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第 01 讲 直线的方程 (精练）
A 夯实基础 B 能力提升 C 综合素养
A 夯实基础
一、单选题
1．已知直线 的倾斜角为 ，且 在 轴上的截距为 ，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：因为直线 的倾斜角为 ，所以直线 的斜率 ，
又直线 在 轴上的截距为 ，所以直线 的方程为 ；
故选：C
2．直线 在 轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由直线 ，可化为
所以直线 在 轴上的截距为 .
故选：D.
3．已知 的三个顶点 ，则 的高CD所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由题意知： ，则 ，故CD所在的直线方程为 ，即
.
故选：D.
4．若直线l的方程是 ，则（ ）
A．直线经过点 ，斜率为 ；
B．直线经过点 ，斜率为 ；
C．直线经过点 ，斜率为 ；
D．直线经过点 ，斜率为1.【答案】C
直线方程化简为： ，所以直线经过点 ，斜率为 .
故选：C.
5．已知 为非零实数，且满足 ，则一次函数 的图象一定经过第
（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
由 ，可得 ，
分两种情况讨论：
当 时，可得 ，此时一次函数为 ，
可得直线 过第一、二、三象限；
当 时，即 ，可得 ，此时一次函数为 ，
可得直线 过第二、四象限，
综上所述，该直线 必经过第二象限．
故选：B.
6．无论 取何值，直线 恒过定点 ，则点 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：直线 可化为 ，
令 ，解得 ，
即直线 恒过定点 .
故选：C.
7．设点 ， ，若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
∵直线 过定点 ，且 ， ，由图可知直线与线段 有交点时，斜率 满足 或 ，
解得 ，
故选：D
8．已知直线 恒过定点A，点A在直线 上，其中m、n均为正数，则
的最小值为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
由 ，得 ．
∴直线 恒过定点 ，即 ，
∵点A在直线 上，∴ ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时取等号．∴ 的最小值为：8．
故选:C．
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B．点 关于直线 的对称点为
C．直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D．经过点 且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
【答案】AD
A：垂直于x轴的直线不存在斜率，错误；
B：由 、 中点为 且 ，两点所在直线的斜率为 ，故与 垂直，正确；C：令 有 ，令 有 ，所以围成的三角形的面积是 ，正确；
D：由 也过 且在x轴和y轴上截距都为0，错误.
故选：AD
10．已知直线 ，动直线 ，则下列结论正确的是（ ）
A．不存在 ，使得 的倾斜角为90° B．对任意的 ，直线 恒过定点
C．对任意的 ， 与 都不重合 D．对任意的 ， 与 都有公共点
【答案】BD
对A，当 时， ，符合倾斜角为90°，故A错误；
对B， ，解 可得 ，故 过定点 ，故B正确；
对C，当 时， ，显然与 重合，故C错误；
对D， 过定点 ，而 也在 上，故对任意的 ， 与 都有公共点，故D正确；
故选：BD
三、填空题
11．已知直线l被两条直线 和 截得的线段的中点为 ，则直线l的一
般式方程为______．
【答案】
设直线l的斜率为 ，因为直线l过 ，
所以直线方程为 ，
由 ，
由 ，由题意可知： 是截得的线段的中点，
所以 ，即 ，
故答案为：
12．在平面直角坐标系 内，经过点 的直线分别与 轴、 轴的正半轴交于 ， 两点，则
面积最小值为______．
【答案】12
设直线的方程 ，由过点 可得 ，则有 ； ； ；解得： ，当且仅当： 时， ， 时取等号；
所以
故答案为：12
四、解答题
13．已知直角坐标平面 内的两点 ， .
(1)求线段 的中垂线所在直线的方程；
(2)一束光线从点 射向 轴，反射后的光线过点 ，求反射光线所在的直线方程.
【答案】(1) (2)
(1)∵ ，
∴中点为 .且 .
∴线段 的中垂线的斜率为1，
∴由直线方程的点斜式可得线段 的中垂线所在直线方程为 即 .
(2)∵ 关于 轴的对称点 ，
∴
所以直线 的方程为： ，
即反射光线所在的直线方程为
14．已知直线 过点 .
(1)若直线 在两坐标轴上的截距相等，求直线 的方程；
(2)若直线 与x，y轴分别交于A，B两点且斜率为负，O为坐标原点，求 的最小值.
【答案】(1) 或 (2)
(1)解：当直线 过原点时，
则直线 的方程为 在两坐标轴上的截距相等；
当直线 不过原点时，设直线l的方程为 ，
将点 代入得 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，综上所述直线 的方程为 或 ；
(2)解：设直线 的方程为 ，
当 时， ，
当 时， ，
故 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 .
B 能力提升
1．若关于 的不等式 的解集为 ，且 ，则实数 的值为______.
【答案】
设 ，
则 的图象是一条过定点 的直线， 的图象是圆 的上半圆部分，
注意到点 在圆 上，故 关于原点的对称点 也在圆上，
如图示：当直线 经过点 时，满足关于 的不等式
，
由关于 的不等式 的解集为 ，且 ，
可知： ，此时直线的斜率即实数 ，
故答案为：
2．经过点 作直线 ，若直线 与连接 与 两点的线段总有公共点，则直线 的斜率 的
取值范围为________．
【答案】 或
如图，连接PA、PB，则直线PA与直线PB均与线段AB相交，
设直线PA的倾斜角为 ，直线PB的倾斜角为 ,
则符合要求的直线 的倾斜角范围为 ，
,
由题意知直线 的斜率存在，根据直线的倾斜角与斜率 的关系，
满足条件的直线 的斜率 的取值范围为 或
故答案为： 或
3．已知 ，动直线 ： 过定点A，动直线 ： 过定点 ，若直线 与
相交于点 异于点A， ，则 周长的最大值为___________.
【答案】
解：因为动直线 ： 过定点 ，
动直线 ： ，整理可得 ，可得定点 ，
因为 ，
所以两条直线垂直，设交点为 ，则 ，
所以 ，
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以周长为 ，
故答案为： .4．已知点A（2，-1），B（3，m），若 ，则直线AB的倾斜角的取值范围为
__________．
【答案】
设直线AB的倾斜角为α，
∵点A（2，-1），B（3，m），
∴直线AB的斜率 ，
又∵ ，
∴ ，
即k的取值范围为 ，
即 ，
又∵α∈[0，π），
∴ ，
故答案为： ．
5．设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 ，则
的最大值______.
【答案】
由 可知 ，所以该直线过定点 ，
由 可得 ，所以该直线过定点 ，
因为直线 与 垂直，
所以 ，
因为 ，
即 ，解得： ，
所以 的最大值为 ，故答案为： .
C 综合素养
1．设直线l的方程为
(1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；
(2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点 ， ，当 面积为12时，求 的
周长；
【答案】(1)见解析(2)
(1)证明：将 整理成 ，
令 ，解得 ， ，
所以定点 为 ，
故不论 为何值，直线 必过一定点 ；
(2)解：由题意知， ，由 ，
当 时， ，当 时， ，
由 ，得 ，
所以 面积 ，解得 ，
此时 ， ， ，
所以 的周长为 ，
故当 面积为12时， 的周长为 .
2．已知直线 .
(1)当m取任何值时，直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；
(2)当 ，且直线l与两坐标轴分别交于A､B，求 的最小值.
【答案】(1)过定点，定点为 (2)12
(1)∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴过定点 .
(2)令 ， ，∴ ，令 ， ，
∴ ，∴ ，
令 ，则 ， ，
∴ ，∴当且仅当 ，
即 时， 最小值为12.
3．（1）已知坐标平面内两点 ， .当 为何值时，直线 的倾斜角为锐角？
（2）已知直线 .若直线 不经过第四象限，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
解：（1） ，
所以
因为直线 的倾斜角为锐角
所以
解得：
所以当 时，直线 的倾斜角为锐角
（2）直线
即
因为直线 不经过第四象限
所以 ，解得
所以 的取值范围为 .
