0.5+（300﹣200）×0.7＝170（元），
故答案为：170；
（2）设五月份用电为x度，则六月份用电为（500﹣x），
当x≤200时，
根据题意得0.5x+200×0.5+（500﹣x﹣200）×0.7＝290，
解得x＝100，
则500﹣x＝400，
∴五月份用电100度，六月份用电400度；
当200＜x＜250时，
根据题意得200×0.5+（x﹣200）×0.7+200×0.5+（500﹣x﹣200）×0.7＝290，
此时无解舍去，
综上，五月用电为100度六月份用电400度．【总结提升】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．
12．（2021春•铜梁区期末）一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和
为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“和平数”．
例如：1423，x＝1+4，y＝2+3，因为x＝y，所以1423是“和平数”．
（1）请判断：2561 是 （填“是”或“不是”）“和平数”．
（2）直接写出：最小的“和平数”是 100 1 ，最大的“和平数”是 999 9 ；
（3）如果一个“和平数”的个位上的数字是千位上的数字的两倍，且百位上的数字与十位上的数字之
和是14的倍数，求满足条件的所有“和平数”．
【思路引领】（1）根据“和平数”的定义计算x和y的值，即可得到结论；
（2）根据题意可得结论；
（3）设这个“和平数”为 abcd，于是得到d＝2a，a+b＝c+d，b+c＝14k，求得2c+a＝14k，即得a和
d的可能的值，分情况讨论：得到结论，注意每个数位上的数都是一位整数．
【解答】解：（1）∵x＝2+5＝7，y＝6＝7
∴x＝y
∴2561是“和平数”
故答案为：是；
（2）由题意得，最小的“和平数”是1001，最大的“和平数”是9999，
故答案为：1001，9999；
（3）设这个“和平数”为abcd，
则d＝2a，a+b＝c+d，b+c＝14k，
∴2c+a＝14k，
即a＝2、4，6，8，10，12，d＝4、8、12（舍去）、16（舍去），20（舍去）、24（舍去），
①当a＝2，d＝4时，2（c+1）＝14k，
可知c+1＝7k且a+b＝c+d，
∴c＝6，b＝8，
②当a＝4，d＝8时，
2（c+2）＝12k，
可知c+2＝7k且a+b＝c+d，
∴c＝5，b＝9，
综上所述，这个数为2864和4958．
【总结提升】本题考查了因式分解的应用，正确的理解新概念“和平数”是解题的关键，并注意数位上数字的特点．
