文档内容
专题14 中心对称重难点题型专训（8大题型）
【题型目录】
题型一 中心对称
题型二 根据中心对称的性质求面积、长度、角度
题型三 中心对称图形
题型四 中心对称图形的规律问题
题型五 求关于原点对称的点的坐标
题型六 已知两点关于原点对称求参数
题型七 中心对称图形的画法
题型八 中心对称综合应用
【知识梳理】
【经典例题一 中心对称】
1．（2022秋·上海·七年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．能够互相重合的两个图形成轴对称
B．图形的平移运动由移动的方向决定
C．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为120°，那么它不是中心对称图形
D．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180°，那么它是中心对称图形
2．（2020春·七年级课时练习）对于图形的全等，下列叙述不正确的是（ ）
A．一个图形经过旋转后得到的图形，与原来的图形全等
B．一个图形经过中心对称后得到的图形，与原来的图形全等
C．一个图形放大后得到的图形，与原来的图形全等
D．一个图形经过轴对称后得到的图形，与原来的图形全等
3．（2022秋·黑龙江绥化·九年级校考期中）求直线 关于点 成中心对称的直线的解析式
．
4．（2023秋·九年级课时练习）如图所示，已知 与 关于点 中心对称，过 任作直线 分别
交 ， 于点 ， ，下面的结论：
①点 和点 ，点 和点 是关于中心 的对称点；②直线 必经过点 ；③四边形 与四边形
的面积相等；④ 与 成中心对称．
其中正确的是 ．5．（2023秋·贵州六盘水·九年级统考阶段练习）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，
点 均为格点：
(1)画出 绕点 顺时针旋转 后得到的图形；
(2)求网格图中所得四边形的周长．
【经典例题二 根据直线对称的性质求面积、长度、角度】
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若 ， ，
，则 长为（ ）
A．4 B． C． D．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 中， ， ， ．作出
共于点A成中心对称的 ，其中点B对应点为 ，点C对应点为 ，则四边形 的面积是
（ ）A．128 B． C．64 D．
3．（2023秋·九年级课时练习）如图，已知 ， ， ， 与 关于点 成中心
对称，则 的长是 ．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在等腰直角三角形 中， ， ，点 是直角
边 的中点．若这个三角形关于点O成中心对称的图形，则点B与它关于点O的对称点 的距离是
．
5．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）如图，在 中， ，点 为边
的中点，动点 从点 出发，沿着 以每秒 的速度向点 运动，点 与点 关于点 成中心
对称．设点 运动的时间为 秒．(1) 的度数为______度；
(2)当点 在 的角平分线上时，求线段 的长；
(3)连结 ．
①当四边形 是菱形时，求菱形 的面积；
②直接写出 时 的值．
【经典例题三 中心对称图形】
1．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，在矩形 中， ， 与 相交于点O，下列说
法正确的是（ ）
A．点O为矩形 的对称中心 B．点O为线段 的对称中心
C．直线 为矩形 的对称轴 D．直线 为线段 的对称轴
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在四边形 中， ， ，对角线 与 交
于点 ，点 是 的中点，连接 ， 的周长为 ，则下列结论错误的是（ ）
A．B．四边形 是中心对称图形
C． 的周长等于3cm
D．若 ，则四边形 是轴对称图形
3．（2023春·全国·八年级专题练习）函数 的图像如图所示，下列对该函数性质的论断正确的是
（1）该函数的图像是中心对称图形；
（2）当 时，该函数在 时取得最小值2；
（3）在每个象限内， 的值随 值的增大而减小；
（4） 的值不可能为1．
4．（2022秋·河北石家庄·八年级校联考期中）如图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要
在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心
对称图形，则这个正方形应该添加在 处．（填写区域对应的序号）
5．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图， 的顶点的坐标分别为 ， ， ．(1)画出 关于x轴对称的 ，写出点 的坐标为 ；
(2)画出 绕原点O逆时针旋转 的 ，写出点 的坐标为 ；
(3)在（1），（2）的基础上，图中的 、 关于点 中心对称；
【经典例题四 中心对称图形的规律问题】
1（2023春·全国·八年级专题练习）已知点 ，点 ，点 是线段 的中点，则
， ．在平面直角坐标系中有三个点 ， ， ，点 关于点
的对称点 （即 ， ， 三点共线，且 ）， 关于点 的对称点 ， 关于点 的对称点 ，
…按此规律继续以 ， ， 三点为对称点重复前面的操作．依次得到点 ， ， …，则点 的坐标
是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，平面直角坐标系中， OAB 是边长为2的等边三角形，作
1 1
BAB 与 OAB 关于点B 成中心对称，再作 BAB 与 BAB△关于点B 成中心对称，如此作下去，则
2 2 1 1 1 1 2 3 3 2 2 1 2
△Bn A B△n（n是正整数）的顶点An的坐标是△（ ）△
2 ﹣1 2n 2 2
△
A．（4n﹣1，﹣ ） B．（4n﹣1， ） C．（4n+1，﹣ ） D．（4n+1，
）3．（2023秋·全国·九年级专题练习）在如图所示的平面直角坐标系中， 是边长为2的等边三角形，
作 与 关于点 成中心对称，再作 与 关于点 成中心对称，点 在第
个三角形上， （n是正整数）的顶点 的坐标是 ．
4．（2022秋·七年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为： ，
， .已知 ，作点 关于点 的对称点 ，点 关于点 的对称点 ，点 关于点
的对称点 ，点 关于点 的对称点 ，点 关于点 的对称点 ，…，依此类推，则点 的坐
标为 .
5．（2023春·江西抚州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标为 ，
， ， 各顶点的坐标为 ， ， ．(1)在图中作出 关于 轴对称的图形 ；
(2)若 与 关于点 成中心对称，则点 的坐标是______；
(3)在 轴上找一点 ，使得 最小，并写出 点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果）
【经典例题五 求关于原点对称的点的坐标】
1．（2023春·四川绵阳·九年级专题练习）已知点 与点 关于x轴对称，点
与点D关于原点对称，则D点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）已知点 经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）
A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为
D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为
3．（2023秋·广东江门·九年级统考期末）已知实数 、 是方程 的两根，且 ，则点关于原点的对称点Q的坐标是 ．
4．（2023春·上海·七年级专题练习）在直角坐标系中，有 ， ， 三点，D是坐标平
面内另一点，且以A，B，C，D四点为顶点的四边形是中心对称图形，那么D的坐标是 ．
5．（2023·陕西西安·校考一模）已知抛物线 ： 过点 和 ，与 轴的交点为 ，
（点 在点 的左侧）与 轴交于点 ．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)抛物线 与 关于原点对称，点 在抛物线 上， ， 的是 ， 的对称点，若 与 的
面积相等，求点 的坐标．
【经典例题六 已知两点关于原点对称求参数】
1．（2023秋·湖北·九年级校考周测）已知点 与点 关于坐标原点对称，则实数a，b的值是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·湖南·八年级期末）若点P关于x轴的对称点为 ，关于y轴的对称点为，则P点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·江西宜春·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，点 与点 关于原点对称，
且点 在第三象限，则 的取值范围是 ．
4．（2022秋·北京东城·九年级汇文中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，已知点 与点
关于原点对称，则 ， ．
5．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系 中，如果抛物线 上存在一点A，使
点A关于坐标原点O的对称点 也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归地物线，点A叫做这
条抛物线的回归点．
（1）已知点M在抛物线 上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线 是否为回
归抛物线，并说明理由；
（2）已知点C为回归抛物线 的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表
达式；
【经典例题七 中心对称图形的画法】
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）在由边长为 个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标
系， 的位置如图所示，先作与 关于原点 中心对称的 ，再把 向上平移 个单
位长度得到 ．(1)作出 和 ；
(2) 与 关于某点成中心对称，则对称中心的坐标是______．
2．（2023春·河北保定·八年级校考期末）如图，平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为
．
(1)平移 到 ，其中点A的对应点 的坐标为 ，请在图中画出 ；
(2)以点O为旋转中心，将 按顺时针方向旋转 得 ，请在图中画出 ；
(3) 与 关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为____________．
3．（2020秋·辽宁铁岭·九年级期中）如图，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点
上，以点O为原点建立平面直角坐标系，回答下列问题：(1)将△ABC绕原点O旋转 得到 ，在表格中画出 ；
(2)直接写出 的坐标为___；
(3)若顶点为C的抛物线 经过点 ，求该抛物线的解析式．
4．（2020秋·湖北武汉·九年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣
4，5），B（﹣5，2），C（﹣3，4）．(1)画出△ABC关于原点O对称的图形△ABC ，并直接写出A 点的坐标；
1 1 1 1
(2)将△ABC绕B点顺时针旋转90°得到△ABC ，画出△ABC 并直接写出A 点的坐标；
2 2 2 2 2 2 2
(3)已知△ABC 可以看作由△ABC 绕点P逆时针旋转90°得到的图形，直接写出点P的坐标．
2 2 2 1 1 1
5．（2021秋·湖北武汉·九年级统考期中）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点
叫做格点，平行四边形ABCD的顶点在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表
示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）将线段AD绕点A逆时针旋转90°，画出对应线段AE；
（2）过点E画一条直线把平行四边形ABCD分成面积相等的两部分；
（3）过点D画格点线段DP，使得DP⊥BC于点M，垂足为M；
（4）过点M画线段MN，使得MN//AB，MN=AB．
【经典例题八 中心对称综合应用】
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形 中， ， ， 是矩形的对称中心，
点 、 分别在边 、 上，连接 、 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，抛物线 （a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点
D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当
△CDD′是直角三角形时，a的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，△AOD和△COB关于点O中心对称，∠AOD＝60°，△ADO＝
90°，BD＝12，P是AO上一动点，Q是OC上一动点（点P，Q不与端点重合），且AP＝OQ．连接BQ，
DP，则DP+BQ的最小值是 ．
4．（2022秋·广东江门·九年级江门市第二中学校考阶段练习）如图，在矩形 中， ， ，
点E，F分别为 ， 上的点， ，且 过矩形 的对称中心O．若点P，Q分别在 ，
边上，且 ， 将矩形 的面积四等分，则 的长为 ．
5．（2023秋·福建莆田·九年级校考阶段练习）如图，直线 ： 与y轴交于点A，与直线 ：交于点B，直线 与y轴交于点C，点 在射线 上，过点P作直线 轴，垂足为
E，直线 交直线 于点Q．
(1)求点B的坐标及线段 的长；
(2)当点P在线段 的延长线上，且线段 与 关于点B成中心对称时，求点P 的坐标；
(3)当 时，求m的取值范围．
【重难点训练】
1．（2023春·广东江门·八年级江门市新会东方红中学校考期中）在平行四边形 中，对角线 与
相交于点 ，以点 为坐标原点，若点 的坐标为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考阶段练习）如图，原点O为 的对称中心，
轴，与y轴交于点 ， 与x轴交于 ， ．若将 绕原点O顺时针旋
转，每次旋转90°，则第502次旋转结束时，点A的对应点的坐标为( )A． B． C． D．
3．（2023·河北沧州·统考二模）如图由 个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点称为格点，
的三个顶点 ， ， 均在格点上， 是 与网格线的交点，将 绕着点 顺时针旋转 ．
以下是嘉嘉和淇淇得出的结论，下列判断正确的是（ ）
嘉嘉：旋转后的三角形的三个顶点均在格点上；
淇淇：旋转前后两个三角形可形成平行四边形
A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 是等腰三角形 的底边中线， 与
关于点 中心对称，连接 ，则 的长是（ ）A．4 B． C． D．
5．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在四边形 中， ， ，对角线 与 交
于点 ，点 是 的中点，连接 ， 的周长为 ，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．四边形 是中心对称图形
C． 的周长等于3cm
D．若 ，则四边形 是轴对称图形
6．（2023春·湖南·九年级校联考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为 ，直线EF经过正方形的中
心O，并能绕着O转动，分别交AB、CD边于E、F点，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接
AG，则AG长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·全国·九年级专题练习）对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个
单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A
的坐标为（2，0），点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点
C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（8，6），则△ABC的面积是（ ）A．12 B．14 C．16 D．18
8．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐
标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（ ）
A．M（1，﹣3），N（﹣1，﹣3）
B．M（﹣1，﹣3），N（﹣1，3）
C．M（﹣1，﹣3），N（1，﹣3）
D．M（﹣1，3），N（1，﹣3）
9．（2022秋·广东惠州·九年级统考竞赛）如图所示，已知抛物线 ，抛物线 关于原点中心对称．如果
抛物线 的解析式为 ，那么抛物线 的解析式为 ．
10．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市南坪中学校校联考期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，作点A关于原点的对称点，得到点 ，再将点 向上平移3个单位，得到点 ，则点 的坐标
是 ．
11．（2023春·吉林长春·九年级统考开学考试）如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形
又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点M的坐标为 ，
点N的坐标为 ，则 的值为 ．
12．（2023春·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，菱形 的对角线交于原点O，若点A的坐标为
，点B的坐标为 ，点D的坐标为 ，则边 ．
13．（2023春·四川德阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系 中，有一个由六个边长为1的正
方形组成的图案，其中点A，B的坐标分别为 ， ，现平移直线l： ，使平移后的直线将
这个图案分成面积相等的两个部分，则平移后直线的函数解析式为 ．14．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ，点 与点 关
于原点 对称，将点 沿 轴向右平移 个单位后落在点 处．
(1) 的面积等于 ．
(2)设 ，点 是第一象限内的虚线格点，如果 是以 为腰的等腰三角形，那么点 的坐标
是 ．
15．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期中）在棋盘中建立如图所示的直角坐标系，三颗棋子A，O，B
的位置如图，它们的坐标分别是 ， 和 ．
图1 图2(1)在图1中添加一颗棋子C，画出以A，O，B，C四颗棋子为顶点的四边形，使其是轴对称图形，但不是
中心对称图形；
(2)在图2中添加一颗棋子P，画出以A，O，B，P四颗棋子为顶点的四边形，使其是中心对称图形，但不
是轴对称图形，并直接写出棋子P的坐标．
16．（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，方格纸中的每个小正方形都是边长为1个单位长度
的正方形，每个小正方形的顶点叫格点. 的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问
题：
(1)画出 关于点P成中心对称的 ，点 的坐标为______．
(2)画出 绕点P逆时针方向旋转 后所得到的 ，点 的坐标为______．
17．（2023秋·四川广元·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ，
， ．(1)求 的面积；
(2)在图中画出 绕点C逆时针旋转 得到的 并写出点A的对应点 的坐标．
(3)在图中画出 关于原点O中心对称的 的图形．
18．（2022春·陕西榆林·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为
， ， ．
(1)将 经过平移得到 ，若点 的对应点 的坐标为 ，画出 ，直接写出 ， 的坐标 （______，______）， （______，______）；
(2)画出与 关于原点 成中心对称的 ；
(3)若 与 是中心对称图形．则对称中心的坐标为（______，______）．
19．（2022春·河北邯郸·八年级校考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1， 在
网格中的位置如图所示， 的三个顶点都在格点上．将点 的横坐标和纵坐标都乘 ，分别得
到点 ．
(1)写出 三个顶点的坐标 （____，____）， （____，____）， （____，___）；
(2)若 与 关于y轴对称，在平面直角坐标系中画出 ；
(3)若以点 为顶点的三角形与 全等，直接写出所有符合条件的点P的坐标．
20．（2022秋·江西南昌·九年级校考期中）在8×5的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形的顶点坐标分别为 ， ， ， ．请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图
（保留作图痕迹）．
(1)将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ；
(2)作 的角平分线 ；
(3)作线段 关于四边形 的中心点对称的线段 ．
