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秘籍 03 二项式定理归类
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、填空题☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 二项展开式与指定项系数
二项式定理消失了几年，作为新高考之后的模拟考中的常客是今年高考的热门，而且难度不大，题型
也相对较少，所以算是高考中必须要拿到的分数，至于二项展开式思想的应用也完全可以和数列等知识结
合考察，要明白其中的道理。
【题型一】 指定项系数问题
基本规律
二项展开式的通项公式 .可以求解某一项，也可求解某一项的系数）
1. 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C． D．
2.． 的展开式中 的系数为_____．
3.二项式 的展开式的常数项为第（ ）项
A．17 B．18 C．19 D．20
1．（2023·福建福州·统考二模）若二项式 展开式中存在常数项，则正整数n可以是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．72．（2023·广西·校联考模拟预测）二项式 的展开式中含 的项的系数为（ ）
A．-60 B．60 C．30 D．-30
3．（2023·北京西城·统考一模）在 的展开式中， 的系数为 （ ）
A． B．
C． D．
【题型二】 因式相乘型
基本规律
因式相乘型，可以采取乘法分配律，变为两式相加型再转而求对应通项系数
1. 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C．28 D．56
2.在 的展开式中常数项为（ ）
A．14 B．－14 C．6 D．－6
3. 的展开式中的 系数为（ ）
A． B． C．120 D．200
1．（2023·山西太原·统考一模） 的展开式中 的系数为（ ）
A．9 B．10 C．24 D．25
2．（2023·全国·模拟预测） 的展开式中 的系数为（ ）
A．85 B．5 C．-5 D．-853．（2023·贵州·统考模拟预测） 展开式中的常数项为（ ）
A．13 B．17 C．18 D．22
【题型三】 二项式给通项求 n 或参数
基本规律
利用二项展开式通信公式，待定系数法可求得。注意n值为正整数，可能存在分类讨论的情况。
1.若 的展开式中第 项为常数项，则 ______.
2.若 展开式中含 项的系数等于含x项的系数的8倍，则n等于（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
3.若 的展开式中存在常数项，则 可能的取值为（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·河南·校联考模拟预测）若 的展开式中 的系数为40，则k＝（ ）
A．2 B．4 C． D．
2．（2023·江苏南通·二模）已知 的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（ ）
A．60 B．80 C． D．
3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知 展开式的常数项为76，则
（ ）
A．1 B．61 C．2 D．【题型四】 因式相乘型给通项求参数
1.若 的展开式中 的系数为75，则 （ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
2.关于二项式 ，若展开式中含 的项的系数为 ，则 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
3.已知 的展开式中 的系数为40，则 的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
1．（2023·全国·模拟预测）已知 的展开式中含有常数项，则 的值及展开式中的常数项分
别为（ ）
A．3， B．4， C．3， D．4，
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模） 的展开式中，含 项的系数为 ，
则 （ ）
A．1 B． C． D．
3．（2022·全国·模拟预测）在 的展开式中，含 的项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【题型五】二项展开式赋值法
常见的通法是通过赋值使得多项式中的 变为 和 ，在本题中要使 即给等式中的 赋值 ，
求出展开式的常数项 ；1.若(x－2)5＝a x5＋a x4＋a x3＋a x2＋a x＋a ，则a ＋a ＋a ＝( )．
5 4 3 2 1 0 1 3 5
A．1 B．－1
C．121 D．106
2.若 的展开式中，奇数项的系数之和为-121，则n=___________。
3.设 ，若 ，
则实数 ________.
1．（2023·北京海淀·统考一模）若 ，则 （ ）
A． B．1 C．15 D．16
2．（2023·北京朝阳·统考一模）设 ，若 ，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知 ，
则 的值为（ ）
A．10 B． C．30 D．
【题型六】二项展开式赋值法
常见的通法是通过赋值使得多项式中的 变为 和 ，在本题中要使 即给等式中的 赋值 ，
求出展开式的常数项 ；
1.若(x－2)5＝a x5＋a x4＋a x3＋a x2＋a x＋a ，则a ＋a ＋a ＝( )．
5 4 3 2 1 0 1 3 5
A．1 B．－1
C．121 D．106
2.若 的展开式中，奇数项的系数之和为-121，则n=___________。3.设 ，若 ，
则实数 ________.
1．（2023·北京海淀·统考一模）若 ，则 （ ）
A． B．1 C．15 D．16
2．（2023·北京朝阳·统考一模）设 ，若 ，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知 ，
则 的值为（ ）
A．10 B． C．30 D．
【题型七】换元型
1.若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2.对任意实数x，有 则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3.若多项式 ，则 （ ）
A．9 B．10 C．-9 D．-10
1．（2023·江西南昌·统考一模）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：
对于任意实数 ，
当 比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得： ，并且 的值越小，所得
结果就越接近真实数据.用这个方法计算 的近似值，可以这样操作：
.
用这样的方法，估计 的近似值约为（ ）
A．2.922 B．2.926 C．2.928 D．2.930
2．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）若 是9的倍数，则自然数n
为（ ）
A．4的倍数 B．3的倍数 C．奇数 D．偶数
3．（2023·全国·模拟预测）若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【题型八】三项展开式
三项展开式的通项公式：
1.下列各式中，不是 的展开式中的项是（ ）
A． B． C． D．2.． 的展开式中， 的系数为（ ）
A．60 B． C．120 D．
3. 展开式中 的系数是___________.
1．（2023·全国·模拟预测）已知 的展开式中的所有项的系数和为512，则展开式中含 项的
系数为（ ）
A．－36 B．－18 C．18 D．36
2．（2023·浙江嘉兴·统考二模） 的展开式中 的系数为（ ）
A．-60 B．240 C．-360 D．720
3．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）在 的展开式中， 的系数为（ ）
A．60 B．15 C．120 D．30
高考模拟练习
1．（2023·全国·模拟预测） 的展开式中 的系数是（ ）
A．9 B．-9 C．10 D．-10
2．（2023·河南安阳·统考二模） 的展开式中各项系数的最大值为（ ）．
A．112 B．448 C．896 D．1792
3．（2023·吉林长春·校联考一模）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算
法》、《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成
就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问
题，如开方、数列等.我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和.
；
若杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，15，…构成数列 ，则关于数列 叙述正确的是（ ）
A． B．
C．数列 的前n项和为 D．数列 的前n项和为
4．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）若二项式 的展开式中只有第3项的二项式系数
最大，则展开式中 项的系数为（ ）
A．32 B． C．16 D．
5．（2023·浙江温州·统考二模） 展开式中二项式系数最大的是 ，则 不可能是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．（2023·内蒙古赤峰·校联考模拟预测）已知 的展开式中只有第4项的二项式系数
最大，且 项的系数为 ，则 的值为（ ）
A．40 B． C． D．127．（2023·四川南充·统考二模）在二项式 的展开式中，二项式的系数和为256，把展开式中
所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·安徽宿州·统考一模）设 ，若 ，则 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
9．（2023·重庆·统考二模）设 ， 其中 是自然对数的底数 ，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·山西·统考模拟预测） 除以5的余数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
