文档内容
热点 5-1 等差数列的通项及前 n 项和
主要考查等差数列的基本量计算和基本性质、等差数列的中项性质、判定与证明，这是高考热点；等差数
列的求和及综合应用是高考考查的重点。这部分内容难度以中、低档题为主，结合等比数列一般设置一道
选择题和一道解答题。
【题型1 等差数列的基本量计算】
满分技巧
1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a ，a ，d，n，S ，知其中三个就能求另外两个，
1 n n
体现了方程思想．
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 和d是等差数列的两个基本量，
1
用它们表示已知量和未知量是常用方法．
【例1】（2023·四川乐山·统考一模）设等差数列 的前 项和 ，若 ， ，则
（ ）
A．63 B．51 C．45 D．27
【答案】B
【解析】由题意知等差数列 中， ， ，
设首项为 ，公差为d，
则 ，即 ，解得 ，
故 ，故选：B
【变式1-1】（2023·全国·高三校联考期中）记等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则的公差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，
因为 且 ，可得 ，解得 .故选：C.
【变式1-2】（2023·广东广州·高三广雅中学校考阶段练习）已知数列 是等差数列， 是其前
项和.若 ， ，则 的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为 ，
则 ，解得 ，所以 .故选：C
【变式1-3】（2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中校联考阶段练习）已知等差数列 的前n项和为 ，若
， ，则 .
【答案】0
【解析】设数列 的公差为d，由已知有 ， ，解得 ， ，
所以 .
【题型2 等差数列性质的应用】
满分技巧
1、在等差数列{a}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，
n
还可变形为a ＝a＋(m－n)d.
m n
2、等差数列{a}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
n
3、等差数列{a}中，若m＋n＝p＋q，则a＋a ＝a＋a(n，m，p，q∈N*)，
n n m p q
特别地，若m＋n＝2p，则a＋a ＝2a.
n m p
【例2】（2023·全国·模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ， ，则 （
）
A．60 B．120 C．180 D．240
【答案】C
【解析】根据等差数列下标和性质可知 ，得 ，所以 ．故选：C．
【变式2-1】（2023·山东济宁·高三统考期中）设等差数列 的前n项和为 ，已知 ，
，则 （ ）．
A．32 B．64 C．80 D．128
【答案】B
【解析】因为 是等差数列，所以 ，则 ；
又 ，则 ；则 .故选：B.
【变式2-2】（2023·上海·高三校考期中）已知数列 是等差数列，
，则 .
【答案】
【解析】因为数列 是等差数列，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 .
【变式2-3】（2023·河南·高三校联考期中）（多选）记等差数列 的前n项和为 ，则根据下列条件能
够确定 的值的是（ ）
A． B． C． ， D． ，
【答案】AD
【解析】 ，所以A正确，
由于 ，结合 ,所以B错误，
对于C， ， ，故C错误，
对于D， ，
，所以 ，
又 ，
所以 ，故D正确，故选：AD【题型3 等差数列的单调性及应用】
满分技巧
当公差 时，等差数列的通项公式 是关于 的一次函数，且一次项系数为
公差 .若公差 ，则为递增数列，若公差 ，则为递减数列．
【例3】（2022·广东惠州·统考一模）设等差数列 的公差为d，若 ，则“ ”是“ （
）”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】充分性：若 ，则 ，即 ，
∴ ，即 ，所以充分性成立；
必要性：若 ，即 ，∴ ，则 ，必要性成立.
因此，“ ”是“ ”的充要条件.故选：C.
【变式3-1】（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）若等差数列 的前 项和为 ，且满足
，对任意正整数 ，都有 ，则 的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】C
【解析】依题意 ，
又 ，即 ，则
则 ，且 ，
所以等差数列 单调递减， ，
所以对任意正整数 ，都有 ，则 ．故选，C．
【变式3-2】（2022·湖北襄阳·高二校考阶段练习）（多选）设等差数列 的前n项和为 ，若
，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 是递减数列 B． C．当 时， D．
【答案】ABCD
【解析】若 ，可得 ，可得B正确；
故数列为递减数列，故A正确；因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为数列是递减数列，故当 时， ，故C正确；
，故D正确；故选：ABCD.
【变式3-3】（2023·黑龙江·高三校联考阶段练习）（多选）若数列 是等差数列，公差 ，则下列
对数列 的判断正确的是（ ）
A．若 ，则数列 是递减数列
B．若 ，则数列 是递增数列
C．若 ，则数列 是公差为d的等差数列
D．若 ，则数列 是公差为 的等差数列
【答案】AD
【解析】由 且 ，
A：由 ，即数列 是递减数列，对；
B：由 ，若 时，如 ， 不单调，错；
C：由 ，则数列 是公差为 的等差数列，错；
D：由 ，则数列 是公差为 的等差数列，对.故选：AD
【题型4 等差数列前n项和性质应用】
满分技巧
1、等差数列的依次k项之和，S，S －S，S －S ，…组成公差为k2d的等差数列．
k 2k k 3k 2k
2、数列{a}是等差数列⇔S＝an2＋bn(a，b为常数) 数列为等差数列．
n n
3、若S 表示奇数项的和，S 表示偶数项的和，公差为d，
奇 偶 ⇔
①当项数为偶数2n时，S －S ＝nd，＝；
偶 奇
②当项数为奇数2n－1时，S －S ＝a，＝.
奇 偶 n
【例4】（2024·四川宜宾·南溪第一中学校校考模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设等差数列 的公差为 ，因为 ，
可知 是以首项为 ，公差为 的等差数列，
则 ，即 ，解得 ，
所以 .故选：D.
【变式4-1】（2023·湖北荆州·高三松滋市第一中学校考阶段练习）等差数列 、 的前 项和分别为
与 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等差数列性质得， ，
等差数列 前n项和满足 ，则 ，
等差数列 前n项和满足 ，则 ，
所以 .故选：B.
【变式4-2】（2023·海南·校联考模拟预测）等差数列 前 项和分别为 ，且 ，则
.
【答案】
【解析】由等差数列性质可得 ，解得 .
【变式4-3】（2023·安徽安庆·高三安徽省太湖中学校考阶段练习）（多选）已知 为数列 的前 和，
下列说法正确的是（ ）
A．若数列 为等差数列，则 ， ， 为等差数列
B．若 为等比数列，则 ， ， 为等比数列
C．若 为等差数列，则 ， ， 为等差数列D．若 为等比数列，则 ， ， 为等比数列
【答案】AC
【解析】对于B和D，当公比 时，且m为偶数时， ，
此时 ， ， 不为等比数列；
，此时 ， ， 不为等比数列，则B和D错误；
对于A，若数列 为等差数列，设公差为 ，则 ，
， ，
由等差数列片段和性质知 ， ， 为等差数列，公差为 ,A正确；
对于C，若 为等差数列，设公差为 ，
则 ，
， ，
则 ，所以 ， ， 为等差数列，C正确；故选：
【题型5 等差数列前n项和的最值问题】
满分技巧
1、二次函数法： 将S＝na＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，
n 1
但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．
2、邻项变号法：当a>0，d<0，时，S 取得最大值；当a<0，d>0，时，S 取得最小值．
1 n 1 n
特别地，若a>0，d>0，则S 是{S}的最小值；若a<0，d<0，则S 是{S}的最大值．
1 1 n 1 1 n
【例5】（2023·贵州·高三贵阳一中校考阶段练习）已知 是等差数列 的前 项和，且 ，且
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设数列 的首项为 ，公差为 ，
由 ，可得 ，
又由 ，可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
可得等差数列 为递减数列，又因为 ，所以 ，
故等差数列 的前 项和 最大值为 .故选；A.
【变式5-1】（2023·黑龙江·高三省实验中学校考阶段练习）等差数列 的前n项和为
则 的最大值为（ ）
A．60 B．45 C．30 D．15
【答案】B
【解析】因为
则 ，
则 ，则 ，
令 ，解得： ，
因为 是等差数列，
所以当 时， ， ，当 时， ，
所以 的最大值为 .故选：B.
【变式5-2】（2023·江苏无锡·高三江阴市第一中学校考阶段练习）（多选）递增等差数列 ，满足
，前n项和为 ，下列选项正确的是（ ）
A． B． C．当 时 最小 D． 时n的最小值为8
【答案】ABD
【解析】A、B：由题意可设等差数列 的公差为d，
因为 ，可得 ，解得 ，
又由等差数列 是递增数列，可知 ，则 ，故A，B正确.
C： ，
由 得，当 或4时 最小，故C错误.
D：令 ，解得 或 ，即 时n的最小值为8，故D正确.故选：
ABD.
【变式5-3】（2023·河北石家庄·高三新乐市第一中学校考开学考试）（多选）已知等差数列 ，其前n项和为 ，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．使 的 的最大值为 C．公差 D．当 时 最大
【答案】ACD
【解析】 等差数列 ， ，
又 ， ，A正确.
, C正确.
,
使 的n的最大值为 . B错误.
当 ，所以当 时 最大. D正确.故选：ACD
【题型6 含绝对值的等差数列求和】
【例6】（2023·上海·高三校考期中）在公差为 的等差数列 中，已知 ，且 ， ， 成
等比数列．
（1）求 ， ；
（2）若 ， ，求 ．
【答案】（1） 时 ， 时 ；（2）
【解析】（1）公差为 的等差数列 中，已知 ，且 ， ， 成等比数列．
所以 ，即 解得 或 ，
①当 时， ．
②当 时， ．
（2）因为 ，所以 ，
令 ，
①当 时， ，所以 ，
所以 ．
②当 时， ，
所以 ， ，
， ．故 ．
又 ，
且当 时 ，
所以 ，则 ，解得 或 （舍去）.所以 .
【变式6-1】（2023·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知 是等差数列 的前 项和，
且 .
（1）求数列 的通项公式与前 项和 ；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，则 ，解得 .
所以数列 的通项公式为 ，
数列 的前 项和 .
（2）由 得 ，所以当 时， ， ；
由 得 ，所以当 时， ， .
所以，当 时， ；
当 时，
.
所以， .
【变式6-2】（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求 的通项公式
（2）若 ，求 的前 项和 .【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由 ，
当 时，可得 ，
当 时， ，适合上式，
所以数列 的通项公式为 .
（2）由 ，可得 ，则 ，
令 ，可得 ，
当 时，可得 ，
当 时，可得
，
因为 ，所以 ，
所以 .
【变式6-3】（2023·重庆·万州第三中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 的前 项和为 ，设 ，求 的最小值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以当 时， ，所以 ；
当 时， ，
所以 ，所以 ，
又 满足上式，所以数列 的通项公式为 .（2）由（1）知 ，
当 时， ；
当 时，
；
所以 ，
当 时， 递减，所以 ；
当 时， ，
设 ，
则 ，令 得 ，此时 单调递增，
令 得 ，此时 单调递减，
所以 在 时递减，在 时递增，
而 ， ，且 ，所以 ；
综上， 的最小值为 .
【题型7 等差数列的判定与证明】
满分技巧
1、定义法： 或 是等差数列；
2、定义变形法：验证是否满足 ；
3、等差中项法： 为等差数列；
4、通项公式法：通项公式形如 为常数 为等差数列；
5、前n项和公式法： 为常数 为等差数列．
注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项 ，使得 即可；
（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．【例7】（2023·广东深圳·高三校考阶段练习）已知公比大于1的等比数列 满足： ，
．
（1）求 的通项公式；
（2）记数列 的前n项和为 ，若 ， ，证明： 是等差数列．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）方法1：设公比为 ，因为 是等比数列，所以 ，
又 ，解得 或 ．
又 ，所以 ，所以 ， ．
因此 ；
方法2：设公比为 ，由等比数列性质得出 ，解得 或 ，
又 ，所以 ，
因此 ．
（2）由（1）得 ，所以 ，
两式作差可得 ，
即 ，整理得 ， ．
方程同除以 得， ，即 （ ）．
所以数列 是公差为 的等差数列．
【变式7-1】（2023·黑龙江·高三佳木斯一中校考阶段练习）已知数列 的首项为 ，前 项和为 ．已
知 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 成等比数列，求 的最小值及取到最小值时 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2） 或 时 ．
【解析】（1）证明：因为 ①，
当 时， ②，①-②得， ，
即 ，所以 且 ，
所以 是以1为公差的等差数列．
（2）由（1）可得 ， ， ，
又 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 ，
所以，当 或 时 ．
【变式7-2】（2023·辽宁·高三校联考期中）设数列 的各项都为正数，且 ．
（1）证明数列 为等差数列；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由数列 的各项都为正数，且 ，
得 ，即 ，
所以数列 是以 为公差的等差数列；
（2） ，由（1）得 ，
所以 ，则 ，
所以 .
【变式7-3】（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知正项数列 的前 项和为 ，满
足 .
（1）证明：数列 为等差数列；（2）设数列 ，求数列 前 项和 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，则 ，
整理 ，
又数列 为正项数列，则 ，
所以 ，即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ；
（2）由（1）得 ，则
，
所以
.
【题型8 等差数列的实际应用】
【例8】（2023·海南海口·校联考一模）家庭农场是指以农户家庭成员为主要劳动力的新型农业经营主体．
某家庭农场从2019年开始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同额度的收益，已知2019年的收益为30万元，2021年的收益为50万元．照此规律，从2019年至2026年该家庭农场的总收益为（
）
A．630万元 B．350万元 C．420万元 D．520万元
【答案】D
【解析】依题意，该家庭农场每年收益依次成等差数列，设为 ，
可得 ， ，所以公差为 ，
所以2019年至2026年该家庭农场的总收益为 ，故选：D
【变式8-1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模） 基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至 年
月底， 地区已经累计开通 基站 个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进 网络建设．
已知 年 月该地区计划新建 个 基站，以后每个月比上一个月多建 个，则 地区到 年
月底累计开通 基站的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得， 年 月及之后该地区每个月建设的 基站数量为等差数列，且公差为 ，
则到 年 月底要经过 个月，预计 地区到 年 月底累计可开通
个 基站．故选：D．
【变式8-2】（2023·江西·校联考模拟预测）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.
十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、
申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，
天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，
以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”
重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为（ ）
A．癸未年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年
【答案】A
【解析】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，
由于 ，余数为0，故100年后天干为癸，由于 ，余数为4，
故100年后地支为未，
综上：100年后的2123年为癸未年.故选：A .
【变式8-3】（2022·江苏南通·高三统考期中）（多选）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段
叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；
驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则（ ）
A．驽马第七日行九十四里 B．第七日良马先至齐C．第八日二马相逢 D．二马相逢时良马行一千三百九十五里
【答案】AD
【解析】由题意可知，两马日行里数都成等差数列;
记数列 为良马的日行里数，其中首项 公差
所以数列 的通项公式为
记数列 为驽马的日行里数，其中首项 公差
所以数列 的通项公式为
因此，对于A，驽马第七日行里数为 ，
即驽马第七日行九十四里；故A正确；
第七日良马行走总里程为 ，而齐去长安一千一百二十五里，
因为 ，所以第七日良马未至齐；所以B错误；
设第 日两马相逢，由题意可知两马行走的总里数是齐去长安距离的两倍，
即 ，解得 或 （舍），
即第九日二马相逢；故C错误；
由C可知，第九日二马相逢，此时良马共行走了 ，
所以，二马相逢时良马行一千三百九十五里，所以D正确；故选：AD.
（建议用时：60分钟）
1．（2023·四川乐山·统考一模）设等差数列 的前 项和 ，若 ， ，则 （
）
A．18 B．27 C．45 D．63
【答案】C
【解析】由题意得 成等差数列，即 成等差数列，
即 ，解得 .故选：C
2．（2023·重庆渝中·高三统考期中）已知数列 均为等差数列，且 ，设数列
前 项的和为 ，则 （ ）
A．84 B．540 C．780 D．920
【答案】D
【解析】根据题意可设数列 的公差分别为 ；
由 可知 ，即可知数列 是以 为首项，公差为 的等差数列，
所以可得 ，
即可得 ，
所以 .故选：D
3．（2023·全国·模拟预测）已知数列 为等差数列，其前 项和为 ，且 ， ，则
（ ）
A．63 B．72 C．135 D．144
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，则 ．
由 ，得 ，解得 ．
又因为 ，所以 ，
所以 ．故选：C．
4．（2023·北京·高三顺义区第一中学校考阶段练习）若等差数列 和等比数列 满足 ，
， ，则 的公差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
则 ，解得 ，所以， ，
故 .故选：D.
5．（2023·海南·高三海南中学校考阶段练习）在等差数列 中， ，其前 项和为 ，且
，则 的值等于（ ）
A． B． C．2023 D．2024
【答案】B
【解析】设等差数列 的公差为 ， ，
所以数列 是等差数列，公差为 ，
又 ，则 ，即 ，又 ，所以 ，
，解得 .故选：B.
6．（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）已知数列 满足： ，且 .若
恒成立，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 .
由题知， ，即 ，化简得 ，且 不为0.
所以 ，所以数列 是等差数列.
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，解得 ，即公差 .
所以 ，所以 ，
所以 .故选：C.
7．（2023·江西南昌·高三江西师大附中校考期中）设等差数列 的前 项和为 ，已知
， ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，其定义域为 关于原点对称，
且 ，
所以函数 是奇函数，
又 ，
所以函数 是增函数，
由题意 ，
从而 ，即 ，
所以 ，整理得 ，所以由等差数列的性质可知 ，
由等差数列前 项和公式可知 .故选：B.
8．（2023·黑龙江·高三大兴安岭实验中学校考阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 ，若
，则 （ ）
A．45 B．60 C．160 D．80
【答案】A
【解析】因为等差数列 中 ，又 ，
所以 ，即 ，又 ，
所以 .故选：A
9．（2023·河南三门峡·高三陕州中学校考阶段练习）已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，
成等差数列，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】D
【解析】根据等比数列的片段和性质有 ，
由 ， ， 成等差数列，有 ，
即 ，故有 ，
又因为数列为正项等比数列，则 ，
即 ，
当且仅当 时，等号成立.故选：D.
10．（2023·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习）已知 为等比数列， 是它的前n项和，若
，且 与 的等差中项为 ，则S 等于（ ）
5
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 与 的等差中项为 ，所以 ，
设等比数列 的公比为 ，
又 ，得： ，解得： ，
则 ，故选：C.11．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中）（多选）已知 是等差数列 的前n项和，且
， ，则下列选项正确的是（ ）
A．数列 为递减数列 B． C． 的最大值为 D．
【答案】ABC
【解析】设等差数列 的公差为d，
由于 ， ，故 ，则 ，B正确；
，则数列 为递减数列，A正确，
由以上分析可知 ， 时， ，
故 的最大值为 ，C正确；
，D错误，故选：ABC
12．（2023·河南·高三校联考阶段练习）（多选）已知各项都是实数的数列 的前 项和为 ，则下列
说法正确的是（ ）
A．若 ，则数列 是递减数列
B．若 ，则数列 无最大值
C．若数列 为等比数列，则 为等比数列
D．若数列 为等差数列，则 为等差数列
【答案】ACD
【解析】对于选项 ，当 时， ，
又 ，所以 ，则 是递减数列，故A正确；
对于选项 是递减数列，所以 ，故B错误；
对于选项 ，由题意得 各项均不为0，设 公比为 ，
即 ，且 0，即 ，
所以 ，故C正确；
对于选项D，若数列 为等差数列，则 ，
所以 即数列 为等差数列，故D正确.故选：ACD.
13．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）（多选）已知数列 的前 项和为 ，则下列说法正
确的是（ ）
A． B．数列 是递增数列
C．数列 的最小项为 和 D．满足 的最大正整数【答案】ABD
【解析】 ， 当 时， ；
当 时， ；
， .
， 数列 是递增数列，故选项A、B正确；
，
当 或 时 最小，即数列 的最小项为 和 ，故选项C错误，
令 ，得 ， ，即满足 的最大正整数 ，故选项D正确.故选：ABD
14．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知数列 的前 项和为 ，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，存在 ， ，使得数列 是等差数列
B．当 时，存在 ， ，使得数列 是等比数列
C．当 时，存在 ， ，使得数列 是等差数列
D．当 时，存在 ， ，使得数列 是等比数列
【答案】ABC
【解析】因为 ，当 时， ，
当 时， ，两式相减可得， ，
当 时，当 时， ，则 ，即 ，
当 ，即 ， 时，数列 是等差数列，A正确；
当 时，由 ，数列 是等比数列，B正确；
当 时，当 时， ，
即 ，
当 ，即 时， ，
此时数列 是等差数列，C正确；
当 时， ，
即 ，此时数列 既不是等差数列又不是等比数列，D错误.故选：ABC
15．（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）求 的最小值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
由 ， ，可得 ，解得 ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知 ，可得数列 为递增数列，且 ，
所以当 时， ；当 时， ；当 时， ，
所以，当 或 时， 取得最小值，即 ，
所以 ，故 的最小值为 .
16．（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）在等差数列 中，已知公差 ， ，且 ， ，
成等比数列.
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求 的值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1） ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
化简得 ，解得 或 ，又 ，所以 ，
可得数列 的通项公式 ；
（2）由（1）得 ，由 ，得 ，
由 ，得 ，设数列 的前n项和为 ，
所以
，
所以 .
