热点5-2等比数列的通项及前n项和（6题型+满分技巧+限时检测）（原卷版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_2024年高考数学热点·重点·难点专练（新高考专用）

热点 5-2 等比数列的通项及前 n 项和 主要考查等比数列的基本量计算和基本性质、等比数列的中项性质、判定与证明，这是高考热点；等比数 列的求和及综合应用是高考考查的重点。这部分内容难度以中、低档题为主，结合等差数列一般设置一道 选择题和一道解答题。 【题型1 等比数列的基本量计算】 满分技巧 等比数列的运算技巧 n a a n q S a 1、在等比数列的通项公式和前 项和公式中，共涉及五个量： 1， n， ， ， n，其中首项 1和公 q 比 为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答； 2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到 a 1 qn 1q 整体代换，如 ， 都可以看作一个整体。 【例1】（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列 的前n项和为 ．若 ， 则 （ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列 的前n项和为 ．若 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·辽宁·高三统考期中）已知 为等比数列，其公比 ，前7项的和为1016，则 的值为（ ）A．8 B．10 C．12 D．16 【变式1-3】（2023·四川雅安·统考一模）在等比数列 中，若 ， ，则 等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-4】（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【题型2 等比数列性质的应用】 满分技巧 1、等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的 变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 2、应用等比数列性质解题时的2个注意点 （1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质， 特别是性质“若 ，则有 ”，可以减少运算量，提高解题速 度． （2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意 设而不求思想的运用． 【例2】（2023·湖南永州·高三校考阶段练习）在等比数列 中，若 ，则 （ ） A．1 B．2 C．10 D．100 【变式2-1】（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列 的前n项积为 ，且 ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·陕西·校联考模拟预测）等比数列 满足： ，则 的最 小值为 ．【变式2-3】（2023·江苏淮安·高三校联考期中）已知数列 是正项等比数列，数列 满足 . 若 ，则 （ ） A．24 B．27 C．36 D．40 【变式2-4】（2023·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）已知函数 ，数列 为等比数列， ， ， ． 【题型3 等比数列单调性及应用】 满分技巧 等比数列前n项和的函数特征 S q 1、 n与 的关系 a  1qn 1 S  q 1 n n 1q （1）当公比 时，等比数列的前 项和公式是 ， a a a S  1  1 qn A 1 n 1q 1q 1q S  AAqn 它可以变形为 ，设 ，则上式可以写成 n 的形式， S  y  AAqx 由此可见，数列 n 的图象是函数 图象上的一群孤立的点； q 1 n S na S  y a x （2）当公比 时，等比数列的前 项和公式是 n 1，则数列 n 的图象是函数 1 图象上 的一群孤立的点。 S a 2、 n与 n的关系 a a q a q S  1 n S  1  a q 1 n n 1q n 1q 1q n 当公比 时，等比数列的前 项和公式是 ，它可以变形为 q a A B 1 1q 1q S  Aa B S a 设 ， ，则上式可写成 n n 的形式，则 n是 n的一次函数。 【例3】（2023·福建厦门·高三厦门第二中学校考阶段练习）已知等比数列 的前 项和为 ，前 项积 为 ，则下列选项判断正确的是（ ） A．若 ，则数列 是递增数列 B．若 ，则数列 是递增数列 C．若数列 是递增数列，则 D．若数列 是递增数列，则【变式3-1】（2023·广东佛山·统考一模）等比数列 公比为 ， ，若 （ ），则“ ”是“数列 为递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）（多选）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，且 ， ， ，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． 的最大值为 D． 的最大值为 【变式3-3】（2023·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）（多选）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，且满足 ， ，则下列选项正确的是 （ ） A． 为递减数列 B． C． 是数列 中的最小项 D．当 时， 的最小值为4045 【变式3-4】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等比数列 满足 ，公比 ，且 ， ，则（ ） A． B．当 时， 最小 C．当 时， 最小 D．存在 ，使得 【题型4 等比数列前n项和性质应用】 满分技巧 等比数列前 项和的性质 （1）在公比 或 且 为奇数时， ， ， ，……仍成等比数列，其公比为 ； （2）对 ，有 ； （3）若等比数列 共有 项，则 ，其中 ， 分别是数列 的偶数项和与奇数项和； （4）等比数列的前 项和 ，令 ，则 （ 为常数，且 ）【例4】（2023·陕西榆林·高三校考阶段练习）已知各项均为实数的等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ） A．150 B．140 C．130 D．120 【变式4-1】（2023·河北石家庄·高三统考期中）已知数列 是等比数列， 为其前 项和，若 ， ，则 （ ） A．27 B．39 C．81 D．120 【变式4-2】（2023·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ） A．8 B．9 C．16 D．17 【变式4-3】（2023·河北保定·高三保定市第三中学校联考期末）（多选）已知数列 为等差数列，公差 为 ；数列 为等比数列，公比为 ，则下列说法正确的是（ ） A．存在 和 ，使得 ． B．若 为 的前 项和，则 ， ， ， 成等差数列 C．若 为 的前 项和，则 ， ， ， 成等比数列 D．当 时，存在实数A、 使得 【变式4-4】（2023·安徽·高三怀远第一中学校联考阶段练习）记 为等比数列 的前n项和， ． （1）若 ，求 的值； （2）若 ，求证： ． 【题型5 等比数列的判定与证明】 满分技巧 1、定义法： 为常数且 数列 是等比数列． 2、等比中项法： 数列 是等比数列． 3、通项公式法： 数列 是等比数列． 4、前 项和公式法：若数列的前 项和 ，则该数列是等比数列．其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足 的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要 . 【例5】（2022·新疆·统考一模）在数列 中， ， ，且 . （1）证明： 是等比数列； （2）求数列 的通项公式. 【变式5-1】（2023·上海·高三校考期中）已知数列 的前n项和为 ，且 为正整数. （1）证明： 是等比数列； （2）求数列 的通项公式及其前n项和 . 【变式5-2】（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）记 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项和，若 且 . （1）证明：数列 是等比数列； （2）若 成立，求 的最小值. 【变式5-3】（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考阶段练习）设 是数列 的前 项和，已知 （1）求 ，并证明： 是等比数列； （2）求满足 的所有正整数 . 【变式5-4】（2023·云南曲靖·高三校考阶段练习）已知数列 满足 ，且 ． （1）证明：数列 为等比数列，并求出数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 ． 【题型6 等比数列的实际应用】 【例6】（2023·山东青岛·青岛第五十八中学校考一模）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗 产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列 ，则 的值为（ ） A．8 B．10 C．12 D．16 【变式6-1】（2023·广东广州·统考三模）小明的父母在他入读初中一年级起的9月1日向银行教育储蓄账 户存入1000元，并且每年在9月1日当天都存入一笔钱，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元， 第三年存入3000元，……，连续存6年，每年到期利息连同本金自动转存，在小明高中毕业的当年9月1 日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为p，不考虑利率的变化．在小明高中毕业的当年9月1 日当天，一次性取出的金额总数（单位：千元）为（ ）． A． B． C． D． 【变式6-2】（2023·湖南·校联考模拟预测）已知某公司第1年的销售额为a万元，假设该公司从第2年开 始每年的销售额为上一年的 倍，则该公司从第1年到第11年（含第11年）的销售总额为（ ）（参 考数据：取 ） A． 万元 B． 万元 C． 万元 D． 万元 【变式6-3】（2023·安徽·高三马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）0.618是无理数 的近似值， 被称为黄金比值.我们把腰与底的长度比为黄金比值的等腰三角形称为黄金三角形.如图， 是顶角为 ， 底 的第一个黄金三角形， 是顶角为 的第二个黄金三角形， 是顶角为 的第三个黄 金三角形， 是顶角为 的第四个黄金三角形 ，那么依次类推，第2023个黄金三角形的周长大约 为（ ） A． B． C． D． 【变式6-4】（2023·山东·统考一模）假设某市2023年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中、 低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上年增长 .另外，每年新建住房中，中、 低价房的面积均比上一年增加50万平方米.求： （1）截至到2032年底，该市所建中、低价房的面积累计（以2023年为累计的第一年）为多少万平方米？ （2）哪一年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 ？（建议用时：60分钟） 1．（2023·甘肃天水·高三校联考阶段练习）在等比数列 中， ， ，则 （ ） A．1 B． C． D．2 2．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）在正项等比数列 中，若 ， ，则 （ ） A．1 B．2 C．3 D． 3．（2023·河南·高三校联考阶段练习）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行 健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健 步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人第4 天与第5天共走的里程数为（ ） A．24 B．36 C．42 D．60 4．（2023·四川·高三校联考阶段练习）在等比数列 中， ， ，则 （ ） A．48 B．72 C．96 D．112 5．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈三中校考期末）若数列 满足 （ 且 ），则 与 的比值为（ ） A． B． C．2 D．3 6．（2023·全国·模拟预测）设等比数列 的前 项和是 .已知 ，则 （ ） A．13 B．12 C．6 D．3 7．（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）设等比数列 的公比为 ，且 ，设甲： ；乙： ，则（ ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】等比数列 的公比为 ，且 ，当 时， ，因此 ； 当 时，有 ，即 ，而 ，则 ， 又 ， ，于是 ，即 ，又 ，因此 ，所以甲是乙的充要条件.故选：C 8．（2023·安徽安庆·高三安庆市第十中学校考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ， 设 ，若数列 是递增数列，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）（多选）已知数列的 前n项和为 ， ， ，若 ， （ 是常数），则（ ） A．数列 是等比数列 B．数列 是等比数列 C． D． 10．（2023·福建漳州·高三统考开学考试）（多选）已知正项等比数列 的前n项积为 ，且 ，则 下列结论正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 11．（2023·广东汕头·高三黄图盛中学校考阶段练习）在正项等比数列 中， ， ，则 的通项公式 . 12．（2023·四川宜宾·南溪第一中学校校考模拟预测）已知数列 满足， ，若 为数列前 项和，则 . 13．（2023·高三课时练习）已知数列 是等比数列， 是其前 项和，且 ， ，则 . 14．（2023·湖南长沙·高三统考阶段练习）在数列 中 ，且满足 （ 且 ）． （1）证明：数列 为等比数列； （2）求数列 的前 项和 ． 15．（2023·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知数列 的首项 ，且满足 ， 记 . （1）证明： 是等比数列；（2）记 ，证明；数列 的前 项和 .