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第 02 讲 两条直线的位置关系
目录
考点要求 考题统计 考情分析
（1）能根据斜率判定两条直 高考对两条直线的位置关系的考查比
线平行或垂直． 较稳定，考查内容、频率、题型难度
（2）能用解方程组的方法求 均变化不大，备考时应熟练掌握两条
2022年上海卷第7题，5分
两条直线的交点坐标． 直线的位置关系、距离公式、对称问
2020年III卷第8题，5分
（3）掌握平面上两点间的距 题等，特别要重视两条直线的位置关
2020年上海卷第7题，5分
离公式、点到直线的距离公 系以及点到直线的距离公式这两个考
式，会求两条平行直线间的 点．
距离．
知识点一：两直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．
两直线方程 平行 垂直（斜率存在） 或 或 中有一个为
0，另一个不存在．
（斜率不存在）
知识点二：三种距离
1、两点间的距离
平面上两点 的距离公式为 ．
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离
2、点到直线的距离
点 到直线 的距离
特别地，若直线为l：x=m，则点 到l的距离 ；若直线为l：y=n，则点 到
l的距离
3、两条平行线间的距离
已知 是两条平行线，求 间距离的方法：
（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．
（2）设 ，则 与 之间的距离
注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．
4、双根式
双根式 型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性
求解．
【解题方法总结】
1、点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点 关于点 的对称点为 ，则根
据中点坐标公式，有
可得对称点 的坐标为
2、点关于直线对称
点 关于直线 对称的点为 ，连接 ，交 于 点，则 垂直平分，所以 ，且 为 中点，又因为 在直线 上，故可得 ，解出
即可．
3、直线关于点对称
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求
出直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
4、直线关于直线对称
求直线 ，关于直线 （两直线不平行）的对称直线
第一步：联立 算出交点
第二步：在 上任找一点（非交点） ，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
第三步：利用两点式写出 方程
5、常见的一些特殊的对称
点 关于 轴的对称点为 ，关于 轴的对称点为 ．
点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称点为 ．
点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称点为 ．
点 关于点 的对称点为 ．
点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称点为 ．
6、过定点直线系
过已知点 的直线系方程 （ 为参数）．
7、斜率为定值直线系
斜率为 的直线系方程 （ 是参数）．
8、平行直线系
与已知直线 平行的直线系方程 （ 为参数）．
9、垂直直线系
与已知直线 垂直的直线系方程 （ 为参数）．
10、过两直线交点的直线系
过直线 与 的交点的直线系方程：
（ 为参数）．题型一：两直线位置关系的判定
例1．（2023·高二课时练习）直线 与 互相垂直，则这两条直线的交点坐标为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】易知直线 的斜率为 ，
由两直线垂直条件得直线 的斜率 ，解得 ；
联立 ，解得 ；
即交点为
故选：C.
例2．（2023·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试）已知过点 和点 的直线为l，
1
. 若 ，则 的值为（ ）
A． B．
C．0 D．8
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，解得 ，又 ，所以 ，
解得 .所以 .
故选：A.
例3．（2023·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试）设直线 ，
，则 是 的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当 时，直线 ， ，
此时 ，则 ，所以 ，故充分性成立；
当 时， ，解得 或 ，故必要性不成立；所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：C.
变式1．（2023·广东东莞·高三校考阶段练习）直线 ： 与直线 ： 平行， 则
（ ）
A． 或 B． C． D．
【答案】A
【解析】因为直线 ： 与直线 ： 平行，
所以 或 ，
当 时，直线 ： ，直线 ： ，
此时直线 与直线 平行，满足题意，
当 时，直线 ： ，直线 ： ，
此时直线 与直线 平行，满足题意，
故选：A.
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 ： ， ： ，则条件“
”是“ ”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件
【答案】B
【解析】若 ，则 ，
解得 或 .
故 是 的充分不必要条件.
故选：B
变式3．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模）已知直线 ，若 ，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为直线 ，且 ，则 ，
所以 .
故选：B
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，
则点D的坐标为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设D(x，y)，∵AD⊥BC，∴ · ＝－1，∴x＋5y－9＝0，
∵AB∥CD，∴ ＝ ，∴x－2y－4＝0，由得 ， ，
故选：D.
变式5．（2023·甘肃陇南·高三统考期中）已知 的顶点 ， ，其垂心为 ，则其
顶点 的坐标为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 为 的垂心 ，
又 ，
直线 斜率存在且 ，
设 ，则 ，解得：
本题正确选项：
变式6．（2023·全国·高三专题练习）直线 ，直线 ，下列说法正确的
是（ ）
A． ，使得 B． ，使得
C． ， 与 都相交 D． ，使得原点到 的距离为3
【答案】B
【解析】对A，要使 ，则 ，所以 ，解之得 ，此时 与 重合，选项A错误；
对B，要使 ， ， ，解之得 ，所以B正确；
对C， 过定点 ，该定点在 上，但是当 时， 与 重合，所以C错误；对D， ，化简得 ，此方程 ， 无实数解，所以D
错误.
故选：B.
变式7．（2023·全国·高三对口高考）设 分别为 中 所对边的边长，则直线
与直线 的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合
【答案】B
【解析】由题意可知直线 与直线 的斜率均存在且不为0，
直线 的斜率 ，
直线 的斜率 ，
由正弦定理可得 ，
所以两直线垂直，
故选：B
【解题方法总结】
判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设
（ 不全为0）， （ 不全为0），则：
当 时，直线 相交；
当 时， 直线平行或重合，代回检验；
当 时， 直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆．
题型二：两直线的交点与距离问题
例4．（2023·全国·高三专题练习）若直线 与直线 的交点位于第一象限，则直线
l的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】法一：联立两直线方程，得 ，解得 ，所以两直线的交点坐标为 .
因为两直线的交点在第一象限，所以 ，解得 ，
设直线l的倾斜角为θ，则 ，又 ，所以 .
法二：由题意，直线l过定点 ，
设直线 与x轴、y轴的交点分别为 .
如图，当直线l在阴影部分（不含边界）运动时，两直线的交点在第一象限，易知 ，
∴ 的倾斜角为 ， 的倾斜角为 .
∴直线l的倾斜角的取值范围是 .
故选：D
例5．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）已知三条直线 ， ，
将平面分为六个部分，则满足条件的 的值共有（ ）
A． 个 B．2个 C． 个 D．无数个
【答案】C
【解析】当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分，
联立 与 ，解得 ，
则将 代入 中， ，解得 ，
当 与 平行时，满足要求，此时 ，
当 与 平行时，满足要求，此时 ，综上，满足条件的 的值共有3个.
故选：C
例6．（2023·全国·高三专题练习）若三条直线 不能围成三角形，则
实数 的取值最多有（ ）
A． 个 B． 个
C． 个 D． 个
【答案】C
【解析】 三条直线不能构成三角形 至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.
若 ∥ ，则 ；若 ∥ ，则 ；
若 ∥ ，则 的值不存在；
若三条直线相交于同一点，
直线 和 联立： ， 直线 和 交点为 ;
直线 和 联立： ， 直线 和 交点为 ;
三条直线相交于同一点 两点重合 或 .
故实数 的取值最多有 个.
故选:C
变式8．（2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）若点 在直线 上，O
是原点，则OP的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】由题意可知，OP的最小值即为原点 到直线 的距离，
则 .
故选：C
变式9．（2023·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）已知点 在直线 上，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】 就是 到原点距离，
到原点距离的最小值为
则 的最小值为2，
故选：B.
变式10．（2023·高二课时练习）已知点 、 、 ，且 ，则 .
【答案】
【解析】已知点 、 、 ，且 ，
则 ，解得 .
故答案为： .
变式11．（2023·全国·高二专题练习）已知点 与点 间的距离为 ，则 ．
【答案】9或
【解析】由 ，
得 ，
即 ，解得 或 ．
故答案为：9或 .
变式12．（2023·全国·高二课堂例题）已知点 ， ， ，则 的面积为 ．
【答案】5
【解析】设 边上的高为 ，则 就是点C到AB所在直线的距离．
易知 ．
由两点式可得 边所在直线的方程为 ，即 ．
点 到直线 的距离 ，
所以 的面积为 ．故答案为：5
变式13．（2023·江苏淮安·高二统考期中）已知平面上点 和直线 ，点P到直线l的距离
为d，则 .
【答案】 /4.5
【解析】依题意，直线 ，而点 ，
所以 .
故答案为：
变式14．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）点 到直线 的距离的最大
值是 ．
【答案】
【解析】因为直线 恒过点 ，
记 ，直线 为直线 ，
则当 时，此时点 到直线 的距离最大，
∴点 到直线 距离的最大值为：
.
故答案为： .
变式15．（2023·高二课时练习）过直线 与直线 的交点，且到点 的
距离为1的直线l的方程为 ．
【答案】 或
【解析】解析：由 解得
所以l，l 的交点为 .
1 2显然，直线 满足条件；
当直线斜率存在时，设直线方程为 ，
即 ，
依题意有 ，解得 .
所以所求直线方程为 或 ．
故答案为： 或 ．
变式16．（2023·江西新余·高二校考开学考试）若点 到直线 的距离为3，则
.
【答案】
【解析】因为点 到直线 的距离为3，
可得 ，即 ，解得 或 ，
又因为 ，所以 .
故答案为： .
变式17．（2023·全国·高三专题练习）点 ， 到直线l的距离分别为1和4，写出一个满足条件的
直线l的方程： .
【答案】 或 或 （填其中一个即可）
【解析】设 ， ，连接MN，则 .
以M为圆心，1为半径作圆M，以N为圆心4为半径作圆N，则两圆外切，
所以两圆有3条公切线，即符合条件的直线l有3条.
当公切线的斜率不存在时，显然公切线的方程为 .
当公切线的斜率存在时，设公切线的方程为 ，则有 ，由①②得 ，所以 或 .
由①及 得 ，由①及 得 ，
所以公切线方程为 或 .
综上，直线l的方程为 或 或 .
故答案为： 或 或
变式18．（2023·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试）若两条直线 与
平行，则 与 间的距离是 .
【答案】 /
【解析】 两条直线 与 平行,
解得 ，
经检验 时， ,两直线不重合；
所以 ，
则 与 间的距离 ,
故答案为： .
变式19．（2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）平行直线 与
之间的距离为 ．
【答案】 /0.3
【解析】由题意得 即
则平行直线 与 之间的距离为 ，
故答案为：
变式20．（2023·新疆·高二校联考期末）已知不过原点的直线 与直线 平行，且直线 与
的距离为 ，则直线 的一般式方程为 ．
【答案】【解析】 直线 不过原点且与 平行， 可设直线 ，
与 之间的距离 ，解得： 或 （舍），
直线 的一般式方程为： .
故答案为： .
【解题方法总结】
两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构．
题型三：有关距离的最值问题
例7．（2023·北京·高三强基计划） 的最小值所属区间为（ ）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
【答案】C
【解析】如图，设 ．
根据题意，设题中代数式为M，则 ，
等号当P，Q分别为直线 与x轴，y轴交点时取得．
因此所求最小值为13．
故选：C.
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知实数 ，满足 ， ， ，则
的最小值是 ．
【答案】 /
【解析】依题意，方程 、 分别表示以原点 为圆心，2、3为半径的圆，
令 ，即点 分别在 、 上，如图，显然 ， ，即有 ，
，取线段 中点 ，连接 ，则 ，
因此点 在以原点为圆心， 为半径的圆上，
而 ，
即 表示点 到直线 的距离和的 倍，
过 分别作直线 的垂线，垂足分别为 ，过 作 垂直于直线 于点 ，
于是 ， ，
，原点 到直线 的距离 ，
显然 ，当且仅当点 共线，且点 在线段 上时取等号，
所以 .
故答案为：
例9．（2023·全国·高三专题练习）如图，平面上两点 ，在直线 上取两点 使
，且使 的值取最小，则 的坐标为 ．【答案】
【解析】 关于直线 的对称点为 ，则有 .过 作平
行于 的直线为 ，由 得 ，即此时直线为 .过 作 ，则
，则 .由于 是常数，要使
的值取最小，则 的值取最小，即 三点共线时最小.设
，由 得 ，即 ，解得 （
舍去.），即 .设 ，则 ，解得 ，即 ，设 ， .由
得 ，得 ，解得 或 （舍去），故 .
故答案为： .
变式21．（2023·全国·高二专题练习）已知点 分别在直线 与直线 上，且
，点 ， ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】易知 ，作出图象如下，过 点作直线 ，则 ，直线 ，过 作直线 ，与直线 交于点 ，易知四边形 为平行四边形，
故 ，且 到直线 的距离等于 到 的距离，
设 ，则 ，解得 或 （舍 ，所以 ，
而 ，且 （定值），
故只需求出 的最小值即可，显然 ，
故 的最小值为 ．
故答案为： ．
变式22．（2023·全国·高二课堂例题）已知直线 过定点M，点 在直线
上，则 的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【解析】由 得 ，所以直线l过定点 ，
依题意可知 的最小值就是点M到直线 的距离，
由点到直线的距离公式可得 ．
故选:B.
变式23．（2023·全国·高三专题练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事
休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： 可以转化为点
到点 的距离，则 的最小值为（ ）．
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】 ,
可以看作点 到点 的距离之和，
作点 关于 轴的对称点 ，显然当 三点共线时，取到最小值，
最小值为 间的距离 .故选：D.
变式24．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知 ，满足 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】
如图，过点 作点 关于线段 的对称点 ，则 .
设 ，则有 ，解得 ，所以 .
设 ，则 ，所以 ，
又 ，所以点 到 轴的距离为 ，
所以， 可视为线段 上的点 到 轴的距离和到 的距离之和.
过 作 轴，显然有 ，当且仅当 三点共线时，和有最小值.
过点 作 轴，则 即为最小值， 与线段 的交点 ，即为最小值时 的位置.
因为 ，所以 的最小值为 .
故选：B．
变式25．（2023·江西·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知点 ，点 为
直线 上一动点，则 的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】设点 关于直线 的对称点为 ，则 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当点 为线段 与直线 的交点时等号成立，
所以 的最小值是4，
故选：B.
变式26．（2023·高二课时练习）已知点 ，点P在x轴上使 最大，求点P的坐标．
【解析】点 关于x轴的对称点为 ,如图所示，若 点不在直线 上则 ,
连接 并延长交x轴于点P， 即为 最大值．
直线 的方程是 ，
即 .
令 ，得 ．
则点P的坐标是 .
变式27．（2023·天津和平·高二天津市汇文中学校考阶段练习）在直线 上求一点P，使得：
(1)P到 和 的距离之差最大；(2)P到 和 的距离之和最小.
【解析】（1）画出直线 和点 和 ，如图： 在 两侧，
作B关于直线 的对称点 ，连接 ,
则直线 和直线l的交点即为P，
设D为l上异于P的一点，则 ,
故 ,
故 最大，即此时P到 和 的距离之差最大，
设 ，则 ，解得 ，
故直线 方程为 ，联立 ，解得 ，
即 ；
（2）如图： 在 同侧，
作C关于直线 的对称点 ，连接 ,
则直线 和直线l的交点即为P，
设E为l上异于P的一点，则 ,
故 ,
故 最小，即此时P到 和 的距离之和最小.，设 ，则 ，解得 ，
故直线 方程为 ，联立 ，解得 ，
即即 ；
变式28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的图象恒过定点A，圆
上的两点 ， 满足 ，则 的最小值
为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题可知A为(0，1)，且P、A、Q三点共线，
设弦PQ的中点为E(x，y)，连接OE，则OE⊥PQ，即OE⊥AE，
∴ ，由此可得E的轨迹方程为 ，
即E的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
设直线l为 ，
则E到l的最小距离为 ．
过P、E、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为M、R、N，
则四边形MNQP是直角梯形，且R是MN的中点， 则ER是直角梯形的中位线，
∴ ，
即 ，
即 ．
故选：C．变式29．（2023·江西·高三校联考开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当
三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角
形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则
的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得： 的几何意义为点 到点 的距离之和的最小值，
因为 ， ，
，
所以 ，故三角形ABC为等腰直角三角形，，
取 的中点 ，连接 ，与 交于点 ，连接 ，故 ， ，
因为 ，所以 ，故 ，则 ，
故点 到三角形三个顶点距离之和最小，即 取得最小值，
因为 ，所以 ，同理得： ， ，
，
故 的最小值为 .故选：B
变式30．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设点 为直线 上的动点，
由 可看作 与 的距离和
与 的距离之和，
设点 则点 为点 关于直线 的对称点，
故 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 三点共线时，取等号，
所以 的最小值为 .
故选：C
变式31．（2023·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）设 ，过定点 的动直线 和过定
点 的动直线 交于点 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】C
【解析】显然 过定点 ，直线 可化成 ，则经过定点 ，
根据两条直线垂直的一般式方程的条件， ，
于是直线 和直线 垂直，又 为两条直线的交点，则 ，
又 ，由勾股定理和基本不等式，
，则 ，
当 时， 的最大值是 .
故选：C
变式32．（2023·全国·高二专题练习）过定点A的动直线 和过定点B的动直线 交
于点M，则 的最大值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【解析】由题意知 过定点 ,
动直线 即 过定点 ，
对于直线 和动直线 满足 ，
故两直线垂直，
因此点M在以 为直径的圆上， ，
则 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
故 的最大值为 ，
故选：C
【解题方法总结】
数学结合，利用距离的几何意义进行转化．
题型四：点点对称
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，点 是线段 的中点，则
.
【答案】
【解析】由中点坐标公式知： ， ，解得： ， ， .
故答案为： .
例11．（2023·江苏南通·高二统考期中）已知点 在 轴上，点 在 轴上，线段 的中点 的坐标为
，则线段 的长度为 .
【答案】
【解析】在平面直角坐标系中， ，
则 为直角三角形，且 为斜边，
故 .
故答案为：
例12．（2023·高二课时练习）设点A在x轴上，点B在y轴上， 的中点是 ，则 等于
【答案】
【解析】根据点A在x轴上，点B在y轴上，且 的中点是 ，利用中点坐标公式得到A，B的坐
标，再利用两点间的距离公式求解.因为点A在x轴上，点B在y轴上，且 的中点是 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：
变式33．（2023·高一课时练习）已知直线l与直线 及直线 分别交于点P，Q．若PQ
的中点为点 ，则直线l的斜率为 ．
【答案】【解析】设 ，则 ．由点Q在直线 上，得 ， ．故 ．
所以直线l的斜率为 ，所以
故答案为
【解题方法总结】
求点 关于点 中心对称的点 ，由中点坐标公式得
题型五：点线对称
例13．（2023·湖南长沙·高一周南中学校考开学考试）如下图，一次函数 的图象与 轴， 轴分
别交于点 ， ，点 是 轴上一点，点 ， 分别为直线 和 轴上的两个动点，当
周长最小时，点 ， 的坐标分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】作 关于 轴的对称点 ，
作 关于 的对称点 ，
连接 交 轴于 ，交 于 ，所以 ，
此时 周长最小，即 ，
由 ，直线 方程为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，可得直线 方程为 ，即 ，由 ，解得 ，所以 ，
令 可 ，所以 .
故选：C.
例14．（2023·全国·高二专题练习）若直线 和直线 关于直线 对称，则直线 恒过
定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为直线 过定点 ，
点 关于直线 对称的点为 ，
故直线 恒过定点 .
故选：C
例15．（2023·全国·高二假期作业）抛物线 的焦点关于直线 的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】抛物线 即 ，其焦点坐标为 ，
设 关于直线 的对称点的坐标是 ，
则 ，解得 ，则 ，
故选：A．
变式34．（2023·江西·高二校联考开学考试）如图，一束光线从 出发，经过坐标轴反射两次经过点，则总路径长即 总长为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【解析】设点 关于 轴的对称点为点 ，点 关于 轴的对称点为点 ，
由光线反射知识可得 三点共线， 三点共线，
故 四点共线，
因为点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
所以点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
由对称的性质可得 ，
所以 ，
又 ，
所以 .
故选：C.
变式35．（2023·四川遂宁·高二统考期末）已知点A与点 关于直线 对称，则点A的坐标为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设 ，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线 上且直线AB与直线
垂直，则 ，
即点A坐标为 .
故选：C
变式36．（2023·湖北·高二校联考阶段练习）在等腰直角三角形 中， ，点 是边 上异
于 的一点，光线从点 出发，经 反射后又回到点 ，如图，若光线 经过 的重心，则
（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】根据题意，建立如图所示的坐标系，可得 ， ，
故直线 的方程为 ，
又由 ， ， ，则 的重心为 ，
设 ，其中 ，点 关于直线 的对称点 ，则有 ，
解得 ，即 ，
易得 关于 轴的对称点 ，
由光的反射原理可知 ， ， ， 四点共成直线 的斜率 ，
故直线 的方程为 ，
由于直线 过 的重心 ，代入化简可得 ，
解得： 或 舍 ，即 ，故 ，
故选：C．【解题方法总结】
求点 关于直线 对称的点
方法一：（一中一垂），即线段 的中点M在对称轴 上，若直线 的斜率存在，则直线 的
斜率与对称轴 的斜率之积为－1，两个条件建立方程组解得点
方法二：先求经过点 且垂直于对称轴 的直线（法线） ，然后由 得线段 的中
点 ，从而得
题型六：线点对称
例16．（2023·高二课时练习）直线 关于点 对称的直线 的方程为 ．
【答案】
【解析】设 为 上任意一点，则 关于点 的对称点为 ，
因为 在直线l上，所以 ，即直线 的方程为 ．
故答案为：
例17．（2023·全国·高二专题练习）直线 关于点 的对称直线方程是 ．
【答案】
【解析】设对称直线为 ，
则有 ，即
解这个方程得 （舍）或 .
所以对称直线 的方程中 .
故答案为： .
例18．（2023·河北廊坊·高三校考阶段练习）与直线 关于点 对称的直线的方程为
.
【答案】
【解析】直线 关于点 对称的直线的方程可设为 ，其中又 点到直线 与到直线 的距离相等
所以 ，即 ，所以 或 （舍）.
故所求直线方程为： .
故答案为： .
变式37．（2023·全国·高三专题练习）直线 恒过定点 ，则直线 关于 点
对称的直线方程为 ．
【答案】
【解析】由 得： ，当 时， ， ；
设直线 关于 点对称的直线方程为 ，
，解得： 或 （舍），
直线 关于 点对称的直线方程为 .
故答案为： .
变式38．（2023·辽宁营口·高三统考期末）若直线 ： 与直线 关于点 对称，则当 经过
点 时，点 到直线 的距离为 .
【答案】
【解析】因为直线 恒过定点 ，
所以 关于点 对称，
所以 关于点 的对称点为 ，
此时 和 都在直线 上，
由直线 方程的两点式可得 ，即 ，
所以点 到直线 的距离为 ．
故答案为： ．
变式39．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，
沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l.再将直线l 沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平
1 1
移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l 关于点（2，3）对称，则直线l的方程是
1
.
【答案】6x－8y＋1＝0
【解析】根据平移得到l：y＝k（x－3）＋5＋b和直线：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝ ，再根据对称解得b
1＝ ，计算得到答案.由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，
则直线l：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直线方程为y＝k（x－3－1）＋b＋5－2
1
即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝ ，
∴直线l的方程为y＝ x＋b，直线l 为y＝ x＋ ＋b
1
取直线l上的一点 ，则点P关于点（2，3）的对称点为 ，
，解得b＝ .
∴直线l的方程是 ，即6x－8y＋1＝0.
故答案为：6x－8y＋1＝0
【解题方法总结】
求直线l关于点 中心对称的直线
求解方法是：在已知直线l上取一点 关于点 中心对称得 ，再利用 ，由
点斜式方程求得直线 的方程（或者由 ，且点 到直线l及 的距离相等来求解）．
题型七：线线对称
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 ，直线 ，若直线 关于直线l的
对称直线为 ，则直线 的方程为 ．
【答案】 .
【解析】由题意知 ，设直线 ，在直线 上取点 ，
设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ， 解得 ，即 ，
将 代入 的方程得 ，
所以直线 的方程为 .
故答案为：
例20．（2023·全国·高三专题练习）若动点A，B分别在直线l：x＋y－7＝0和l：x＋y－5＝0上移动，则
1 2
AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A．3 B．2 C．3 D．4【答案】A
【解析】先求出点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原点到直线l的距离即得解.依题
意知AB的中点M的集合为与直线l：x＋y－7＝0和l：x＋y－5＝0距离都相等的直线，
1 2
则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．
设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，
根据平行线间的距离公式得
所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，
即l：x＋y－6＝0.
根据点到直线的距离公式得M到原点的距离的最小值为 .
故选：A.
例21．（2023·全国·高三专题练习）直线 关于直线 对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】在直线 上任取一点 ，设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，即 ，
因为点 在直线 上，
所以 ，即 ，
所以所求直线方程为 ，
故选：A.
变式40．（2023·全国·高三专题练习）设直线 与 关于直线 对称，则直线
的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】联立 ，得 ，
取直线 上一点 ，设点 关于直线 的对称点为 ，则，解得： ，
直线 的斜率 ，所以直线 的方程为 ，
整理为： .
故选：A
变式41．（2023·全国·高三专题练习）直线 关于直线 对称的直线为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设所求直线上的任意一点为
则 关于直线 对称点为
点 在直线 上
满足直线方程，即
直线 关于直线 对称的直线为
故选：C
变式42．（2023·全国·高三专题练习）如果直线 与直线 关于直线 对称，那么
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在 上取一点 ，
则由题意可得其关于直线 的对称点 在 上，
所以 ，得 ，
在 上取一点 ，
则其关于直线 的对称点 在 上，
所以 ，得 ，
综上 ，
故选：A
变式43．（2023·全国·高三专题练习）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（ ）
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0
【答案】B【解析】设对称直线方程为 ，
，解得 或 （舍去）.
所以所求直线方程为 .
故选：B
变式44．（2023·全国·高三专题练习）若两条平行直线 ： 与 ： 之间
的距离是 ，则直线 关于直线 对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为直线 ： 与 ： ，
所以 ，
又两条平行直线 ： 与 ： 之间的距离是 ，
所以 解得
即直线 ： ， ： ，
设直线 关于直线 对称的直线方程为 ，
则 ，解得 ，
故所求直线方程为 ，
故选：A
变式45．（2023·全国·高三专题练习）两直线方程为 ， ，则 关于 对称的
直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设所求直线上任一点 ， 关于直线 的对称点 ， ，
则 ，解出
点 在直线 上， 将 式代入，得 ，
化简得 ，即为 关于 对称的直线方程．故选：C
【解题方法总结】
求直线l关于直线 对称的直线
若直线 ，则 ，且对称轴 与直线l及 之间的距离相等．
此 时 分 别 为 ， 由
，求得 ，从而得 ．
若直线l与 不平行，则 ．在直线l上取异于Q的一点 ，然后求得 关于直线
对称的点 ，再由 两点确定直线 （其中 ）．
题型八：直线系方程
例22．（2023·全国·高三专题练习）已知两直线 和 的交点为 ，则过
两点的直线方程为 .
【答案】
【解析】依题意两直线 和 的交点为 ，
所以 在直线 上，
所以过 两点所在直线方程为 .
故答案为：
例23．（2023·全国·高三专题练习）经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x
－y＋4＝0的直线方程为 ．
【答案】x－y＝0.
【解析】设直线方程为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，再求出 的值即得解.过两直线交点的直线方程可设为
3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，
即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，
因为它与直线x－y＋4＝0平行，
所以3＋λ＋3λ－2＝0，
即λ＝－ ，
故所求直线为x－y＝0.
故答案为：x－y＝0.
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知坐标原点为O，过点 作直线 n
不同时为零 的垂线，垂足为M，则 的取值范围是 ．
【答案】【解析】根据题意，直线 ，即 ，
则有 ，解可得 ，则直线 恒过点 ．
设 ，又由 与直线垂直，且 为垂足，
则点 的轨迹是以 为直径的圆，其方程为 ，
所以 ；即 的取值范围是 ；
故答案为 ．
变式46．（2023·高二课时练习）经过点 和两直线 ； 交点的直线方
程为 .
【答案】
【解析】设所求直线方程为 ，
点 在直线上，
，
解得 ，
所求直线方程为 ，即 ．
故答案为： .
变式47．（2023·全国·高二课堂例题）若直线l经过两直线 和 的交点，且斜率为
，则直线l的方程为 ．
【答案】
【解析】设直线l的方程为 （其中 为常数），即
①．
又直线l的斜率为 ，则 ，解得 ．
将 代入①式并整理，得 ，此即所求直线l的方程．
故答案为： .
变式48．（2023·全国·高一专题练习）设直线 经过 和 的交点，且与两坐标轴
围成等腰直角三角形，则直线 的方程为 .
【答案】 或【解析】方法一：由 ，得 ，
所以两条直线的交点坐标为（14，10）,
由题意可得直线 的斜率为1或-1，
所以直线 的方程为 或 ，
即 或 .
方法二：设直线 的方程为 ，整理得 ，
由题意，得 ，解得 或 ，
所以直线 的方程为 或 .
故答案为： 或 .
变式49．（2023·高二课时练习）经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等
的直线方程为 .
【答案】x+y+1=0或3x+4y=0
【解析】由题意可设所求直线方程为 ，即
令 ，得
令 ，得
∵所求直线方程在两坐标轴上的截距相等
∴ ，即 或
∴所求直线方程为 或
故答案为 或
【解题方法总结】
利用直线系方程求解．
【解题方法总结】
1．（2020•新课标Ⅲ）点 到直线 距离的最大值为
A．1 B． C． D．2
【答案】
【解析】方法一：因为点 到直线 距离 ；
要求距离的最大值，故需 ；，当且仅当 时等号成立，
可得 ，当 时等号成立．
方法二：由 可知，直线 过定点 ，
记 ，则点 到直线 距离 ．
故选： ．
2．（2018•北京）在平面直角坐标系中，记 为点 到直线 的距离．当 、 变
化时， 的最大值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】由题意 ，
当 时，
．
的最大值为3．
故选： ．
3．（2014•四川）设 ，过定点 的动直线 和过定点 的直线 交于
点 ，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【解析】由题意可知，动直线 经过定点 ，
动直线 即 ，经过点定点 ，
动直线 和动直线 的斜率之积为 ，始终垂直，
又是两条直线的交点， ， ．
设 ，则 ， ，
由 且 ，可得 ，
，
， ， ， ，， ，
， ，
故选： ．
