文档内容
第 02 讲 两条直线的位置关系
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：直线平行与垂直的判定.....................................................................................................4
知识点2：三种距离.............................................................................................................................4
解题方法总结........................................................................................................................................5
题型一：两直线位置关系的判定........................................................................................................6
题型二：两直线的交点与距离问题....................................................................................................8
题型三：有关距离的最值问题............................................................................................................9
题型四：点关于点对称......................................................................................................................11
题型五：点关于线对称......................................................................................................................11
题型六：线关于点对称......................................................................................................................12
题型七：线关于线对称......................................................................................................................13
题型八：直线系方程..........................................................................................................................13
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................14
05课本典例·高考素材........................................................................................................................15
06易错分析·答题模板........................................................................................................................17
易错点：两平行直线间的距离公式应用错误..................................................................................17
答题模板：已知两直线平行或垂直求参数......................................................................................17考点要求 考题统计 考情分析
高考对两条直线的位置关系的考查比较
（1）两条直线的平行 稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不
2022年上海卷第7题，5分
与垂直 大，备考时应熟练掌握两条直线的位置关
2020年III卷第8题，5分
（2）两直线的交点与 系、距离公式、对称问题等，特别要重视两
2020年上海卷第7题，5分
距离问题 条直线的位置关系以及点到直线的距离公式
这两个考点．
复习目标：
（1）能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
（2）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．
（3）掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识点1：直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．
两直线方程 平行 垂直
（斜率存在） 或 或 中有一个为
0，另一个不存在．
（斜率不存在）
【诊断自测】（多选题）已知两条直线 ， 的方程分别为 与 ，下列结论正
确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则两条平行直线之间的距离为
C．若 ，则 D．若 ，则直线 ， 一定相交
知识点2：三种距离
1、两点间的距离
平面上两点 的距离公式为 ．
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离
2、点到直线的距离
点 到直线 的距离
特别地，若直线为l：x=m，则点 到l的距离 ；若直线为l：y=n，则点 到
l的距离3、两条平行线间的距离
已知 是两条平行线，求 间距离的方法：
（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．
（2）设 ，则 与 之间的距离
注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．
4、双根式
双根式 型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性
求解．
【诊断自测】（多选题）已知点 到直线 的距离为3，则实数 等于（ ）
A．0 B． C．3 D．2
解题方法总结
1、点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点 关于点 的对称点为 ，则根
据中点坐标公式，有
可得对称点 的坐标为
2、点关于直线对称
点 关于直线 对称的点为 ，连接 ，交 于 点，则 垂直平分
，所以 ，且 为 中点，又因为 在直线 上，故可得 ，解出
即可．
3、直线关于点对称
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求
出直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
4、直线关于直线对称
求直线 ，关于直线 （两直线不平行）的对称直线第一步：联立 算出交点
第二步：在 上任找一点（非交点） ，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
第三步：利用两点式写出 方程
5、常见的一些特殊的对称
点 关于 轴的对称点为 ，关于 轴的对称点为 ．
点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称点为 ．
点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称点为 ．
点 关于点 的对称点为 ．
点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称点为 ．
6、过定点直线系
过已知点 的直线系方程 （ 为参数）．
7、斜率为定值直线系
斜率为 的直线系方程 （ 是参数）．
8、平行直线系
与已知直线 平行的直线系方程 （ 为参数）．
9、垂直直线系
与已知直线 垂直的直线系方程 （ 为参数）．
10、过两直线交点的直线系
过直线 与 的交点的直线系方程：
（ 为参数）．
题型一：两直线位置关系的判定
【典例1-1】（湖北省“宜荆荆恩”2024届高三9月起点考试数学试题）已知两条直线
，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【典例1-2】已知 ， ，直线 和 垂直，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
【解题方法总结】
判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设
（ 不全为0）， （ 不全为0），则：
当 时，直线 相交；
当 时， 直线平行或重合，代回检验；
当 时， 直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆．
【变式1-1】直线 与直线 相交，则实数 的值为（ ）
A． 或 B． 或
C． 且 D． 且
【变式1-2】点 为直线 上不同的两点，则直线 与直线
的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．重合 D．不确定
【变式1-3】（2024·高三·广东·开学考试）已知直线 ，直线 ，则
是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【变式1-4】（2024·高三·上海宝山·开学考试）已知集合 ，
，则下列结论正确的是（ ）
A．存在 ，使得
B．当 时，
C．当 时，
D．对任意的 ，都有题型二：两直线的交点与距离问题
【典例2-1】（2024·高三·江苏苏州·开学考试）已知直线 与直线 交于 ，
则原点到直线 距离的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【典例2-2】若直线 与直线 的交点在第一象限，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构．
【变式2-1】已知点 ， ， ，则 的面积为 ．
【变式2-2】已知平面上点 和直线 ，点P到直线l的距离为d，则 .
【变式2-3】已知直线 ，则点 到直线 的距离的最大值为 .
【变式2-4】已知点 ，若直线l过点 ，且A、B到直线l的距离相等，则直线l的
方程为 .
【变式2-5】 ，与直线 平行，则直线 与 的距离为 .
【变式2-6】若恰有两组的实数对 满足关系式 ，则符合题意的 的值为
.
【变式2-7】（2024·全国·模拟预测）已知直线 和 与x轴围成的三角形是等腰三角形，
则k的取值不可能为（ ）
A． B． C． D．题型三：有关距离的最值问题
【典例3-1】我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问
题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当 取得最小值时，
实数 的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【典例3-2】设 ，其中
.则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C． D．
【方法技巧】
数学结合，利用距离的几何意义进行转化．
【变式3-1】已知 ， ， ， 为四个实数，且 ， ， ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
【变式3-2】已知 为直线 上的一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【变式3-3】 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】已知实数 ，满足 ， ， ，则
的最小值是 ．
【变式3-5】已知点 分别在直线 与直线 上，且 ，点 ，
，则 的最小值为 .【变式3-6】（多选题）已知两点 ， 点 是直线 ： 上的动点，则下列结论中正
确的是（ ）
A．存在 使 最小 B．存在 使 最小
C．存在 使 最小 D．存在 使 最小
【变式3-7】（多选题）已知直线 和三点 ， ， ，过点C的直线 与x轴、
y轴的正半轴交于M，N两点．下列结论正确的是（ ）
A．P在直线l上，则 的最小值为
B．直线l上一点 使 最大
C．当 最小时 的方程是
D．当 最小时 的方程是
【变式3-8】已知点 在直线 ，点 在直线 上，且 ，
的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
【变式3-9】过定点A的动直线 和过定点B的动直线 交于点M，则 的
最大值是（ ）
A． B．3 C． D．
【变式3-10】已知 ， 为实数，代数式 的最小值是 .
题型四：点关于点对称
【典例4-1】直线l经过点 ，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时， .
【典例4-2】已知 ， ，点 是线段 的中点，则 .【方法技巧】
求点 关于点 中心对称的点 ，由中点坐标公式得
【变式4-1】已知点 在 轴上，点 在 轴上，线段 的中点 的坐标为 ，则线段 的长度为
.
【变式4-2】设点A在x轴上，点B在y轴上， 的中点是 ，则 等于
【变式4-3】已知直线l与直线 及直线 分别交于点P，Q．若PQ的中点为点 ，
则直线l的斜率为 ．
【变式4-4】已知直线 与直线 和 的交点分别为 ，若点 是线段
的中点，则直线 的方程为 .
题型五：点关于线对称
【典例5-1】将一张坐标纸对折，如果点 与点 重合，则点 与点 重合.
【典例5-2】点 关于直线 对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
求点 关于直线 对称的点
方法一：（一中一垂），即线段 的中点M在对称轴 上，若直线 的斜率存在，则直线 的
斜率与对称轴 的斜率之积为－1，两个条件建立方程组解得点
方法二：先求经过点 且垂直于对称轴 的直线（法线） ，然后由 得线段 的中
点 ，从而得
【变式5-1】若直线 和直线 关于直线 对称，则直线 恒过定点（ ）
A． B． C． D．【变式5-2】一条光线从点 射出，经直线 反射后经过点 ，则反射光线所在直线的
方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】在等腰直角三角形ABC中， ，点P是边AB上异于A，B的一点，光从点P出发
经 反射后又回到点P，反射点为Q，R，若光线QR经过 的重心，则 .
题型六：线关于点对称
【典例6-1】直线 关于点 对称的直线方程为 ．
【典例6-2】直线 关于点 对称的直线方程为 ．
【方法技巧】
求直线l关于点 中心对称的直线
求解方法是：在已知直线l上取一点 关于点 中心对称得 ，再利用 ，由
点斜式方程求得直线 的方程（或者由 ，且点 到直线l及 的距离相等来求解）．
【变式6-1】直线 关于点 对称的直线 的方程为 ．
【变式6-2】直线 恒过定点 ，则直线 关于 点对称的直线方程为 ．
【变式6-3】在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个
单位长度，得到直线l.再将直线l 沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与
1 1
直线l重合.若直线l与直线l 关于点（2，3）对称，则直线l的方程是 .
1
题型七：线关于线对称
【典例7-1】若直线 与直线 关于直线 对称，则直线 的一般式方程为 .
【典例7-2】直线 与直线 关于直线 对称，则直线 的倾斜角是 ．【方法技巧】
求直线l关于直线 对称的直线
若直线 ，则 ，且对称轴 与直线l及 之间的距离相等．
此 时 分 别 为 ， 由
，求得 ，从而得 ．
若直线l与 不平行，则 ．在直线l上取异于Q的一点 ，然后求得 关于直线
对称的点 ，再由 两点确定直线 （其中 ）．
【变式7-1】已知直线 ，直线 ，若直线 关于直线l的对称直线为 ，则直线
的方程为 ．
【变式7-2】若直线l与直线 的夹角平分线为 ，则直线l的方程为 .
【变式7-3】直线 ： 关于直线 ： 的对称直线方程为 ．
【变式7-4】直线 关于直线 的对称直线的方程为 .
题型八：直线系方程
【典例8-1】过两直线 和 的交点且过原点的直线方程为 ．
【典例8-2】经过点 和两直线 ； 交点的直线方程为 .
【方法技巧】
利用直线系方程求解．
【变式8-1】已知两直线 和 的交点为 ，则过 两点的
直线方程为 .
【变式8-2】设直线 经过 和 的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直
线 的方程为 .【变式8-3】已知直线 的方程为 ，求坐标原点 到 的距离的最大值 .
1．（2021年全国新高考II卷数学试题）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则
（ ）
A．1 B．2 C． D．4
2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））点(0，﹣1)到直线 距离的最大值为
（ ）
A．1 B． C． D．2
1．已知点 和 ，点P在x轴上，且 为直角，求点P的坐标.2．已知四边形ABCD的四个顶点是 ， ， ， ，求证：四边形
ABCD为矩形．
3．如图，已知直线 与直线 ，在 上任取一点A，在 上任取一点B，连接
AB，取AB的靠近点A的三等分点C，过点C作 的平行线 ，求 与 间的距离．
4．三条直线 ， 与 相交于一点，求a的值．
5．已知AO是 边BC的中线，用坐标法证明 ．6．已知 ， ．
（1）求证： ，并求使等式成立的条件．
（2）说明上述不等式的几何意义．
7．已知 为任意实数，当 变化时，方程 表示什么图形？图形有何特点？
易错点：两平行直线间的距离公式应用错误
易错分析： 应用两平行直线间的距离公式一定要注意两平行直线的方程对应 x，y的系数相等时，才
可利用两平行线间的距离公式求解.
【易错题1】 ，与直线 平行，则直线 与 的距离为 .
【易错题2】两平行直线 与 之间的距离为 ．答题模板：已知两直线平行或垂直求参数
1、模板解决思路
当需要通过两直线的平行或垂直关系来求解参数的值时，一般的做法是首先考察这两条直线的斜率。
如果两条直线平行，那么它们的斜率相等；如果两条直线垂直，那么它们的斜率之积为-1。
这里需要特别注意，当直线垂直于x轴时，斜率不存在，此时应单独考虑。
2、模板解决步骤
第一步：将两条直线的方程均化成斜截式．
第二步：根据两直线平行或垂直，列出方程（组）．
第三步：解方程（组），求出参数的值，由两直线平行求参数后要检验两直线是否重合．
【典型例题1】已知直线 ，若 ，则 ．
【典型例题2】已知直线 和 垂直且 ，则 的最小
值为 .
