文档内容
热点 7-1 直线与圆综合
1、直线的方程、直线平行与垂直、点到直线的距离公式等多以选择题、填空题的形式出现，难度较小；
2、圆是高考数学的热点命题，常与圆锥曲线相结合，求圆的方程、弦长、面积等，此类试题难度中等，
多以选择题或填空题的形式考查；
3、直线与圆偶尔单独命题，有时也会出现在压轴题的位置，多与导数、圆锥曲线相结合，难度较大，对
直线与圆的方程的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上。
【题型1 直线的倾斜角与斜率】
满分技巧
1、求倾斜角的取值范围的一般步骤
（1）求出斜率k＝tan α的取值范围．
（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
2、斜率取值范围的2种求法
（1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；
（2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
【例1】（2022·全国·模拟预测）“直线 的倾斜角为锐角”是“直线 的斜率不小于 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-1】（2023·江西宜春·高三丰城中学校考阶段练习）设直线 的方程为 ，则
的倾斜角 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【变式1-2】（2024·北京·高三北理工附中校考开学考试）已知直线 ， 的斜率分别为 ， ，倾斜角分
别为 ， ，则“ "是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-3】（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考一模）已知直线 的倾斜角 满足 ，则 的斜
率 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2024·全国·高三专题练习）（多选）已知点 ， ，斜率为k的直线l过点
，则下列斜率k的取值范围能使直线l与线段 相交的有（ ）
A． B． C． D．
【题型2 直线方程及过定点问题】
满分技巧
1、求解直线方程的两种方法
（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；
（2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程
(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程
2、直线过定点：过 与 的交点的直线可设为：
【例2】（2024·山东青岛·高三统考期末）对于直线 ，下列选项正确的为（ ）
A．直线 倾斜角为 B．直线 在 轴上的截距为
C．直线 的一个方向向量为 D．直线 经过第二象限
【变式2-1】（2023·湖北荆州·高三公安县车胤中学校考期末）已知直线 的一个方向向量为 ，且经
过点 ，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）已知点 ,直线 与 轴相
交于点 ,则△ 中 边上的高 所在直线的方程是（ ）A． B． C． D．
【变式2-3】（2023·福建莆田·高三莆田第十中学校考阶段练习）已知 的三个顶点分别为
.
（1）求边 的垂直平分线的方程；
（2）已知平行四边形 ，求点 的坐标.
【变式2-4】（2022·江苏宿迁·高三沭阳如东中学校考期中）（多选）已知直线 ，直线
，且 与 相交于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 过定点 过定点
B．点 的轨迹方程为
C．点 到点 和点 距离之和的最大值为
D．设 ，则 的最大值为
【题型3 直线的平行与垂直问题】
满分技巧
1、由一般式方程确定两直线位置关系的方法
l：Ax＋By＋C ＝0(A ＋B ≠0)，
1 1 1 1
直线方程
l：Ax＋By＋C ＝0(A ＋B ≠0)
2 2 2 2
l 与l 垂直的充要条件 AA＋BB＝0
1 2 1 2 1 2
l 与l 平行的充分条件
1 2 ＝ ≠ (ABC ≠0)
2 2 2
l 与l 相交的充分条件
1 2 ≠ (AB≠0)
2 2
l 与l 重合的充分条件
1 2 ＝ ＝ (ABC ≠0)
2 2 2
2、平行垂直直线一般方程的设法：
（1）平行：与直线 垂直的直线方程可设为
（2）垂直：与直线 垂直的直线方程可设为
【例3】（2024·山东青岛·高三统考期末）“ ”是“直线 与 平
行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式3-1】（2023·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）已知 ， ，直线 和
垂直，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知直线 ，
，则（ ）
A． 恒过点 B．若 ，则
C．若 ，则 D．当 时， 不经过第三象限
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）过点 且与直线 平行的直线方程为 .
【变式3-4】（2023·广东珠海·统考模拟预测）过点 且与直线 垂直的直线方程是
（ ）
A． B． C． D．
【题型4 直线的距离问题及应用】
满分技巧
点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
【例4】（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）点 到双曲线 的渐近线的距离为
（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）圆 上到直线 的距离等于1的点
的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）已知两条平行直线 ：
， ： ，则 与 间的距离为 .【变式4-3】（2022·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）若直线 与 垂直，
直线 的方程为 ，则 与 间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2023·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）已知 是椭圆 上的动点，则 点到
直线 的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 直线的对称问题及应用】
满分技巧
1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足Error!
2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，
则有Error!
4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知直线 ，直线 ，若直线 关于直线l的
对称直线为 ，则直线 的方程为 ．
【变式5-1】（2024·广东·高三广东实验中学校联考期末）直线 关于直线 对称的直线方
程是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023·湖北·高三校联考阶段练习）直线 关于 轴对称的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2022·江苏扬州·高三统考阶段练习）与直线 关于 轴对称的直线的方程为
（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2024·陕西西安·统考一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽
火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营
所在的位置为 ．若将军从山脚下的点 处出发，河岸线所在直线方程为 ，则“将
军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 圆的标准方程与一般方程】
满分技巧
求圆的方程的方法
1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关
于
a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
（2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F的
方程组，进而求出D，E，F的值．
【例6】（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）圆心在 轴上，半径为1，且过点 的圆的方
程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（2023·河南·高三阶段练习）“ ”是“方程 表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式6-2】（2023·广西·统考模拟预测）（多选）若点 在圆 的外部，则
的取值可能为（ ）
A． B．1 C．4 D．7
【变式6-3】（2023·安徽·高三校联考期末）若圆 关于直线 对称，则
．
【变式6-4】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆 与两坐标轴交于 四点，其中
，点 在 轴正半轴上，点 在 轴的正半轴上，圆 的内接四边形 的面积为
，则圆 的方程为（ ）
A． B．C． D．
【题型7 圆的切线方程与切线长】
满分技巧
1、求过一点(x ，y )的圆的切线方程的方法
0 0
（1）几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y ＝k(x－x )，即kx－y＋y －kx ＝0.由圆心到直
0 0 0 0
线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证；
（2）代数法：当斜率存在时，设为 k，则切线方程为y－y ＝k(x－x )，即y＝kx－kx ＋y ，代入圆的方
0 0 0 0
程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行
验证
2 、 切 线 长 ： 若 圆 的 方 程 为 ， 则 过 圆 外 一 点 的 切 线 长 为
.
【例7】（2024·福建·高三校联考开学考试）过点 的直线l与圆 相切，则直线
l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）设点 是直线 与直线
的交点，过点 作圆 的切线，请写出其中一条切线的方程： ．（只需写一条即
可）．
【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知点 在圆 ．上，点 ，若 的
最小值为 ，则过点A且与圆C相切的直线方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【变式7-3】（2024·安徽池州·高三统考期末）已知过点 与圆： 相切的两条直线分
别是 ，若 的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式7-4】（2024·广东广州·高三广州市玉岩中学校考开学考试）已知点 是直线 上的
一点，过点P作圆 的两条切线，切点分别是点A，B，则四边形PACB的面积的
最小值为（ ）A． B． C． D．
【题型8 圆的切点弦及弦长问题】
满分技巧
1、直线与圆相交时的弦长求法：
（1）几何法：利用圆的半径 ，圆心到直线的距离 ，弦长 之间的关系 ，整理出弦长
公式为：
（2）代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长；
（3）弦长公式法：设直线 与圆的交点为 ， ，将直线方程代入圆的方程，
消元后利用根与系数的关系得到弦长
2、切点弦方程：过 外一点 作圆的两条切线，切点分别为 ，
则切点弦 所在直线方程为：
【例8】（2024·广东深圳·高三统考期末）已知直线 与圆 交于 两点，则
的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
【变式8-1】（2024·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考开学考试）过圆 外一点
作圆 的切线，切点分别为 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2024·陕西·校联考一模）已知圆 截直线 所得弦的长度为
，则实数a的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）过直线 上一点M作圆C： 的两条切线，切点分
别为P，Q．若直线PQ过点 ，则直线PQ的方程为（ ）A． B． C． D．
【变式8-4】（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知圆 ，直线
，过 的直线 与圆 相交于 两点，
（1）当直线 与直线 垂直时，求证：直线 过圆心 .
（2）当 时，求直线 的方程.
【题型9 两圆的公共弦问题】
满分技巧
两圆公共弦所在直线方程
圆 ： ，圆 ： ，
则 为两相交圆公共弦方程.
【例9】（2023·广东揭阳·高三统考期中）已知圆 ： ，圆 ： ，
则圆 与圆 的公共弦所在直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（2023·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知圆O的直径 ，动点M满足
，则点M的轨迹与圆O的相交弦长为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）已知 是 ： 上一点，过
点 作圆 ： 的两条切线，切点分别为A，B，则当直线AB与 平行时，直线AB的方程为（
）
A． B． C． D．
【变式9-3】（2024·山东临沂·高三统考期末）过圆C： 外一点 作圆C的切线，切点
分别为A，B，则直线 过定点（ ）
A． B． C． D．
【变式9-4】（2023·四川·高三校联考阶段练习）设圆 ： 和圆 ：交于A，B两点，则四边形 的面积为（ ）
A．12 B． C．6 D．
【题型10 两圆的公切线问题】
满分技巧
两圆公切线方程的确定
（1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为 ，由公切线的意义（两圆公公的切线）可
知，两圆心到直线 的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于 和 的方程，解这个方程组
得到 ， 的值，即可写出公切线的方程；
（2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程。
【例10】（2023·河北衡水·高三校考阶段练习）圆 与圆 的公切线条
数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式10-1】（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）已知圆 ，圆
，下列直线中不能与圆 ， 同时相切的是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（2024·四川成都·高三成都七中校考期末）在直角坐标平面内，点 到直线 的距离为
3，点 到直线 的距离为2，则满足条件的直线 的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式10-3】（2024·山东·高三烟台二中校联考开学考试）圆 和圆
的公切线方程是（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【变式10-4】（2023·全国·模拟预测）圆 与圆 的公切线
长为 .
（建议用时：60分钟）
1．（2024·浙江·校联考一模）圆 的圆心 坐标和半径 分别为（ ）A． B． C． D．
2．（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知直线 与直线
互相平行，则实数 的值（ ）
A．-2 B．-2或1 C．2 D．1
3．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知直线 与直线 垂直，则
的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（2023·陕西榆林·高三榆林市第一中学校联考阶段练习）已知A，B是圆C： 的两
点，且 是正三角形，则直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·山东滨州·高三统考期末）已知直线 与圆 交于 两点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·上海静安·统考二模）设直线 与 关于直线 对称，则直线 的方
程是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·山东青岛·高三统考期末）圆 与圆 相交于A、B两
点，则 （ ）
A．2 B． C． D．6
8．（2023·江苏苏州·高三统考期中）圆 与圆 的公切线的条
数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）（多选）已知 是直线 上的一个动点，过点
作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则下列说法中正确的是（ ）
A．若 ， B．若 ，直线 的方程为
C．直线 经过一个定点 D．弦 的中点在一个定圆上
10．（2024·云南昆明·统考一模）（多选）已知圆 ，直线 ，点 在直线 上运
动，
过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，当 最大时，则（ ）
A．直线 的斜率为1 B．四边形 的面积为
C． D．
11．（2023·广东广州·广东实验中学校考一模）（多选）已知直线 ： 与直线 ：
，其中 ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 或 或 B．若 ，则 或C．直线 和直线 均与圆 相切 D．直线 和直线 的斜率一定都存在
12．（2024·江苏·高三统考期末）已知 的顶点是 ， ， ，则 的外接圆的
方程是 ．
13．（2024·河南周口·高三统考阶段练习）已知圆C： 不经过第三象限，则实数m
的最大值为 ．
14．（2023·安徽六安·高三毛坦厂中学校考阶段练习）设直线 的方程为 .
（1）求证：不论a为何值，直线 必过一定点P；
（2）若直线 分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A，B，当 面积最小时，求 的周长；
（3）当直线 在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线 的方程.
15．（2024·山东济宁·高三校考开学考试）过直线 上一点 作圆 的
两条切线，切点分别为 ，则线段 的长度的范围是 ．
16．（2023·辽宁大连·高三校联考期中）已知圆 的圆心与点 关于直线 对称，且圆
与 轴相切于原点 .
（1）求圆M的方程；
（2）若在圆 中存在弦 ，且弦 中点 在直线 上，求实数 的取值范围.
