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专题 03 复数必刷 100 题
任务一:善良模式(基础)1-50题
一、单选题
1．（四川省资阳市2021-2022学年高三第一次诊断考试数学（文）试题）已知复数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据复数除法运算法则计算即可.
【详解】
.
故选：A.
2．（广东省清远市博爱学校2022届高三上学期11月月考数学试题）在复平面内，复数 （其中
为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】
利用复数的乘除法运算化简，再结合复数的几何意义即可得出结果.
【详解】
因为 ，
所以复数z对应的点的坐标为(1，2)，位于第一象限.
故选：A.
3．（山西省太原市第五中学2022届高三上学期第四次模块诊断数学（文）试题）已知复数 满足
，则复数 的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】先由 求出复数 ，然后可求出其虚部
【详解】
由 ，得 ，
所以复数 的虚部为 ，
故选：D.
4．（四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期期中考试文科数学试题）复数 （其中 为
虚数单位）的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据复数除法的运算法则，求出复数 ，然后由虚部的定义即可求解.
【详解】
解：因为复数 ，
所以复数 的虚部为 ，
故选：A.
5．（云南省师范大学附属中学2022届高三高考适应性月考卷（四）数学（理）试题）复数
与 之积为实数的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用复数的乘法运算结合复数分类的概念即可得到答案.
【详解】
因为 是实数，所以 ，
故选：C．
6．（四川省南充市2022届高考适应性考试（零诊）理科数学试题）已知 ，其中 为虚数单位，则复数 在复平面内对应的点在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【分析】
由 求出复数 ，即可求得答案．
【详解】
由 ，得 ，
则复数 在复平面内对应的点为 ，在第二象限，
故选：B.
7．（黑龙江省大庆市东风中学2021-2022学年高三上学期10月质量检测数学（文）试题）设复数
（ 是虚数单位），则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据共轭复数的概念及复数模的公式，即可求解.
【详解】
由复数 ，可得 ，所以 ，
所以 .
故选：D.
8．（江苏省南京市中华中学2021-2022学年高三上学期10月阶段检测数学试题）设 ，则z的共轭复数
的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先对复数 化简，从而可求出其共轭复数，进而可求出其虚部
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以 的虚部为 ，
故选：C.
9．（西南四省名校2021-2022学年高三上学期第一次大联考数学（理）试题）已知复数 ，则 的
虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先利用复数的除法法则化简，再利用共轭复数和虚部的概念进行求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，则 的虚部为 ．
故选：A．
10．（广东省深圳市普通中学2022届高三上学期质量评估（新高考I卷）数学试题）若复数 为
纯虚数，则实数a的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】
根据复数运算规则及纯虚数的定义，化简求解参数即可.
【详解】
化简原式可得：z为纯虚数时， ≠0即 ，选项A正确，选项BCD错误.
故选A．
11．（广东省深圳市罗湖区2022届高三上学期第一次质量检测数学试题）已知复数 （i为
虚数单位）在复平面内所对应的点在直线 上，若 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．10
【答案】A
【分析】
先利用实部等于虚部，求出参数，即可求出模.
【详解】
解：由题意得： ，解得 ， ，
故选：A.
12．（全国2022届高三第一次学业质量联合检测文科数学（老高考）试题）复数 在复平面内对
应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】
利用复数的除法化简复数 ，利用复数的几何意义可得出结论.
【详解】
，则 ，
因此，复数 对应的点位于第一象限.
故选：A.
13．（神州智达省级联测2021-2022学年高三上学期第一次考试数学试题）在复平面内，点 和 对应的
复数分别为 和 ，若四边形 为平行四边形， （为坐标原点），则点 对应的复数为（
）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由复数的几何意义，可得 与 的坐标，再根据向量加法的平行四边形法则即可求解 的坐标，从而
可得点 对应的复数.
【详解】
解：由题意， ，
又 ，
所以 ，
所以点 对应的复数为 .
故选：D.
14．（广东省广州市西关外国语学校2022届高三上学期8月月考数学试题）已知复数 ，其
中 是虚数单位，则 的共轭复数虚部为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】
利用复数的乘法运算化简复数 ，再根据共轭复数的概念，即可得答案；
【详解】
，
， 的共轭复数虚部为3，
故选：B.
15．（广东省深圳市龙岗布吉中学2020-2021学年高一下学期中数学试题）已知i是虚数单位，则复数
对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D【分析】
利用复数的乘方、除法运算化简 ，进而判断其所在的象限.
【详解】
由 ，则 ，
∴ 对应的点 所在的象限是第四象限.
故选：D.
16．（湖南省岳阳市岳阳县第一中学2021-2022学年高三上学期入学考试数学试题）已知复数
，若 在复平面内对应的向量分别为 （ 为直角坐标系的坐标原点），
且 ，则 =（ ）
A．1 B．-3 C．1或-3 D．-1或3
【答案】C
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简 ，然后求得 ，再由复数模的计算公式求解．
【详解】
，
，则 ，
解得 或 ．
故选：C.
17．（甘肃省天水市秦州区2020-2021学年高二下学期第一阶段检测数学（文）试题）关于复数 的方程
在复平面上表示的图形是（ ）
A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．双曲线
【答案】B
【分析】根据复数差的模的几何意义，分析即可得答案.
【详解】
由于两个复数差的模表示两个复数在复平面内对应点之间的距离，
所以关于复数 的方程 在复平面上表示的图形是以（3,0）为圆心，1为半径的圆.
故选：B.
18．（江苏省无锡市辅仁高级中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题）欧拉是一位杰出的数学家，
为数学发展作出了巨大贡献，著名的欧拉公式： ，将三角函数的定义域扩大到复数集，
建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.
结合欧拉公式，复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】
利用欧拉公式代入直接进行复数的运算即可求解.
【详解】
,
所以复数 在复平面对应的点为 ，位于第四象限，
故选：D.
19．（福建省2021届高三高考考前适应性练习卷（二）数学试题）法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的公式 推动了复数领域的研究．根据该公式，可得 （
）．
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据已知条件将 化成 ，根据复数的运算即可.
【详解】
根据公式得 ，
故选:B.
20．（福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题）复数z满足 ，则 的最大值为（
）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】
由复数模的几何意义可得复数 对应点 在以 为圆心，1为半径的圆上运动，数形结合可得 的最
大值.
【详解】
设 ，
， 复数 对应点 在以 为圆心，1为半径的圆上运动.
由图可知当点 位于点 处时，点 到原点的距离最大，最大值为3.
故选：C.【点睛】
两个复数差的模的几何意义是：两个复数在复平面上对应的点的距离.
21．（重庆一中2021届高三高考数学押题卷试题（三））系数的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克
罗内克(Kronecker，1823﹣1891)说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”设为虚数单位，复数 满
足 ，则 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用虚数单位的幂的运算规律化简即得 ,然后利用共轭复数的概念判定.
【详解】
解： ,
故选：C.
22．（福建省福州市八县（市、区）一中2022届高三上学期期中联考数学试题）下面是关于复数
（ 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）
A． B．复数 在复平面内对应点在直线 上
C． 的共轭复数为 D． 的虚部为
【答案】C
【分析】
由复数除法化简复数为代数形式，然后求模，写出对应点的坐标．得其共轭复数及虚部，判断各选项．
【详解】
，所以 ，A错；
对应点坐标为 不在直线 上，B错；
共轭复数为 ，C正确；
虚部为1，D错．
故选：C．
23．（江苏省南通市如皋市2021-2022学年高三上学期教学质量调研（一）数学试题）已知复数 满足
，则在复平面上 对应点的轨迹为（ ）
A．直线 B．线段 C．圆 D．等腰三角形
【答案】A
【分析】
根据复数的几何意义，结合 ，得到点 在线段 的垂直平分线上，即可求解.
【详解】
设复数 ，
根据复数的几何意义知： 表示复平面内点 与点 的距离，
表示复平面内点 与点 的距离，
因为 ，即点 到 两点间的距离相等，
所以点 在线段 的垂直平分线上，所以在复平面上 对应点的轨迹为直线.
故选：A.
24．（北京一零一中学2022届高三9月开学练习数学试题）已知复数z满足z＋ ＝0，且z· ＝4，则z
＝（ ）
A． 2 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】不妨设 ，代入 ， ，运算即得解
【详解】
由题意，不妨设 ，则
由 ，可得 ，故
且
故选：C.
25．（第十章复数10.1复数及其几何意义10.1.2复数的几何意义）向量 对应的复数是 ，向量
对应的复数是 ，则 ＋ 对应的复数是（ ）
A． B．
C．0 D．
【答案】C
【分析】
由复数的代数形式写出对应复平面上的点坐标，应用向量坐标的线性运算求 ＋ ，即可知其对应的
复数.
【详解】
由题意可知： ， ，
∴ ＋ ＝ ＋ =(0,0)．
∴ ＋ 对应的复数是0.
故选：C.
26．（广东省肇庆市2022届高三上学期一模考前训练（二）数学试题）已知 为虚数单位，复数 ，
，则复数 在复平面上对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】
先由已知条件求出 ，然后求出 ，从而可求出复数 在复平面上对应的点所在的象限
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以复数 在复平面上对应的点位于第一象限，
故选：A.
27．（福建省泉州科技中学2022届高三上学期第一次月考数学试题）若 ，则 的虚
部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据 ，结合共轭复数，利用复数的除法和乘方运算求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以 ，
故其虚部为-1，
故选：D.
28．（河南省部分名校2021-2022学年高三上学期第一次阶段性测试文科数学试题）已知i为虚数单位，复数z满足 ，则|z|等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
结合复数的减法和除法运算求出复数z，进而利用复数的模长公式即可求出结果.
【详解】
因为 ，
所以 .
故选：C.
29．（河南省许昌市2022届高三第一次质量检测（一模）理科数学试题）已知复数 满足 ，
其中 为虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】
设 ， ，利用复数乘法化简 并求出 ，根据复数相等判断 的符号，即可知复
数 对应的象限.
【详解】
令 ， ，则 ，
又 ，则 ，
∴ ，即 ，∴ ，则复数 在复平面内所对应的点在第四象限.
故选：D.
30．（广西南宁市2022届高三高中毕业班上学期摸底测试数学（理）试题）已知复数 和 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用复数的四则运算法则，求解即可
【详解】
由题意，
故选：B
二、多选题
31．（河北省石家庄市藁城新冀明中学2022届高三上学期第一次月考数学试题）设 ，则下列
叙述中正确的是（ ）
A． 的虚部为 B．
C．∣z∣= D．在复平面内，复数 对应的点位于第四象限
【答案】BC
【分析】
先根据复数的除法法则求得 值，再根据复数的概念求出复数的虚部、共轭复数、模，再根据复数的几何
意义判定选项D错误.【详解】
由 ，得 ，
则： 的虚部为 ，即选项A错误；
，即选项B正确；
，即选项C正确；
复数 对应的点 位于第一象限，即选项D错误.
故选：BC.
32．（广东省珠海市艺术高级中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题）若复数 ，则
（ ）
A． B．z的实部与虚部之差为3
C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】ACD
【分析】
由已知复数相等，应用复数的除法化简得 ，即可判断各选项的正误.
【详解】
∵ ，
∴z的实部与虚部分别为4， ，
，A正确；
z的实部与虚部之差为5，B错误；
，C正确；
z在复平面内对应的点为 ，位于第四象限，D正确．
故选：ACD．33．（重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（三）数学试题）已知复数 （ 为
虚数单位）、则下列说法正确的是（ ）
A．z的实部为1 B．z的虚部为 C． D．
【答案】AC
【分析】
先对 化简求出复数 ，然后逐个分析判断即可
【详解】
解： ，
所以复数 的实部为1，虚部为1，所以A正确，B错误，
，所以C正确，
，所以D错误，
故选：AC.
34．（湖南师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期第一次大练习数学试题）已知i为虚数单位，以
下四个说法中正确的是（ ）
A．
B．复数 的虚部为
C．若 ，则复平面内 对应的点位于第二象限
D．已知复数z满足 ，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
【答案】AD
【分析】
根据复数的概念、运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
A选项， ，故A选项正确.
B选项， 的虚部为 ，故B选项错误.C选项， ，对应坐标为 在第三象限，故C选项错误.
D选项， 表示 到 和 两点的距离相等，故 的轨迹是线段 的垂直
平分线，故D选项正确.
故选：AD.
35．（2021届新高考同一套题信息原创卷（四））已知 ， ， ，则（
）
A． 的虚部是 B．
C． D． 对应的点在第二象限
【答案】BC
【分析】
由复数相等，求出 的值，然后求出 ，根据复数的相关概念判断选项.
【详解】
由复数相等可得 解得 所以 ，
的虚部是2，所以A选项错误；
，所以B选项正确；
，所以C选项正确；
对应的点在虚轴上，所以D选项不正确.
故选：BC.
36．（在线数学135高一下）下面关于复数 （i是虚数单位）的叙述中正确的是（ ）
A．z的虚部为 B．
C． D．z的共轭复数为
【答案】BC
【分析】先求出复数z，然后根据复数的相关概念及运算法则对各选项逐一分析即可求解.
【详解】
解：因为复数 ，所以z的虚部为 ，故A选项错误；
，故B选项正确；
，故C选项正确；
z的共轭复数为 ，故D选项错误；
故选：BC.
37．（云南省曲靖市罗平县第二中学2020-2021学年高一下期期末测试数学试题）已知复数 ，则正
确的是（ ）
A．z的实部为﹣1 B．z在复平面内对应的点位于第四象限
C．z的虚部为﹣i D．z的共轭复数为
【答案】BD
【分析】
根据复数代数形式的乘除运算化简，结合复数的实部和虚部的概念、共轭复数的概念求解即可.
【详解】
因为 ，
所以z的实部为1，虚部为-1，
在复平面内对应的点为(1，-1)，在第四象限，
共轭复数为 ，
故AC错误，BD正确.
故选：BD.
38．（河北省唐山市英才国际学校2020-2021学年高一下学期期中数学试题）复数 ，则（ ）
A． 在复平面内对应的点的坐标为
B． 在复平面内对应的点的坐标为
C．D．
【答案】AD
【分析】
利用复数的几何意义，求出复数对应的点坐标为 ，即可得答案；
【详解】
在复平面内对应的点的坐标为 ， ．
故选：AD.
39．（2021·湖北·高三月考）设 ， 是复数，则（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】AC
【分析】
结合共轭复数、复数运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
设 ， ，a，b，x， ，
，A成立；
，则 ，所以 ， ，
从而 ，所以 ，C成立；
对于B，取 ， ，满足 ，但结论不成立；
对于D，取 ， ，满足 ，但结论不成立.
故选：AC.
40．（2021·山东临沂·高三月考）已知 ， ，复数 ， ，则（ ）A． B．
C． D． 在复平面内对应的点所在象限是第二象限
【答案】ACD
【分析】
由题意得 ，即 ，由复数相等求出 ，然后逐个选项分
析判断.
【详解】
因为复数 ，
所以
所以 ，即 ，所以A正确，B错误；
，故C正确；
在复平面内对应的点为 ，所在象限是第二象限，故D正确.
故选：ACD.
第II卷（非选择题）
三、填空题
41．（山西省新绛中学2022届高三上学期10月月考数学（文）试题）已知 ，则 的最大值
为_______.
【答案】1+ /
【分析】
根据复数的几何含义，求解出z的实部和虚部满足的关系式，再结合复数模的几何含义即可得出结果.
【详解】
设 ，即 ，所以点 在以 为圆心，1为半径的圆上
， 表示点 到原点的距离，
所以原点与圆上的一点距离的最大值即表示 的最大值
所以
故答案为： .
42．（北京市第十三中学2022届高三上学期期中考试数学试题）在复平面内，复数 所对应的点的坐标为
，则 _____________.
【答案】
【分析】
由已知求得 ，进一步得到 ，再根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得．
【详解】
解：由题意， ，
，
．
故答案为：2．
43．（安徽省合肥市庐阳高级中学2020-2021学年高三上学期10月第一次质检理科数学试题）复数 满足
，则 的最小值为___________.
【答案】
【分析】
设复数 ，代入题干条件后求出 与 的关系，再代入到 的关系式中，求出最小值.【详解】
设复数 ，则 ， ， ，因为
，所以 ，解得： ，
则 ，
①，
把 代入①式中，得：
当 时， 取得最小值为 ，所以 的最小值为
故答案为： .
44．（广东省湛江市第二十一中学2022届高三上学期9月第2次月考数学试题）已知复数 ，则
__________．
【答案】
【分析】
根据复数除法运算化简求出 ，即可求出模.
【详解】
， .
故答案为： .
45．（天津市第二中学2021-2022学年高三上学期期中数学试题）若复数z满足 （i为虚数单位），
则 _____．【答案】
【分析】
根据复数的运算直接求出 的代入形式，进而可得模.
【详解】
解：由已知 ，
.
故答案为： .
46．（上海市交通大学附属中学2022届高三上学期10月月考数学试题）若复数 满足 （其中 是
虚数单位）， 为 的共轭复数，则 ___________.
【答案】
【分析】
利用复数的除法化简复数 ，可得出 ，再利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】
，所以， ，因此， .
故答案为： .
47．（上海市向明中学2022届高三上学期9月月考数学试题）已知复数 ，则
___________.
【答案】2
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．
【详解】解： ，
则 .
故答案为：2.
48．（双师301高一下）若复数 与它的共轭复数 所对应的向量互相垂直，则 _______．
【答案】
【分析】
利用数量积为 列方程，解方程求得 .
【详解】
对应坐标为 ，
对应坐标为 ，
依题意 ，
解得 .
故答案为： .
49．（2021·上海·格致中学高三期中）定义运算 ，则满足 的
复数 ______.
【答案】
【分析】
设 ，然后根据定义直接化简计算即可.
【详解】
设 ，所以
由
所以所以
所以
故答案为： .
50．（2021·全国·高三月考（理））已知复数 满足 ，则 的最小值是_______．
【答案】
【分析】
根据复数的几何意义，得到 表示复数 在椭圆 上，结合椭圆的性质，即可求
解.
【详解】
由复数的几何意义，可得 表示复数 在椭圆 上，
而 表示椭圆上的点到椭圆对称中心 的距离，
当且仅当复数 位于椭圆短轴端点 时， 取得最小值， 的最小值为 ．
故答案为： ．
任务二:中立模式(中档)1-30题
一、单选题
1．（云南省昆明市第一中学2022届高三上学期第三次双基检测数学（理）试题）已知 为虚数单位，则（ ）
A． B． C．1 D．-1
【答案】A
【分析】
根据虚数的运算性质，得到 ，得到 ，即可求解.
【详解】
根据虚数的性质知 ，
所以 .
故选：A.
2．（辽宁省名校联盟2021-2022学年高三上学期10月联合考试数学试题）已知复数
，则z的共轭复数 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先利用复数的乘方化简复数z，再求其共轭复数.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
则 ，
故选：C．
3．（上海市曹杨第二中学2022届高三上学期10月月考数学试题）设 、 ，若 （ 为虚数单
位）是一元二次方程 的一个虚根，则（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】
分析可知实系数一元二次方程 的两个虚根分别为 、 ，利用韦达定理可求得 、 的
值，即可得解.
【详解】
因为 是实系数一元二次方程 的一个虚根，则该方程的另一个虚根为 ，
由韦达定理可得 ，所以 .
故选：C.
4．（第3章本章复习课-2020-2021学年高二数学（理）课时同步练（人教A版选修2-2））若 是关
于 的实系数方程 的一个复数根，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
把 代入方程，整理后由复数相等的定义列方程组求解.
【详解】
由题意1 i是关于 的实系数方程
∴ ，即
∴ ，解得 .
故选：D．
5．（专题1.3集合与幂指对函数相结合问题-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破）设集合 ， ，i为虚数单位， ，则M∩N为（ ）
A．（0，1） B．（0，1] C．[0，1） D．[0，1]
【答案】C
【分析】
M集合表示 的值域，N集合表示不等式 的解集，先分别求出来再求其交集即可
【详解】
，其值域为 ，所以 .
因为 ，所以 ，解得 ，即 .
所以M∩N=
故选：C.
6．（考点38复数-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用））若
，且 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据复数的乘法运算和相等复数的性质，求出 ，再根据 ，得出 ，从而可求出 的取值
范围.
【详解】
解：因为 ， 所以 ，
所以 ，解得： ，因为 ，所以 ，解得： 或 ，
则实数 的取值范围是 .
故选：B.
7．（四川省成都市树德中学2021-2022学年高三上学期入学考试文科数学试题）已知复数
， ，则“ ”是“ 为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据纯虚数的定义求出 的值，再由充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】
若复数 为纯虚数，
则 ，解得： 或 ，
所以由 可得出 为纯虚数，
但由 为纯虚数，得不出 ，
所以“ ”是“ 为纯虚数”的充分不必要条件，
故选：A.
8．（第25讲数系的扩充与复数的引入（练）-2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版））设复数
， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用复数的除法化简得出 ，然后利用复数的乘方法则可求得结果.【详解】
，
又因为 ，对任意的 、 ， ，
而 ，
因此， .
故选：C.
9．（河北正中实验中学2021届高三上学期第二次月考数学试题）棣莫弗定理：若两个复数
， ，则 ，已知 ， ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
推导出 ，求出 的值，即可得出 的值.
【详解】
由已知条件可得 ，
， ，
以此类推可知，对任意的 ， ，
，
所以，
，因此， .
故选：B.
10．（第25讲数系的扩充与复数的引入（讲）-2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版））欧拉公
式 ( 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，
建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公
式可知， 表示的复数位于复平面中的（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】
先由欧拉公式计算可得 ，然后根据复数的几何意义作出判断即可.
【详解】
根据题意 ，故 ，对应点 ，在第一象限.
故选:A.
11．（山东省济宁邹城市2021-2022学年高三上学期期中考试数学试题）定义运算 ，若复
数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
直接利用新定义，化简求解即可.
【详解】由 ，
则 ，
，
则 .
故选：D.
12．（上海市徐汇中学2022届高三上学期期中数学试题）已知方程 有两个虚根 ，
若 ，则 的值是（ ）
A． 或 B． C． D．
【答案】C
【分析】
由于是 虚根，所以方程判别式小于0，且 是一对共轭复数，因此可以通过设出复数，通过韦达定
理代入条件解出参数
【详解】
由已知方程有两个虚根 ，因此方程判别式小于0，即. ,
设 由韦达定理可知
所以 , 即
, 即 , 所以
所以
故答案为：C.
13．（专题12.3复数的几何意义（重点练）-2020-2021学年高一数学十分钟同步课堂专练（苏教版2019必修第二册））若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设z＝x+yi（x，y∈R），由题意可知动点 的轨迹可看作以 为圆心，2为半径的圆，|z+1-
i|+|z|可看作点P到 和 的距离之和，然后即可得到P，A，O三点共线时|z+1-i|+|z|取得最
大值时,从而可求出答案.
【详解】
设z＝x+yi(x，y∈R)，
由|z+2-2i|＝2知，动点 的轨迹可看作以 为圆心，2为半径的圆，
|z+1-i|+|z|可看作点P到 和 的距离之和，
而|CO|＝ ，|CA|＝ ，
易知当P，A，O三点共线时，|z+1-i|+|z|取得最大值时，
且最大值为|PA|+|PO|＝(|CA|+2)+(|CO|+2)＝ ，
故选：D．
14．（专题07复数-备战2022年高考数学一轮复习核心知识全覆盖（新高考地区专用））如果复数z满
足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
直接利用复数模的几何意义求出 的轨迹．然后利用数形结合求解即可．
【详解】
解：
点 到点 与到点 的距离之和为2．点 的轨迹为线段 ．
而 表示为点 到点 的距离．
数形结合，得最小距离为1
所以|z＋i＋1| ＝1.
min
故选：A.
15．（百师联盟2021届高三二轮复习联考（三）数学（理）全国Ⅰ卷试题）已知 是虚数单位，复数 的
共轭复数为 ，下列说法正确的是（ ）
A．如果 ，则 ， 互为共轭复数
B．如果复数 ， 满足 ，则
C．如果 ，则
D．
【答案】D
【分析】
对于A，举反例 ， 可判断；对于B，设 ， 代入验证可判断；对于
C，举反例 可判断；对于D，设 ， ，代入可验证.
【详解】
对于A，设 ， ， ，但 ， 不互为共轭复数，故 错误；对于B，设 （ ， ）， （ ， ）．
由 ，得 ，
则 ，而 不一定等
于 ，故 错误；
对于C，当 时，有 ，故 错误；
对于D，设 ， ，则
， 正确
故选：D.
16．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2021届高三第四次模拟数学（理）试题）设 为复数，则下列命题中错
误的是（ ）
A． B．若 ，则 的最大值为2
C． D．若 ，则
【答案】C
【分析】
根据复数的概念和运算以及几何意义，逐项分析判断即可得解.
【详解】
设 ，则 ，
，故A正确；由 ，得 ，则 ，
当 时， 的最大值为2，故B正确；
， ， 与 不一定相等，故C错误；
满足 的 的轨迹是以 为圆心，以1为半径的圆，如图所示，
则 ，故D正确．
故选：C．
17．（陕西省汉中市2021-2022学年高三上学期第一次校际联考文科数学试题）设复数 ， 满足
， ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用性质 ，结合已知求出 ，再由 即可求 .
【详解】
由题设， ，又 ，
∴ ，而 ，
∴ ，故 .
故选：D.
18．（江苏省常州市前黄高级中学2021届高三下学期学情检测（三）数学试题）设 为复数，则下列
四个结论中不正确的是（ ）
A． B．C． 一定是实数 D． 一定是纯虚数
【答案】D
【分析】
设 ； ，分别表示出选项中的表达式，可以判断是否正确
【详解】
设 ；
A选项中， ，所以 ；
， ，所以正确
B选项中， ，
；
，所以正确
C选项中， ，正确
D选项中， ，当 时，为实数，所以不一定是纯虚数，所以不正确
故选：D.
19．（重庆市名校联盟2021届高三三模数学试题）若复数 满足 ，其中i为虚数单位，
则 对应的点(x，y)满足方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
设 ，代入 中，再利用模的运算，即可得答案.【详解】
设 ，代入 得： .
故选：B.
20．（陕西省西安中学2021届高三下学期第六次模拟数学（文）试题）已知复数 为虚数单位
在复平面内对应的点为 ，复数 满足 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． 点的坐标为 B．
C． 的最大值为 D． 的最小值为
【答案】D
【分析】
A：根据复数的表达式直接写出 点的坐标进行判断即可；
B：根据复数的共轭复数的定义进行判断即可；
C，D：根据复数模的几何意义，结合圆的性质进行判断即可.
【详解】
A：因为复数 为虚数单位 在复平面内对应的点为 ，所以 点的坐标为 ，因此本选项结
论正确；
B：因为 ，所以 ，因此本选项结论正确；
C，D：设 ，在复平面内对应的点为 ，设
因为 ，所以点 到点 的距离为1，因此点 是在以 为圆心，1为半径的圆，
表示圆 上的点到 点距离，
因此 ，
，所以选项C的结论正确，选项D的结论不正确，故选：D
【点睛】
关键点睛：根据 的几何意义，结合圆的性质是解题的关键.
二、多选题
21．（江苏省扬州市公道中学2020-2021学年高二下学期第二次学情测试数学试题）在下列命题中，正确
命题的个数为（ ）
A．两个复数不能比较大小；
B．若 是纯虚数，则实数 ；
C． 的一个充要条件是 ；
D． 的充要条件是 .
【答案】CD
【分析】
根据复数的概念依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：对于A选项，两个复数为实数时，可以比较大小，故A选项错误；
对于B选项，若 是纯虚数，则 且 ，解得 ，故B选项错误；
对于C选项，若 ，则 的虚部为 ， ，反之，若 ，则 的虚部为 ，故C选项正确；
对于D选项，设 ，若 ，则 ， ，若 ，
则 ，所以 ，
故D选项正确.
故选：CD.
22．（江苏省常州市溧阳市2020-2021学年高一下学期期末数学试题）下列结论正确的是（ ）
A．若复数 满足 ，则 为纯虚数
B．若复数 ， 满足 ，则C．若复数 满足 ，则
D．若复数 满足 ，则
【答案】CD
【分析】
直接利用复数代数形式的运算法则，复数的模，复数的几何意义结合选项判断各选项即可．
【详解】
解：对于A：设 ，则 ，
由于 ，所以 ，故 ，
当 时， 为实数，故A错误；
对于B：设 ， ，
所以 ， ，
由于复数 ， 满足 ，
所以 ，
则 ，整理得 ．
所以 ，故B错误；
对于C：设 ，所以 ，
由于复数 满足 ，所以 ，故 ，故C正确；
对于D：设 ，因为 ，所以 ，
所以该曲线为以 为圆心，1为半径的圆，
故 ， ，所以 ， ，故D正确．
故选：CD．23．（第七章复数7.2复数的四则运算7.2.1复数的加、减运算及其几何意义）已知复数 （i为
虚数单位）在复平面内对应的点为 ，复数z满足 ，下列结论正确的是（ ）
A． 点的坐标为 B．复数 的共轭复数对应的点与点 关于虚轴对称
C．复数z对应的点Z在一条直线上 D． 与z对应的点Z间的距离的最小值为
【答案】ACD
【分析】
根据复数对应的坐标，判断A选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B选项的
正确性.设出 ，利用 ，结合复数模的运算进行化简，由此判断出 点的轨迹，由此判读C选
项的正确性.结合C选项的分析，由点到直线的距离公式判断D选项的正确性.
【详解】
复数 在复平面内对应的点为 ，A正确；
复数 的共轭复数对应的点与点 关于实轴对称，B错误；
设 ，代入 ，得 ，即 ，
整理得， ；即Z点在直线 上，C正确；
易知点 到直线 的垂线段的长度即为 、Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最
小值为 ，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题.
24．（山东省济南市2020届高三6月针对性训练（仿真模拟）数学试题）已知复数（其中i为虚数单位）下列说法正确的是（ ）
A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限
B．z可能为实数
C．
D． 的实部为
【答案】BCD
【分析】
由 ，得 ，得 ，可判断A选项；当虚部 时，
可判断B选项；由复数的模的计算和余弦的二倍角公式可判断C选项；由复数的除法运算得
的实部是 ，可判断D选项；
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以A选项错误；
当 时，复数z是实数，故B选项正确；
，故C选项正确；
， 的实部是
，故D选项正确；
故选：BCD.
【点睛】
本题考查复数的概念，复数的模的计算，复数的运算，以及三角函数的恒等变换公式的应用，属于中档题.
25．（2021·安徽·六安一中高一期末）设复数 的共轭复数为 ， 为虚数单位，则下列命题正确的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 的最小值是
【答案】ABD
【分析】
设 ，利用复数的运算法则以及共轭复数的定义即可判断A、B，根据复数的模的定义可判
断C，根据复数的模的几何意义即可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】
设 ，
对于选项A： ，所以 ，所以 ，故选项A正确；
对于选项B： ，所以 ，即 ，故选项B正确；
对于选项C： ，则 ，故选项C不正确；
对于选项D： 即 表示点 到点
和到点 的距离相等，所以复数 对应的点的轨迹为线段 的垂直平分线，因为 中
点为 ， ，所以 的中垂线为 ，整理可得： ，所以
表示点 到 的距离，所以 ，故选项
D正确，
故选：ABD.
第II卷（非选择题）三、填空题
26．（福建省仙游第一中学2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题）若 ，且
，则 ___________.
【答案】400
【分析】
根据 转化 ，可求得 ，同理转化 即可求值.
【详解】
，又 ，
∴ ，而 ，
∴ ，则 .
故答案为： .
27．（重庆市万州纯阳中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学试题）已知复数 满足
，则 的最小值为_______.
【答案】
【分析】
设复数 ，由给定等式求出x，y的关系 ，再求直线 上的点到两定点
与 距离和的最小值即可.
【详解】
设复数 ，由 得： ，整理得 ，
表示直线 上的动点P到定点 与 距离的和，
设点 关于直线 对称点 ，连AB交直线 于点 ，如图，而点P是直线 上任意一点，由对称性质知：
，
当且仅当 与 重合时取“=”，由 得 ，即点 ，
所以 .
故答案为： .
28．（江苏省南通市如东县2020-2021学年高一下学期期中数学试题）设复数 ， ，满足 ，
， ，则 __________．
【答案】
【分析】
根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出 的
值.
【详解】
设 在复平面中对应的向量为 ， 对应的向量为 ，如下图所示：因为 ，所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
故答案为：
【点睛】
结论点睛：复数的几何意义：
（1）复数 复平面内的点 ；
（2）复数 平面向量 .
29．（上海市2022届高三上学期一模暨春考模拟卷（五）数学试题）已知复数 ， ， 满足
, （其中 是给定的实数），则 的实部是___________（用含
有 的式子表示）.
【答案】
【分析】令 ，根据 ，再利用 ， 为 的实
部的2倍求解.
【详解】
令 ，
，
，
，
再由 ，
可得
，
.
故答案为： .
30．（2020·上海·高三专题练习）若 ， ，则实数 ， 应满足的条件为________.
【答案】 或
【分析】
根据复数的运算得出 ，再由复数是实数的条件得出实数 ，
应满足的条件.【详解】
因为 ，故有 ,所以 或 ，
即 或 是a，b应满足的条件.
故答案为： 或 .
【点睛】
本题考查复数的运算和复数的概念，属于中档题.任务三:邪恶模式(困难)1-20题
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知复数 对应复平面内的动点为
，模为1的纯虚数 对应复平面内的点为 ，若 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】B
【分析】
根据已知条件结合复数的几何意义确定 所对应点的轨迹方程，然后确定 ，结合复数几何意义及圆的
切割线定理即可求出结果.
【详解】设 （ ），则 ，
即 所对应点在以 为圆心，1为半径的圆上，
设该圆与 轴交点 ，
因为模为1的纯虚数 对应复平面内的点为 ，即 ，
若 ，则 为 的中点，故 对应的点 不合题意，舍去，
因此 ，由圆的切割线定理可得 ，
设 ，则 ，则 ，则 .
故选：B.
2．（2022·上海·高三专题练习）已知 、 ，且 ， （ 是虚数单位），
则 的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】
本题首先可设 ，根据 得出点 的轨迹是以 为圆心、 为半径的圆，
然后设 ，根据 得出点 的轨迹是一条直线，最后通过求出直
线上的点到圆的最短距离即可得出结果.
【详解】
设复数 ，对应的点为 ，
，即 ， ，
点 的轨迹是以 为圆心、 为半径的圆，设复数 ，对应的点为 ，
，即 ，
化简可得 ，点 的轨迹是一条直线，
表示点 与点 的距离，即圆上的一点到直线的距离，
圆 与直线 相离，
圆心 到直线 的距离 ，
故 的最小值为 ，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查复数的几何意义，能否根据题意得出点 的轨迹是以 为圆心、 为半径的
圆以及点 的轨迹是一条直线是解决本题的关键，考查直线上的点到圆的距离的最值的求法，考查计
算能力，是中档题.
3．（2021·全国·高三专题练习（理））已知 为虚数单位，则复数
的虚部为（ ）
A． B． C．1010 D．1011
【答案】B
【分析】
用错位相减法求得复数 后可得虚部．
【详解】
因为 ，
所以 ，相减得 ，
所以 ，虚部为 ．
故选：B．
4．（2022·全国·高三专题练习）瑞士数学家欧拉被认为是历史上最伟大的数学家之一，他发现了欧拉
公式 ，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特
别是当 时，得到一个令人着迷的优美恒等式 ，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对
数的底 ，圆周率 ，虚数单位 ，自然数的单位1和数字0）联系到了一起，若 表示的复数对应的点
在第二象限，则 可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
将选项中所给的角逐一带入，由欧拉公式把复数 化为三角形式，再化为代数形式，即可判断复数在复平
面内对应的点在第几象限，从而得到结果.
【详解】
得 ，
当 时， ，复数对应的点 在第一象限；
当 时， ，复数对应的点 在第二象限；
当 时， ，复数对应的点 在 轴上；当 时， ，复数对应的点 在第四象限；
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：该题考查的是有关数学文化类问题，正确解题的关键是理解欧拉公式，并能将复数三角形式
熟练化为代数形式，确定出复数在复平面内对应的点.
5．（2021·江苏·高三月考）若存在复数 同时满足 ， ，则实数 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设 ，求得 的表达式，利用三角换元法求得 的取值范围.
【详解】
由题意可设 ，则有 ，又因为 ，
即 ，所以 ，
可设 ， ，（ 为任意角），
则
，
当 时取到最大值；当 时取到最小值，所以实数 的取值范围是 .
故选：C
【点睛】
当遇到形如 的式子时，可利用三角换元 ，结合三角函数的知识来求解.
6．（2022·全国·高三专题练习（理））已知复数 的模为 ，复数 .则在复平面内，复数 所对应的点与点 的距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设 ，由复数三角形式的运算可得 ，由此确定 对应的
点，利用两点间距离公式表示出所求距离，结合三角恒等变换公式将所求距离最值化为关于 的二次函
数最值的求解问题，由此求得结果.
【详解】
， 可设 ， ，
对应的点坐标为 ，
对应的点与 的距离 ，
，
当 时， .
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查两点间距离最值的求解问题，解题关键是能够将两点间距离表示为关于 的二次
函数的形式，利用二次函数的最值求得结果.
7．（2022·江苏·高三专题练习）已知复数 满足： ，那
么 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出复数 对应的点的轨迹，再利用数形结合分析得解.
【详解】
表示 的轨迹是以 为圆心，以1为半径的圆；
表示 的轨迹是以 为圆心，以1为半径的圆；
，表示 的轨迹是直线 ，如图所示：
表示直线 上的点 到圆 和圆 上的点的距离，
先作出点 关于直线 的对称点 ，连接 , 与直线 交于点 .
的最小值为 .
故选：A
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是能由复数方程得到复数对应的点的轨迹，通过数形结合分析得到动点处于
何位置时， 取到最小值.意在考查学生对复数的轨迹问题的理解掌握水平.
8．（2020·全国·高三专题练习）设复数 （i是虚数单位），则
（ ）
A． B． C． D．0【答案】D
【分析】
先化简 ，再根据所求式子为 ，从而求得结果．
【详解】
解：复数 是虚数单位），
而 ，
而 ，
故 ，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．
9．（2022·全国·高三专题练习）若集合 ，
，则 中元素的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】A
【分析】
推导出集合 表示的图象为 ， ，集合 表示的图象为双曲线 ，从而
，进而 中元素的个数为0．
【详解】
解： 集合 ，
集合 表示的图象为：半圆 ， ，， ， ， ，
集合 的表示图象为：双曲线 ，
，
∴ 中元素的个数为0，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查交集中元素个数的求法，考查双曲线、圆、复数、反三角函数的性质等基础知识，考查运算
求解能力能力，属于难题．
10．（2021·全国·高三专题练习（理））已知复数z满足z 4且z |z| 0，则z2019的值为
A．﹣1 B．﹣2 2019 C．1 D．2 2019
【答案】D
【分析】
首先设复数z=a+bi（a，b∈R），根据z 4和z |z| 0得出方程组，求解可得：
z ，通过计算可得： ，代入即可得解.
【详解】
设z=a+bi（a，b∈R），
由z 4且z |z|=0，得
，解得a=﹣1，b .
∴z ，
而 1，
.
∴ .故选：D.
【点睛】
本题考查了复数的计算，考查了共轭复数，要求较高的计算能力，属于较难题.
11．（2020·湖南·湘潭一中高三月考（理））设 是虚数单位，则 的值为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.
【详解】
解：设 ,
可得： ，
则 ，
，
可得： ，
可得： ，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.
12．（2019·贵州·贵阳一中高三月考（文））已知复数 ， 是z的共轭复数，则
（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】利用 的周期性可求 ，再利用复数的除法可求 ，求出 的模后可求 .
【详解】
因为 （ ）， ，
所以 ，
所以 ，而 ，
故选B．
【点睛】
本题考查复数的除法、乘方和复数的模，注意计算复数和的时候需利用 的周期性，该问题属于中档题.
二、多选题
13．（2021·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（）
A．若 ，则
B．若复数 ， 满足 ，则
C．若复数 的平方是纯虚数，则复数 的实部和虚部相等
D．“ ”是“复数 是虚数”的必要不充分条件
【答案】AD
【分析】
由 求得 判断A；设出 ， ，证明在满足 时，不一定有 判断B；举例说明C
错误；由充分必要条件的判定说明D正确.
【详解】
若 ，则 ，故A正确；设 ，
由 ，可得
则 ，而 不一定为0，故
B错误；
当 时 为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误；
若复数 是虚数，则 ，即
所以“ ”是“复数 是虚数”的必要不充分条件，故D正确；
故选：AD.
【点睛】
本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.
14．（2021·山东山东·高三月考）欧拉公式 （其中 为虚数单位， ）是由瑞士著
名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复
变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．复数 对应的点位于第三象限 B． 为纯虚数
C．复数 的模长等于 D． 的共轭复数为
【答案】BC
【分析】
本题首先可根据 、 判断出A错误，然后根据 判断出B正确，再然后根据
以及复数的模长计算公式判断出C正确，最后根据 的共
轭复数为 判断出D错误.【详解】
A项：由题可知， ，
因为 ， ，所以复数 对应的点位于第二象限，A错误；
B项： ，则 为纯虚数，B正确；
C项： ，
则复数 的模长为：
，C正确；
D项： ，共轭复数为 ，D错误，
故选：BC.
【点睛】
关键点点睛：本题考查主要复数的相关性质，考查复数所对应的点所在象限的判断，考查复数的模以及共
轭复数，考查同角三角函数关系的应用，考查计算能力，是中档题.
15．（2020·湖北·武汉大学高三）设复数 的实部和虚部都是整数，则（ ）
A． 的实部都能被2 整除
B． 的实部都能被3 整除
C． 的实部都能被4 整除
D． 的实部都能被5 整除
【答案】BD
【分析】设 分别计算出 代入化简即可.
【详解】
设 则
因为
可以被2整除，当 为奇数时 不能被2整除，故排除A.
因为 ，由费马小定理得 能被3整除，故B对.
的实部为 ，当 为奇数时 也为奇数，故不能被4整除，C排除.
的实部为 ，由费马小定理 能被5整除，故 能被5整
除，故D对.
故选：BD.
16．（2020·湖北·武汉大学高三）设 是非零复数，它们的实部和虚部都是非负实数，则 （
）
A．最小值为 B．没有最小值 C．最大值为2 D．没有最大值
【答案】AD
【分析】
在复平面内（ 为坐标原点），设复数 对应的点分别为 ，利用复数的几何意义及向量的加法和平面向量数量积，将 进行等价变形，然后结合已知条件及均值不等式即可判断
的最值情况.
【详解】
解：在复平面内（ 为坐标原点），设复数 对应的点分别为 ，
因为 是非零复数，它们的实部和虚部都是非负实数，
所以 ，从而有 ），
所以
，
又由均值不等式有 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，当且仅当 ，且 （比如 ）时等号成立.
故选：AD.
第II卷（非选择题）
三、填空题
17．（2021·全国·高三专题练习）在复平面内，等腰直角三角形 以 为斜边（其中 为坐标原点），若 对应的复数 ，则直角顶点 对应的复数 _____________.
【答案】 或
【分析】
根据复数的几何意义 由 ，得到 ，点 的坐标为 ，设点 的坐标为 ，再根
据三角形 是以 为斜边的等腰直角三角形，则有 ，再运算求解..
【详解】
因为 ，
所以 ，点 的坐标为 .
设点 的坐标为 ，
则 .
由题意得， ，
所以 ，
解得 或 ，
所以复数 或 .
故答案为： 或 .
【点睛】
本题主要考查了复数的几何意义，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
18．（2021·全国·高三专题练习）若复数 满足 ，则 的取值范围是______．【答案】
【分析】
根据复数 的模 的几何意义，结合 的几何意义，设出圆上任意一点坐标，利用两点间距
离公式列式，化简求得 的取值范围.
【详解】
由于复数 满足 ，故复数 对应的点在圆心为原点，半径为 的圆上，设圆上任意一点的坐标为
. 表示圆上的点到 和 两点距离之和，即
①，①式平方得
，由于 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
【点睛】
本小题主要考查复数模的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题.
19．（2022·全国·高三专题练习）设复数 在复平面上对应的向量为 ，将 绕原点 逆时
针旋转 个 角后得到向量 ，向量 所对应的复数为 ，若 ，则自然数 的最小数
值为___________
【答案】
【分析】
将复数 表示为三角的形式，可得出 的三角表示，根据 可得出关于 的表达式，进而可求得自然数
的最小值.【详解】
因为 ，
将 绕原点 逆时针旋转 个 角后得到向量 ，向量 所对应的复数为 ，
则 ，
因为 ，所以， ，所以， ，
所以， ，当 时， 取得最小值 .
故答案为： .
20．（2020·上海市奉贤区曙光中学高三期中）已知 ，函数 为偶函数，
则 ＝________.
【答案】
【分析】
根据 为偶函数求得 ，由此求得 .
【详解】
由于 为偶函数，所以 ，
即 ，，
所以 .
设 ，
则
,
故答案为：
【点睛】
根据函数的奇偶性来求参数，主要利用的是函数奇偶性的定义列方程，化简后可求得参数值.复数 的模为
，可设为 ，然后利用同角三角函数的基本关系式来化简所求.
