文档内容
秘籍 06 平面向量四大定理
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、填空题☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 投影向量与向量的投影的区别
平面向量是近几年小题的热点必考题型，主要考察学生对于向量的转化也就是基底思想的熟练程度，
包含了对于复杂知识的简单化也就是化归与转化的思想的掌握。近几年的向量也出现过单选的压轴题，考
察的大多为向量的三大定理之一。还有新教材新加的投影向量也是今年的热门知识点。
【题型一】 奔驰定理
为 内一点， ，则 .
重要结论： ， ， .
结论1：对于 内的任意一点 ， 若 、 、 的面积分别为 、 、 ，则：
.
即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.
结论2：对于 平面内的任意一点 ，若点 在 的外部，并且在 的内部或其对顶角的内部
所在区域时，则有 .
结论3：对于 内的任意一点 ， 若 ，则 、 、 的面积之比
为 .
即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.
结论4：对于 所在平面内不在三角形边上的任一点 ， ，则 、 、的面积分别为 .
1.设点 在 的内部，且 ，若 的面积是27，则 的面积为
（ ）
A．9 B．8 C． D．7
2.在 中， 为其内部一点，且满足 ，则 和 的面积比是（ ）
A．3：4 B．3:2 C．1:1 D．1:3
3.在平面上有 及内一点O满足关系式： 即称为经典的“奔驰定
理”，若 的三边为a，b，c，现有 则O为 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
1．（2021·四川凉山·统考三模）如图， 为 内任意一点，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .总有
优美等式 成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以
下命题：
①若 是 的重心，则有 ；
②若 成立，则 是 的内心；
③若 ，则 ；④若 是 的外心， ， ，则 .
则正确的命题有___________.
2．（2022·全国·模拟预测）在 中，点 是 的重心，过点 作直线分别交线段 ， 于点 ，
（ ， 不与 的顶点重合），则 的最小值为___________.
（多选）3．（2021·全国·模拟预测）如图，已知点G为 的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，
且D，G，E三点共线， ， ， ， ，记 ， ，四边形BDEC的面
积分别为 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【题型二】 极化恒等式
基础知识：A
简化：在△ 中， 是边 的中点，则 .
B D C
1.已知△ 是边长为 2 的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是
（ ）
2.在△ABC中，D是 BC的中点，E，F是 AD上的两个三等分点， ，
，则 的值是________.
3.已知球 的半径为1， 是球面上的两点，且 ，若点 是球面上任意一
点，则 的取值范围是A． B． C． D．
4.如图，已知正方形 的边长为2， 为 的中点，以 为圆心， 为半径，作圆交 于点
，若 为劣弧 上的动点，则 的最小值是____________.
1．（2023·全国·模拟预测）在边长为2的等边三角形 中， 为边 上的动点，则 的最小
值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·安徽合肥·高一合肥市第六中学校联考期中） 的外接圆的圆心为 ，满足且 ， ， ，则 （ ）．
A．36 B．24 C． D．
3．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知直线 ： 与圆 ： 交于A，B两点，Р为圆
О上一点，当弦长AB最小时，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【题型三】 等和线
等和线原理：
1.如图， 中， 是斜边 上一点，且满足： ,点 在过点 的直线上，若
, ,则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．2.设 ， ， 是平面内共线的三个不同的点，点 是 ， ， 所在直线外任意-点，且满足
，若点 在线段 的延长线上，则（ ）
A． ， B． ， C． D．
2π
3.如图，∠BAC= ，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且
3
⃑AP=x⃑AD+ y⃑AE(x、y∈R)，则x+ y的取值范围是（ ）
A．[1,4+2√3] B．[4−2√3,4+2√3] C．[1,2+√3] D．[2−√3,2+√3]
1．（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山市红星中学校考期中）在矩形ABCD中， ， ，动点P
在以点A为圆心的单位圆上．若 ，则 的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．2
2．（2023·重庆·统考模拟预测）在正方形 中，动点 从点 出发，经过 ， ，到达 ，
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（多选）3．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知 的内角A，B，C所对边的长分别为
a，b，c，已知 ， ， 的面积S满足 ，点O为 的外心，满足
，则下列结论正确的是（ ）A． B． C． D．
【题型四】 投影向量与向量的投影
1.向量 在 方向上的投影：设 为 、 的夹角，则 为 在 方向上的投影.
2.投影也是一个数量，不是向量.当 为锐角时投影为正值；当 为钝角时投影为负值；当 为直角时投影
为 ；当 时投影为 ；当 时投影为 .
3.向量的数量积的几何意义：数量积 等于 的长度与 在 方向上投影 的乘积.
1．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知非零向量 满足 ，且向量
在向量 方向的投影向量是 ，则向量 与 的夹角是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖南·校联考二模）已知向量 ， 满足 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向
量为（ ）
A．1 B． C． D．
（多选）3．（2023·广东梅州·统考二模）已知向量 ， ， ，则下列命题正确
的是（ ）
A．当且仅当 时， B． 在 上的投影向量为C．存在θ，使得 D．存在θ，使得
（多选）1．（2023·福建·统考模拟预测）已知向量 ， ，则（ ）
A． B．
C． 在 上的投影向量是 D． 在 上的投影向量是
2．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知平面向量 ， 满足 ， ，且 ， 的夹角大小为
，则 在 方向上的投影向量的坐标为__________．
3．（2023·青海西宁·统考二模）已知向量 ， 满足 ， ， ，则 在 上的投影为
___________.
高考模拟练习
1．（2023·安徽·校联考二模）如图，在 中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近
D，A的三等分点，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山东潍坊·校考模拟预测）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，P为AC边上的一个动
点，EF是以B为圆心，3为半径的圆的直径，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
3．（2022·安徽·芜湖一中校联考三模）平面上有 及其内一点O，构成如图所示图形，若将 ，
， 的面积分别记作 ， ， ，则有关系式 ．因图形和奔驰车
的 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
满足 ，则O为 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
4．（2022秋·江西赣州·高三校联考期中）奔驰定理：已知点O是 内的一点，若
的面积分别记为 ，则 ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结
论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知
O是 的垂心，且 ，则 （ ）A． B． C． D．
5．（2022春·河南安阳·高一统考期末）已知 是 内的一点，若 的面积分别记为
，则 .这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 很相似，故形象地称
其为“奔驰定理”.如图，已知 是 的垂心，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·模拟预测）如图，在平行四边形 中，E为 边上一点，且 ， 与 相
交于F.若 ，则 ___________.
7．（2023·福建漳州·统考三模）已知 ，点D满足 ，点E为线段CD上异于C，D的动点，若 ，则 的取值范围是_________.
8．（2019·四川眉山·仁寿一中校考一模）如图，在平面四边形 中， ，
， ，若点 为 边上的动点，则 的最小值为______．
9．（2023·河南郑州·统考一模）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，
长度为6的线段EF的中点为点B，则 的取值范围是___________.
10．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）设 为原点，双曲线 的右焦点为 ，点 在 的右支
上． 的取值范围是__________．
