文档内容
第 01 讲 导数的概念、运算及几何意义
（8 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
已知切线斜率求参数
2024年新I卷，第13题,5分 直线的点斜式方程
公切线问题
利用导数研究含参函数单调性
2024年新Ⅱ卷，第16题,15分 求在曲线上一点处的切线方程
根据极值求参数
利用导数研究函数的零点
2022年新I卷，第10题,5分 求在曲线上一点处的切线方程
求已知函数的极值点
抽象函数的奇偶性
2022年新I卷，第12题,5分 函数与导函数图象之间的关系
函数对称性的应用
2022年新I卷，第15题,5分 求过一点的切线方程 求某点处的导数值
2022年新Ⅱ卷，第14题,5分 求过一点的切线方程 无
2021年新I卷，第7题,5分 求过一点的切线方程 利用导数研究函数图象及性质
两条切线平行、垂直、重合
2021年新Ⅱ卷，第16题,5分 直线的点斜式方程及辨析
(公切线) 问题
2020年新I卷，第21题,12分 求在曲线上一点处的切线方程 利用导数研究不等式恒成立问题
2020年新Ⅱ卷，第22题,12分 求在曲线上一点处的切线方程 利用导数研究不等式恒成立问题
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分左右
【备考策略】1理解导数概念的实际背景，理解导数是关于瞬时变化率的数学表达，了解导数的本质与思
想,了解极限思想
2能通过函数图象直观理解导数的几何意
3能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简
单的复合函数的导数并.熟练使用导数公式表
4能理解导数的几何意义并会求切线方程【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查在曲线上一点的切线方程或过一点的切线方程，
需加强复习备考
知识讲解
1. 函数 在 处的导数
(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x 处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x 处的导数，记作f′(x)或
0 0 0
y′|x＝x，即f′(x)＝ ＝ 。
0 0
2. 函数 的导函数
如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函数f′(x)＝
lim 称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.
3. 八大常用函数的求导公式
（1） （ 为常数）
（2） 例： ， ， ，
，
（3） （4） （5）（6） （7） （8）
4. 导数的四则运算
（1）和的导数：
（2）差的导数：
（3）积的导数： （前导后不导 前不导后导）
（4）商的导数： ，
5. 复合函数的求导公式
中，设 （内函数），则 （外函数）
函数
6. 导数的几何意义
（1）导数的几何意义
函数 在 处的导数 就是曲线 在点 处的切线的斜率 ，即
．
（2）直线的点斜式方程
，斜率为 ，则直线的点斜式方程为：
直线的点斜式方程：已知直线过点
【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x，y)，求曲线过点P的切线，则需分点P(x，y)是
0 0 0 0
切点和不是切点两种情况求解．
（1）当点P(x，y)是切点时，切线方程为 ；
0 0
（2）当点P(x，y)不是切点时，可分以下几步完成：
0 0
第一步：设出切点坐标 ；
第二步：写出过 的切线方程为 ；
第三步：将点P的坐标(x，y)代入切线方程求出x；
0 0 1
第四步：将x 的值代入方程 ，可得过点P(x，y)的切线方程．
1 0 0
考点 一 、 导数的计算
1．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数：(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
(5)
(6)
(7)
(8)
2．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
1．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
2．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数．
(1)(2) ；
(3)
(4) .
3．（23-24高三上·山西临汾·阶段练习）求下列函数的导数：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
考点 二 、 求曲线切线的斜率或倾斜角
1．（全国·高考真题）曲线 在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）.
A． B． C．2 D．1
2．（全国·高考真题）曲线 在点 处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·上海嘉定·二模）已知曲线 上有一点 ，则过 点的切线的斜率为 ．
2．（2024·福建厦门·一模）已知直线 与曲线 在原点处相切，则 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．考点 三 、 求在曲线上一点的切线方程
1．（2021·全国·高考真题）曲线 在点 处的切线方程为 ．
2．（2023·全国·高考真题）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·高考真题）设函数 ，则曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围
成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·全国·模拟预测）函数 的图象在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北保定·三模）曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖北·模拟预测）写出函数 的一条斜率为正的切线方程： ．
考点 四 、 求过一点的切线方程
1．（2022·全国·高考真题）曲线 过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
2．（2024·贵州·模拟预测）过点 作曲线 的切线，请写出切线的方程 .1．（2023·全国·模拟预测）过原点可以作曲线 的两条切线，则这两条切线方程为
（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
2．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线 的切线，则切线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
考点 五 、 已知切线（斜率）求参数
1．（全国·高考真题）曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 ．
2．（2024·湖南长沙·二模）已知 ， ，直线 与曲线 相切，则
的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
1．（2024·四川遂宁·三模）曲线 在点 处切线的斜率为3，则实数 ．
2．（2024·浙江绍兴·二模）函数 在点 处的切线与直线 平行，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 ，若曲线 在 处的切线方程为
，则 ．
考点 六 、 两条切线平行、垂直问题
1．（2021·全国·高考真题）已知函数 ，函数 的图象在点 和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是 ．
2．（2023·四川凉山·一模）函数 在区间 的图象上存在两条相互垂直的切线，则 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河北邢台·二模）已知函数 的图像在 ， 两个不同点处的
切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的图象上存在不同的两点 ，使得曲线
在点 处的切线都与直线 垂直，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（山东·高考真题）若函数 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，
则称 具有 性质．下列函数中具有 性质的是
A． B． C． D．
3．（2024·河南·模拟预测）已知函数 的图象经过 两点，且 的图象在
处的切线互相垂直，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·河南·三模）已知函数 点 ， 在曲线 上（ 在第一象限），过
， 的切线相互平行，且分别交 轴于 ， 两点，则 的最小值为 ．
考点 七 、 公切线问题1．（2024·全国·高考真题）若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则
.
2．（全国·高考真题）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则
．
3．（2024·广东茂名·一模）曲线 与曲线 有公切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线 是曲线 和 的公切线，则实数a=
．
2．（2024·上海·三模）设曲线 和曲线 在它们的公共点 处有相同的切
线，则 的值为 .
3．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线 与 恰有两条公切线，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
考点 八 、 切线（方程）的综合应用
1．（2021·全国·高考真题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二下·辽宁本溪·期中）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·广东广州·模拟预测）已知直线 恒在曲线 的上方，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
1．（2024·全国·模拟预测）若直线 与曲线 相切，则 的最小值为（ ）
A． B．－2 C．－1 D．0
1．2．（2024·全国·模拟预测）若直线 与曲线 （ 且 ）无公共点，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·重庆·模拟预测）已知直线 与曲线 相切于点 ，若 ，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线 的一条切线方程为 ，则实数 （ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2024·河北保定·三模）已知二次函数 （ 且 ）的图象与曲线 交于点P，与
x轴交于点A（异于点O），若曲线 在点P处的切线为l，且l与AP垂直，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）若函数 ，点 是曲线 上任意一点，则点 到直线
的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知曲线 在 处的切线与直线 垂直，则
（ ）A．3 B． C．7 D．
5．（23-24高二下·山东枣庄·期中）若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 的最小距
离为（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2024·河南·模拟预测）函数 与直线 相切于点 ，则点 的横坐标为（ ）
A． B．1 C．2 D．
二、填空题
7．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ,则 的值为
.
8．（2024·山西朔州·模拟预测）已知A，B分别为曲线 和直线 上的点，则 的最小
值为 .
9．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 的图象在点 处的切线方程是 ，若
，则 的值为 .
10．（2024·四川·模拟预测）已知 ，直线 与曲线 相切，则
．
一、单选题
1．（2024·四川德阳·二模）已知直线 与曲线 相切，则 的值为（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2024·辽宁大连·一模）斜率为 的直线 与曲线 和圆 都相切，则实数 的值为
（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
3．（2024·重庆渝中·模拟预测）若斜率为1的直线 与曲线 和圆 都相切，则实数
的值为（ ）
A． B．1 C．3 D． 或34．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若直线 是曲线 与曲线 的
公切线，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·浙江金华·三模）若存在直线与曲线 ， 都相切，则a的范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知 ，若曲线 与直线 相切，则 ．
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的图象上存在不同的两点 ，使得曲线
在点 处的切线都与直线 垂直，则实数 的取值范围是 ．
8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）若直线 为曲线 的一条切线，则 的最大值为 .
9．（2024·山东临沂·二模）若直线 与曲线 相切，则 的取值范围为 .
10．（23-24高三上·江苏无锡·期末）已知函数 ，若函数 的图象在点
和点 处的两条切线相互平行且分别交 轴于 、 两点，则
的取值范围为 .
1．（2020·全国·高考真题）曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 .
2．（2020·全国·高考真题）函数 的图像在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系 中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经
过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 .
4．（2019·天津·高考真题） 曲线 在点 处的切线方程为 .
5．（2019·全国·高考真题）曲线 在点 处的切线方程为 ．6．（2019·全国·高考真题）已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则
A． B． C． D．
7．（2018·全国·高考真题）曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 ．
8．（2019·全国·高考真题）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为
A． B．
C． D．
9．（2018·全国·高考真题）设函数 ．若 为奇函数，则曲线 在点
处的切线方程为( )
A． B． C． D．
10．（2018·全国·高考真题）曲线 在点 处的切线方程为 ．
