文档内容
第 02 讲 三角恒等变换
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：两角和与差公式的证明........................................................................................................2
题型二：两角和与差的三角函数公式................................................................................................3
题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形........................................................................4
题型四：利用角的拆分求值................................................................................................................4
题型五：给角求值................................................................................................................................5
题型六：给值求值................................................................................................................................5
题型七：给值求角................................................................................................................................5
题型八：正切恒等式及求非特殊角....................................................................................................6
题型九：三角恒等变换的综合应用....................................................................................................6
题型十：辅助角公式的高级应用........................................................................................................7
题型十一：积化和差、和差化积公式................................................................................................7
02 重难创新练......................................................................................................................................8
03 真题实战练....................................................................................................................................10题型一：两角和与差公式的证明
1．如图，在直角坐标系中，设单位圆O与x轴的非负半轴相交于点 ，以x轴的非负半轴为始边分别
作任意角 ， ，它们的终边分别与单位圆相交于点 ， ．
(1)请在图中作出以x轴的非负半轴为始边时角 的终边 （与单位圆交于点P），并说明AP与
的长度关系；
(2)根据第（1）问的发现，证明两角差的余弦公式；
(3)由两角差的余弦公式推导两角差的正弦公式．
2．(1)试证明差角的余弦公式 ： ；
(2)利用公式 推导：
①和角的余弦公式 ，正弦公式 ，正切公式 ；
②倍角公式 ， ， .
3．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，考虑点 ， ， ，
，从这个图出发.（1）推导公式： ；
（2）利用（1）的结果证明： ，并计算 的值.
题型二：两角和与差的三角函数公式
4．（多选题）已知 为锐角， ，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2024·河北承德·二模）已知 ，则 .
8．（2024·青海·模拟预测）若 ， ，则 ．题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
9．（2024·高三·全国·课后作业）若 ，则 .
10． ．
11．已知 ， ，则 .
12．函数 ， ，则 的值为 .
题型四：利用角的拆分求值
13．已知 ，则 .
14．已知 ， ， ，则 ．
15．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
16．已知 ， ，且 ， 均为锐角，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
17．（2024·辽宁·二模）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
18．若 ，则 的值为（ ）.
A． B． C． D．题型五：给角求值
19． ．
20．求 .
21． ．
题型六：给值求值
22．已知 ，则 的值是 .
23．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知 ， ，则
.
24．（2024·全国·模拟预测）已知 为锐角，满足 ，则
， ．
25．已知 ， ，其中 ， ，则 .
26．已知 ，则 ．
题型七：给值求角
27．（2024·高三·广东广州·期中）已知 ， ， ， ，则 .
28．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知 ， ，且 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
29．已知 为钝角，且 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
30．（2024·四川·模拟预测）已知 ， ， ，若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
题型八：正切恒等式及求非特殊角
31． 的值是__________.
32． ____________．
33．若 是 的内角，且 ，则 等于______.
34．（2024·山东·高三济宁市育才中学校考开学考试）若角 的终边经过点 ，且
，则实数 ___________.
题型九：三角恒等变换的综合应用
35．（2024·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的最小正周期和单调递增区间；
(2)当 时，求 的最大值，并求当 取得最大值时x的值．
36．已知函数 ；
(1)若在 中， ， ，求使 的角 ．
(2)求 在区间 上的取值范围；37．已知 ．若 的最小正周期为 ．
(1)求 的表达式和 的递增区间；
(2)求 在区间 上的最大值和最小值．
题型十：辅助角公式的高级应用
38．（2024·山东·模拟预测）若函数 的最大值为 ，则常数 的一个取值为
．
39．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 ，则 ．
40．设当 时，函数 取得最大值，则 ．
题型十一：积化和差、和差化积公式
41． ．
42．已知 ， ，则 .
43．（2024·高三·江西萍乡·期中）求值： .
44．已知 ， ，则 .1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知 ， 是函数 的零点，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽合肥·三模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江西宜春·模拟预测）已知 ， ，则 （）
A． B． C． D．
5．（2024·福建泉州·模拟预测）若 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陕西安康·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A．2 B．2或 C． D．2或3
8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（多选题）（2024·浙江绍兴·三模）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（多选题）（2024·湖北·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（多选题）（2024·河南周口·模拟预测）设 ， ，则下列计算正确的是（ ）
A．
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
12．（2024·陕西铜川·模拟预测）若 ，且 ，则 的值为 ．
13．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知 ，若 ，使
成立，则 ．
14．（2024·上海浦东新·三模）已知实数 、 、 、 满足 ， ， ，
则 .
15．（2024·天津滨海新·三模）在 中，内角 所对的边分别为 ， ，
， ．
(1)求角 的大小：
(2)求 的值；(3)求 的值．
16．（2024·山东菏泽·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 .已知
(1)若 ，判断 的形状；
(2)若 ，求 的最大值.
17．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ，求 的值域；
(2)若关于x的方程 有三个连续的实数根 ， ， ，且 ， ，求a的值．
18．（2024·四川成都·模拟预测）设 ， .
(1)若x，y均为锐角且 ，求z的取值范围；
(2)若 且 ，求 的值.1．（2022年新高考全国II卷数学真题）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
3．（2021年浙江省高考数学试题）已知 是互不相同的锐角，则在 三
个值中，大于 的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题） （ ）
A． B． C． D．
6．（2021年全国新高考I卷数学试题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（多选题）（2021年全国新高考I卷数学试题）已知 为坐标原点，点 ，
， ， ，则（ ）
A． B．C． D．
8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知 为第一象限角， 为第三象限角， ，
，则 .
9．（2022年新高考浙江数学高考真题）若 ，则 ，
．
10．（2024年天津高考数学真题）在 中，角 所对的边分别为 ，已知
．
(1)求 ；
(2)求 ；
(3)求 的值．
