文档内容
专题 15.4 分式方程及分式方程的实际应用
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 分式方程的定义】....................................................................................................................................1
【考点二 解分式方程】............................................................................................................................................3
【考点三 已知分式方程的增根求参数】................................................................................................................7
【考点四 已知分式方程的无解求参数】................................................................................................................9
【考点五 根据分式方程解的情况求值】..............................................................................................................12
【考点六 列分式方程】..........................................................................................................................................14
【考点七 分式方程的实际应用】..........................................................................................................................16
【过关检测】............................................................................................................................................................19
【典型例题】
【考点一 分式方程的定义】
例题：（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）下列关于 的方程① ，② ，③ ，
④ 中，是分式方程的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练】
1．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）下列关于 的方程：① ；② ；③
；④ ，其中是分式方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（23-24八年级下·全国·课后作业）给出下列关于x的方程：① ，② ，③ ，
④ ．其中，分式方程有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）下列关于x的方程中（1） ；（2） ；（3）
；（4） ；（5） ，其中是分式方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点二 解分式方程】
例题：（24-25八年级上·山东东营·期中）解方程：
(1)
(2)
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）解下列分式方程：
(1)
(2)
2．（24-25八年级上·全国·期末）解方程：
(1)
(2)
3．（24-25八年级上·全国·期末）解方程：
(1)
(2)
4．（2024八年级上·全国·专题练习）解方程：
(1)
(2)(3)
【考点三 已知分式方程的增根求参数】
例题：（24-25八年级上·全国·单元测试）已知关于 的分式方程 有增根，则 ．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江大庆·统考三模）关于x的方程 有增根，则m的值是_____．
2．（23-24八年级下·广东河源·期末）关于 的方程 有增根，则 的值为 ．
3．（2024·山东菏泽·模拟预测）若关于 的方程： 有增根，则 ．
【考点四 已知分式方程的无解求参数】
例题：（23-24八年级上·山东聊城·单元测试）若关于x的分式方 无解，则m的值为
．
【变式训练】
1．（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于 的方程 无解，则 的值是 ．
2．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）若关于 的方程 无解，则 的值为 ．
3．（23-24八年级下·山东临沂·开学考试）关于 的分式方程 无解，则 的值为
．
【考点五 根据分式方程解的情况求值】
例题：（23-24九年级下·山东日照·开学考试）若关于 的分式方程 有非负整数解，则 的
取值范围是 ．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）若关于 的分式方程 有正整数解，则整数 为 ．2．（24-25八年级上·全国·单元测试）若关于 的方程 有整数解，则 的值为 ．
3．（23-24九年级上·山东淄博·期末）已知关于x的方程 的解是正数，则m的取值范围为 ．
【考点六 列分式方程】
例题：（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）利川到武汉高速路程约为580公里，乘坐大巴比乘坐轿车多
用2小时30分，已知轿车比大巴车每小时多行驶20km，设大巴车的速度为 ，依题意，列方程
．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装
裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是 ，且四周边衬的宽度相
等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为 ．
2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的
使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多
0.4万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x
万元，那么根据题意可列方程 ．
3．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）甲、乙两人在果园摘草莓，甲每小时比乙每小时多摘 个，乙摘
个所用时间比甲摘 个所用时间多 分钟，求甲摘 个草莓、乙摘 个草莓时间分别为多少小时．
设甲摘 个草莓时间为 小时，则可列分式方程为 ．
【考点七 分式方程的实际应用】
例题：（2024·湖南长沙·模拟预测）2023年12月，21世纪经济研究院发布《国际消费中心城市建设年度报
告（2023）》，长沙被列为发展型消费中心城市（Gamma级）．根据市场需求，长沙市某企业为加快生产
速度，更新了部分生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了 ，若更新设备前每天生产产品 件．
据此解答下列问题：(1)更新设备后每天生产 件产品（用含 的式子表示）；
(2)更新设备后生产6000件产品还比更新设备前的生产5000件产品少用2天，则更新设备后每天生产多少
件产品？
【变式训练】
1．（2024·吉林长春·模拟预测）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和
足球．已知每个篮球的价格是每个足球的价格的 倍，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的
数量多2个．求每个足球的价格．
2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）某新建高铁站站前广场需要绿化的面积为 ，甲施工队在绿
化了 后，由于赶工期，临时调乙施工队加入施工，乙施工队每天的工作量是甲施工队的1.2倍，
结果提前12天完成了该项绿化工程．
(1)甲施工队每天完成多少 ？
(2)高铁站给付工程款的标准是15元/ ，求甲、乙施工队分别可得多少工程款．
3．（23-24九年级上·四川成都·期中）京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、
乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需
天数的 ；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．
为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出
你的判断并说明理由．【过关检测】
一、单选题
1．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
⑥ ，分式方程的个数是（ ）
A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④
2．（24-25八年级上·河北沧州·期中）解分式方程 时，去分母变形为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·河北沧州·期中）石家庄市某小区为了改善环境，计划在花坛种植200株花，由于大学
生志愿者的加入，每小时比原计划多种20株，结果提前1小时完成任务．设原计划每小时种x株，根据题
意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25八年级上·山东威海·期中）若关于 的方程 的解为正数，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
5．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知关于 的分式方程 无解，则所有满足条件的整数
的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．（24-25九年级上·四川成都·期中）方程 的解为 ．7．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知关于x的分式方程 有增根，则 ．
8．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）对于非零的两个有理数 ， ，规定 ．若 ，
则 ．
9．（24-25八年级上·山东东营·期中）关于x的方程 的解为非负数，则a的取值范围为
．
10．（24-25九年级上·重庆·期中）关于 的一元一次不等式组 至少有2个整数解，且关
于 的分式方程 的解为非负整数，则符合条件的整数 的值之和为 ．
三、解答题
11．（24-25八年级上·山东威海·期中）解方程
(1) ；
(2) ．
12．（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程：
(1)
(2)
13．（24-25七年级上·上海·期中）解方程：
(1) ；
(2) ．
14．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活
中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，学校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套．已知 元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多 套，且《古今数
学思想》的单价是《什么是数学》单价的 倍．求每套《古今数学思想》的价格．
15．（2024九年级上·全国·专题练习）解分式方程： ．
解：方程两边同乘以 ，得 ，……第一步
去括号，得 ，……第二步
移项､合并同类项，得 ，……第三步
方程两边同除以2，得 ，……第四步
经检验 是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为 ．……第五步
任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________；
②上述解题过程是从第__________步开始出现错误的，错误的原因是
__________________________________；
任务二：请直接写出分式方程正确的解．
16．（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）（1）已知关于 的分式方程 有增根，求 的值．
（2）关于 的方程 有整数解，求此时整数 的值．
17．（24-25八年级上·山东威海·期中）关于x的分式方程 的解为正数，且使关于y的一元
一次不等式组 有解，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？
18．（22-23八年级上·湖南娄底·期中）已知关于x的分式方程 ．
(1)若分式方程的根是 ，求a的值；
(2)若分式方程有增根，求a的值；
(3)若分式方程无解，求a的值．
19．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）观察下列方程的特征及其解的特点．① 的解为 ， ；
② 的解为 ， ；
③ 的解为 ，
解答下列问题：
(1)请你写出一个符合上述特征的方程为________，其解为________；
(2)根据这类方程的特征，写出第 个方程为________，其解为________；
20．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）先阅读下面例题的解法，再完成后面的问题．
例题：已知 ，求A，B的值．
解：将等式两边都乘 得：
去括号整理得：
所以 ，解得
(1)已知 ，求A，B的值；
(2)根据（1）中的结果，若 ，求x
的值．
