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第 02 讲 充要条件与量词
【基础知识网络图】
四种 命逻辑题联及结词词 或、且、非
互为逆否关系的命题等价
其关系
四种命题、充
要条件 简单命题与复合命题
简易逻辑
充要条件 充分、必要、充要、既不充分也不必要
全称量词、存在量词
【基础知识全通关】
一、命题
能判断真假的语句叫做命题．
二、复合命题的真假
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真。
三、全称命题与特称命题
1、全称量词：类似“所有”这样的量词，并用符号“ ”表示。
2、全称命题：含有全称量词的命题。其结构一般为：
3、存在量词：类似“有一个”或“有些”或“至少有一个”这样的量词，并用符号“
”表示。
4、特称命题：含有存在量词的命题。其结构一般为：
四、全称命题与特称命题的否定
1、命题的否定和命题的否命题的区别命题 的否定 ，即 ，指对命题 的结论的否定。
命题 的否命题，指的是对命题 的条件和结论的同时否定。
2、全称命题的否定
全称命题 ： 全称命题 的否定（ ）：
特称命题 特称命题的否定
所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
五、常见结论的否定形式
原结论 反设词 原结论 反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有 个 至多有（ ）
个
小于 不小于 至多有 个 至少有（ ）
个
对所有 ， 存在某 ，
成立 不成立 或 且
对任何 ， 存在某 ，
不成立 成立 且 或
六．量词
(1)全称量词与全称命题
①全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．
②全称命题：含有全称量词的命题．
③全称命题的符号表示：
形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．
(2)存在量词与特称命题
①存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．
②特称命题：含有存在量词的命题．
③特称命题的符号表示：
形如“存在M中的元素x，使p(x)成立”的命题，用符号简记为∃x∈M，p(x)．
0 0 0 0
(3)命题的否定
①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再
对量词进行改写．
②否定结论：对原命题的结论进行否定．
【注】原命题与命题的否定真假性相反
七、充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p⇒q，则 p 是 q 的充分条件 ；
(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；
(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则 p 是 q 的充要条件．
【注】集合中，子集可以推出另一个集合 .【考点研习一点通】
考点01：四种命题及其关系
例1. 写出命题“已知 是实数，若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命
题，并判断其真假。
考点02：全称命题与特称命题真假的判断
2. 判断下列命题的真假，写出它们的否定并判断真假.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
考点03：判定复合命题的真假
3.分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．
(1)若q＜1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；
(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0；
(3)若实数x、y满足x2＋y2＝0，则x、y全为零．
考点04：全称命题与特称命题真假的判断
4. 判断下列命题的真假，写出它们的否定并判断真假.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .考点05：在证明题中的应用
5.若 均为实数，且 ， ， ．求证：
中至少有一个大于0．
考点06：充要条件的判断
6.设a，a，…，a∈R，n≥3.若p：a，a，…，a 成等比数列；
1 2 n 1 2 n
，则（ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
考点07：求参数的取值范围
7.已知m∈R，设P：x 和x 是方程x2－ax－2＝0的两个根，不等式|m－5|≤|x－
1 2 1
x|对任意实数a∈[1,2]恒成立；Q：函数f(x)＝3x2＋2mx＋m＋有两个不同的零点.求使“P
2
且Q”为真命题的实数m的取值范围.
【考点易错】
易错点1 A是B的充分条件与A的充分条件是B的区别1.设 ,则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【变式训练】
已知 ， ，若 的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取
值范围是
A． B．
C． D．
易错点2 命题的否定与否命题的区别
2.命题“ 且 ”的否定形式是
A． B．
C． D．
【巩固提升】
1.命题“ ”的否定是
A． B．
C． D．
2.设函数 (e为自然底数)，则使 成立的一个充分不必要条件是
A． B．C． D．
3.“ ”是“方程 表示双曲线”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.已知平面 内一条直线l及平面 ，则“ ”是“ ”的
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5.已知直线 ， 和平面 ，若 ， ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.命题“ ， ”的否定是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
7.命题“ ， ”的否定是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
8.设 ，则“ ”是“直线 与直线 平行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
9.设m,n为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10.设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．设命题p: ,则 为
A． B．
C． D．
12．“若 ，则 ，都有 成立”的逆否命题是
A． ，有 成立，则
B． ，有 成立，则
C． ，有 成立，则
D． ，有 成立，则
13．已知集合 ，集合 ，则
集合
A． B．
C． D．
14.设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15.已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．“l ，m，n共面”是“l ，m，n两两相
交”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
16.已知 ，则“存在 使得 ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
17.已知命题 ：“ ， ”，命题 ：“ ， ””若
“ ”是真命题，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
18.下列命题中错误的是
A．若 为假命题，则 与 均为假命题
B．已知向量 ， ，则 是 的充分不必要条件
C．命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，则 ”
D．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
19.设有下列四个命题：
p：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
1
p：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
2
p：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
3
p：若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．
4
则下述命题中所有真命题的序号是__________．① ② ③ ④
