文档内容
专题 15.4 分式方程（4 大知识点 9 类题型）（知识梳理与题型分类
讲解）
第一部分【知识点归纳与题型目录】
【知识点1】分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
【要点提示】
（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有
未
知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
【知识点2】分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉
分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解
分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因
式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若
最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
【知识点3】解分式方程产生增根的原因
方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.
产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，
对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的
增根.
【要点提示】（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以
（或
除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么
所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.
（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而
是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.
【知识点4】分式方程的应用
分式方程的应用主要就是列方程解应用题.
列分式方程解应用题按下列步骤进行：
（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；
（2）设未知数；
（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；
（4）解这个分式方程；
（5）验根，检验是否是增根；
（6）写出答案.
题型目录
【题型1】分式方程的定义.....................................................2
【题型2】解分式方程.........................................................3
【题型3】分式方程的增根.....................................................3
【题型4】根据分式方程解的情况求值...........................................4
【题型5】分式方程的无解问题.................................................4
【题型6】列分式方程.........................................................4
【题型7】分式方程的实际应用.................................................5
【题型8】直通中考...........................................................6
【题型9】拓展延伸...........................................................6
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】分式方程的定义
【例1】（21-22八年级上·北京门头沟·期中）阅读下列材料：① 的解为x＝1，②的解为x＝2，③ 的解为x＝3．请你观察上述方程与解得
特征，写出能反映上述方程一般规律的方程 ，这个方程的解为 ．
【变式1】（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）下列关于 的方程中，属于分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）一列方程如下排列：
的解是 ；
的解是 ；
的解是 ；
……
根据观察得到的规律，写出其中解是 的方程： ．
【题型2】解分式方程
【例2】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）解方程：
(1) ； (2) ．
【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）若关于 的方程 有增根．求 的值．
【变式2】（22-23八年级上·四川绵阳·期末）关于 的分式方程 （ ，且 为整数）的解为
整数，则 的可能取值的和为（ ）
A．15 B．17 C．22 D．28
【题型3】分式方程的增根
【例3】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）若关于 的分式方程 有增根，则 的值是
．
【变式1】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）若关于x的方程 有增根，则a的值为（ ）A．2 B．0 C． D．
【变式2】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）对于非零的两个有理数 ， ，规定 ．若
，则 ．
【题型4】根据分式方程解的情况求值
【例4】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知关于 的方程 ．
(1)当 取何值时，此方程的解为 ；
(2)当 取何值时，此方程会产生增根；
(3)当此方程的解是正数时，求 的取值范围．
【变式1】（22-23八年级上·四川绵阳·期末）关于 的分式方程 （ ，且 为整数）的解为
整数，则 的可能取值的和为（ ）
A．15 B．17 C．22 D．28
【变式2】（24-25八年级上·山东东营·期中）关于x的方程 的解为非负数，则a的取值
范围为 ．
【题型5】分式方程的无解问题
【例5】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）求当 为何值时，关于 的方程 无解．
【变式1】（24-25八年级上·重庆·期中）若关于x的方程 无解，则m的值为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【变式2】（24-25九年级上·四川眉山·开学考试）若关于 的方程 无解，则 的值为 ．
【题型6】列分式方程
【例6】（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）力旺中学图书馆计划购进《什么是数学》和《古今数学
思想》若干套，已知 元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多40套，且《古今数学思
想》的单价是《什么是数学》单价的 倍．求每套《什么是数学》的价格．根据题意，小刚、小明两名
同学分别列出来尚不完整的方程如下：
小刚： ；小明： ．(1)在小刚和小明两名同学所列的方程中，未知数 表示的意义分别为：
小刚： ；
小明： ．
(2)请你在括号里补全小刚和小明两名同学所列的方程．
(3)请选择一名同学的做法，写出完整的解答过程．
【变式1】（2024·湖南长沙·模拟预测） 九章算术 是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道
题译为白话文是：把一份文件用慢马送到 里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，
所需的时间比规定时间少 天．已知快马的速度是慢马的 倍，求规定时间．设规定时间为 天，则可列
方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（24-25八年级上·湖南永州·期中）机器人“哈德”和“撒旦”搬运原料，已知“撒旦”比
“哈德”每小时多搬运 ，且“撒旦”搬运 所用时间与“哈德”搬运 所用时间相同．设
“哈德”每小时搬运 原料，依题，可列方程为 ．
【题型7】分式方程的实际应用
【例7】（24-25九年级上·辽宁辽阳·阶段练习）野生木耳是本市著名特产之一．某土特产专卖店经销A，
B两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示：
品牌 A B
进货（元/袋）
销售（元/袋） 80 100
(1)第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品
牌所购得的数量相同，求 的值．
(2)第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进A，B两种品牌共180袋，销售时A、B
两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润
不低于3600元．
【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）一个人步行从 地出发，匀速向 地走去；同时另一个人骑
摩托车从 地出发，匀速向 地驶去．两人在途中相遇，如果骑摩托车者立即把步行者送到 地，再向地驶去，这样他在途中所用的时间是他从 地直接驶往 地所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者与步行者
的速度比是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，琳琳和华华相约周末到家乡美食小镇游玩，两
人同时分别到达小吃摊位 和 ，并约在出口 会合，琳琳从 经过 摊位，最后到达出口 ，华华从
摊位直接前往出口 ，速度与琳琳从 到 的速度相同，两人在每两个地点间均匀速前进，各点间距
如图所示．若琳琳从 到 的速度比从 到 的速度慢 ，且从 到 的时间为从 到 时间的
一半，则 （填“琳琳”或“华华”）先到达出口 ．
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型8】直通中考
【例1】（2024·江苏南通·中考真题）
（1）计算： ； （2）解方程 ．
【例2】（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排
放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加 ，结果提前
15天完成铺设任务．
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所
有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
【题型9】拓展延伸
【例1】（24-25八年级上·北京·期中）已知： ．
(1)当 时，判断 与0的关系，并说明理由；
(2)设 ．
①代入 ，化简得 ________；
②若 是正整数，则整数 的值为_______．【例2】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有
相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方
程”．
(1)判断方程 与 是否为“相似方程”，并说明理由；
(2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值．
