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专题12 机械能守恒定律的理解与应用、功能关系与能量守恒
目录
题型一 机械能守恒的判断...........................................................................................................................................1
题型二 单物体的机械能守恒问题..............................................................................................................................2
题型三 连接体的机械能守恒问题..............................................................................................................................8
类型1 链条类机械能守恒问题............................................................................................................................9
类型2 轻绳连接的物体系统................................................................................................................................9
类型3 轻杆连接的物体系统..............................................................................................................................15
类型4 含“弹簧类”系统的机械能守恒.........................................................................................................18
题型四 功能关系的理解和应用................................................................................................................................21
类型1 功能关系的理解....................................................................................................................................25
类型2 功能关系与图像的结合........................................................................................................................29
类型3 功能关系的综合应用..............................................................................................................................35
题型五 能量守恒定律的理解和应用........................................................................................................................41
题型一 机械能守恒的判断
【解题指导】机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒．
(2)利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不
做功(或做功代数和为0)，则机械能守恒．
(3)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统也没有机械能与其
他形式能的转化，则机械能守恒．
【例1】如图所示，物体以速度 冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，压缩弹簧至最短的过
程中（ ）
A．弹簧弹力对物体做正功 B．弹簧的弹性势能增加
C．合外力对物体做正功 D．物体的机械能守恒
【答案】B【详解】AB．物体向左运动，弹力方向向右，故弹力做负功，弹簧的弹性势能增加，故A
错误，B正确；
C．根据动能定理
所以合外力对物体做负功，故C错误；
D．因弹力对物体做负功，则物块的机械能减小，故D错误。
故选B。
【变式演练1】(多选)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽
的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)．现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开
始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )
A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒
C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守
恒
D．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒
【答案】 BC
【解析】 当小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中小球对半圆形槽的力
使半圆形槽向右运动，半圆形槽对小球的支持力对小球做负功，小球的机械能不守恒，
A、D错误；小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽静止，则只有重力
做功，小球的机械能守恒，B正确；小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小
球与半圆形槽组成的系统只有重力做功，机械能守恒，C正确．
【变式演练2】如图，斜面体A放在水平面上，球体B放在斜面体的斜面与竖直墙壁之间，
外力F作用在A上使A、B处于静止状态，不计一切摩擦，现撤去F，在球B向下运动的
过程中，下列说法正确的是（ ）A．A对B不做功 B．B对A不做功
C．B的机械能守恒 D．A、B组成的系统机械能守恒
【答案】D
【详解】ABCD．撤去推力后，A、B组成的系统机械能守恒，B对A做正功，A对B做负
功，A的机械能增大，B的机械能减小。
故选D。
题型二 单物体的机械能守恒问题
【解题指导】1．表达式
2．选用技巧
在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势
能面。
3．一般步骤【例1】一个弹性很好的橡胶球从距离地面高为h处被竖直抛下，落到坚硬的水平地面上
被弹回，回跳的高度比抛出点高h，已知重力加速度为g，不计空气阻力和球与地面碰撞
0
时的能量损失，则在抛出点必须以多大的速度将球向下抛出（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】从将球向下抛出到球上升到最高点，小球减少的动能为
小球增加的重力势能为
由机械能守恒定律得
联立得
故选C。
【例2】如图1，在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道 ，半径为 ，小球以一定
的初速度从最低点A冲上轨道，图2是小球在半圆形轨道上从A运动到 的过程中，其速
度平方与其对应高度的关系图像。已知小球在最高点 受到轨道的作用力为 ，空气阻
力不计， 点为 轨道中点，重力加速度 取 ，下列说法错误的是（ ）A．最高点时小球所受的合外力竖直向下
B．图2中
C．小球在B点受到轨道作用力为
D．小球质量为
【答案】C
【详解】A．在最高点，小球所受合外力提供向心力，故方向竖直向下，A正确，不符合
题意；
D．由图2可得在最高点，小球的速度 ，由牛顿第二定律
可解得小球的质量
故D正确，不符合题意；
B．小球从A运动到 的过程中，由机械能守恒定律
解得
故B正确，不符合题意；
C．小球从A运动到B的过程中，由机械能守恒定律解得
小球在B点受到轨道作用力为
故C错误，符合题意。
故选C。
【变式演练1】运动员某次投篮时，篮球的运动过程可简化为如图所示，已知篮球的质量
为m，投出时篮球的初速度为 ，距离篮框的竖直距离为h，忽略篮球运动过程中的空气
阻力，取篮框所在的平面为零势能面，重力加速度为g，篮球可看成质点，则下列说法正
确的是（ ）
A．篮球抛出后在空中做平抛运动
B．篮球在投出点的重力势能为mgh
C．篮球刚进入篮框时的机械能为
D．从投出至进框的过程中，篮球重力势能的变化量为mgh
【答案】D
【详解】A．篮球抛出后在空中做斜抛运动，故A错误；
B．取篮框所在的平面为零势能面，篮球在投出点的重力势能为
-mgh
故B错误；
C．篮球在抛出时的机械能为且运动过程中机械能守恒，故C错误；
D．篮球在投出点的重力势能为
-mgh
进框时的重力势能为
0
从投出至进框的过程中，篮球重力势能的变化量为
故D正确。
故选D。
【变式演练2】从地面以 的速度竖直向上抛出一物体，不计空气阻力，重力加速度为g，
以地面为重力势能的零势能面。当物体的重力势能为动能的 时，物体离地面的高度为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】物体上抛过程，机械能守恒，可得
又
联立，解得
故选D。【变式演练3】如图所示，质量为m的物体，以速度v离开高为H的桌子，当它落到距地
面高为h的A点时，在不计空气阻力的情况下，以地面为重力势能零，下列说法是正确的
是（ ）
A．物体在A点具有的机械能是
B．物体在A点具有的机械能是
C．物体在A点具有的动能是
D．物体在A点具有的动能是mg（H-h）
【答案】A
【详解】AB．物体在抛出点的机械能为
物体离开桌面后只有重力做功，机械能守恒，则物体在A点机械能也为该值，故A正确，
B错误；
CD．根据机械能守恒定律有
故A点的动能为
故CD错误。
故选A。
【变式演练4】如图甲，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将
摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中
的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中 为摆球从A点开始运动的时刻，g取10 ，则摆球的质量是（ ）
A．0.05kg B．0.10kg C．0.18kg D．0.21kg
【答案】B
【详解】在A点
在B点
从A到B
另周期
联立可得
故选B。
题型三 连接体的机械能守恒问题
1．解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔE＝－ΔE 或ΔE ＝－ΔE 的形式。
k p A B
2．常见的三种模型
(1)轻绳连接的物体系统模型
常见
情景
①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
模型
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
提醒
③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系
统，机械能则可能守恒。
(2)轻杆连接的物体系统模型
常见
情景
①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能
模型
不守恒。
特点
③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做
功，则系统机械能守恒。
(3)轻弹簧连接的物体系统模型
模型
由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内
物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
特点
两点
①对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是
压缩。
提醒②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速
度，弹性势能最大。
类型1 链条类机械能守恒问题
【例1】如图所示，长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使长度的 垂在桌边，松
手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为（重力加速度
为g）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设链条的总质量为 ，选取桌面为零势能面，则刚开始是的重力势能
整个链条刚滑落桌面时的重力势能
在此过程中，重力做的功
根据动能定理可得链条的速度
A正确。故选A。
【变式演练1】有一条均匀金属链条，一半长度在光滑的足够高斜面上，斜面顶端是一个
很小的圆弧，斜面倾角为 ，另一半长度竖直下垂，由静止释放后链条滑动，已知重力
加速度 ，链条刚好全部滑出斜面时的速度大小为 ，则金属链条的长度为
（ ）
A．0.6m B．1m C．2m D．2.6m
【答案】C
【详解】设链条的质量为2m，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为
链条全部滑出后，动能为
重力势能为
由机械能守恒可得
即
解得
故选C。【变式演练2】如图（a）所示，一根质量为M、长度为L的均匀柔软细绳置于光滑水平桌
面上，绳子右端恰好处于桌子边缘，桌面离地面足够高。由于扰动，绳从静止开始沿桌边
下滑。当绳下落的长度为x时，加速度大小为a，绳转折处O点的张力大小为T，桌面剩余
绳的动能为 、动量为p，如图（b）所示。则从初态到绳全部离开桌面的过程中，下列说
法正确的是（ ）
A．当 时，张力T有最大值 B．当 时，动量P有最大值
C．当 时，加速度a有最大值 D．当 时，动能 有最大值
【答案】B
【详解】AC．绳子下落长度为 时，对整条绳，由牛顿第二定律有
解得绳上各点的加速度大小为
对桌面上的绳子，由牛顿第二定律有
联立解得
可知，当 时，加速度 有最大值，当 时，张力 有最大值，故AC错误；
B．绳子从开始运动到绳子下落长度 的过程中，由机械能守恒定律可得解得
则桌面剩余绳的动量为
可知，当 时，动量 有最大值，故B正确；
D．桌面剩余绳子的动能为
根据数学知识可知，当
即
动能 有最大值，故D错误。
故选B。
类型2 轻绳连接的物体系统
【例2】如图所示，一条不可伸长的轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球A和B，已
知小球A的质量为m，用手托住B球，轻绳刚好被拉紧时，B球离地面的高度为h，A球
静止于水平地面上。现释放B球，落地时的速度为 。定滑轮的质量及轮与轴间的摩
擦均不计，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）A．B球的质量为4m
B．A球上升h的过程中，轻绳对A球的拉力做的功为mgh
C．B球从释放至落地，运动的时间为
D．A球从地面开始上升的最大高度为1.6h
【答案】ACD
【详解】A．设B球的质量为M，根据动能定理
解得
故A正确；
B．设轻绳对A球的拉力做的功为W，根据动能定理
解得
故B错误；
C．将AB球看成整体，则根据牛顿第二定律
解得所以，B球从释放至落地，运动的时间为
故C正确；
D．B球落地时，A球的位移为
此后A球做竖直上抛运动，则位移为
所以，A球从地面开始上升的最大高度为
故D正确。
故选ACD。
【变式演练1】如图所示，物体Q锁定在水平地面上，不可伸长的轻质细线一端连接在Q
上，另一端绕过三个光滑轻质小滑轮后固定在地面上。物体P与滑轮2相连，系统静止，
四段细线都竖直，现解除对物体Q的锁定，物体P触地后静止不动，物体P触地瞬间连接
物体Q的绳子断开。已知物体P与地面间高度差为h，物体P、Q质量分别为3m、m，重
力加速度为g，天花板离滑轮1和3足够高，物体P、Q均可视为质点，不计空气阻力。下
列说法正确的是（ ）A．物体Q上升过程中的最大速度为
B．物体Q上升过程中的最大速度为
C．物体Q上升的最大高度为
D．物体Q上升的最大高度为
【答案】AD
【详解】AB．根据题意可知，物体P刚刚触地时，Q速度最大，此时
根据机械能守恒定律有
解得
故A正确，B错误；
CD．绳子断开后有
物体Q上升的最大高度
结合上述解得
故C错误，D正确。
故选AD。
【变式演练2】如图，ab、cd为在同一竖直面内的两光滑水平轨道，两轨道间的竖直距离为h。轨道上有两个可视为质点的物体A和B，质量均为m，它们通过一根绕过定滑轮的
不可伸长的轻绳相连接。现用水平向右的拉力拉着物块A，使A、B一起运动，当轻绳OB
与水平轨道的夹角 时，撤掉拉力，此时物体A在cd轨道运动的速率为v，设绳长
BO远大于滑轮直径，不计轻绳与滑轮间的摩擦，不计空气阻力。下列说法正确的是
（ ）
A．当轻绳OB与水平轨道夹角为30°时，物体B的速度大小为
B．当轻绳OB与水平轨道夹角为90°时，物体B的速度大小为
C．轻绳OB与水平轨道夹角从30°到90°的过程中，轻绳对B做的功为
D．轻绳OB与水平轨道夹角从30°到90°的过程中，轻绳对B做的功为
【答案】BD
【详解】A．当轻绳OB与水平轨道夹角为30°时，物体B的速度大小
选项A错误；
B．当轻绳OB与水平轨道夹角为90°时，此时物体A的速度为零，从撤去外力到该位置由
机械能守恒定律
解得物体B的速度大小为
选项B正确；CD．轻绳OB与水平轨道夹角从30°到90°的过程中，轻绳对B做的功为
选项C错误，D正确。
故选BD。
类型3 轻杆连接的物体系统
【例3】如图，一长为L的轻杆一端固定在光滑铰链上，另一端固定质量为m的小球。开
始时，轻杆位于竖直方向，之后受轻微扰动后向左自由转动。某时刻轻杆与竖直方向的夹
角记为 ，取重力加速度为g，关于转动过程中小球的以下说法正确的是（ ）
A．竖直速度先增大后减小 B．重力的最大功率为
C．当 时，小球只受重力作用 D．水平方向上速度最大值为
【答案】BCD
【详解】A．小球受杆沿杆方向的支持力或拉力作用，竖直向下的重力作用，转动过程中，
重力一直做正功，竖直方向速度一直增加，故A错误；
B．杆对小球不做功，重力对小球做正功，当 时，有
解得
重力的最大功率为
故B正确；C．当 时，由机械能守恒可得
解得
此时小球做圆周运动需要的向心力为
重力沿杆方向的分力为
则杆对小球无作用力，小球只受重力作用，故C正确；
D．杆对小球的作用力由支持力逐渐变为拉力，则在水平方向为向左的推力逐渐变为0，再
变为向右的拉力；杆对小球无作用力时水平方向速度速度最大，为
故D正确。
故选BCD。
【变式演练1】如图所示，O点为足够长的光滑水平面与光滑竖直墙面的交点，长为3l的
轻直刚性杆两端分别用光滑铰链连接一可视为质点且完全相同的小球甲和乙。现让小球乙
静止于O点，使小球甲从墙面上距水平面高度为3l的a点由静止开始无初速度下滑。已知
墙面上沿竖直方向的各点间距ab=bc=cO=l，重力加速度为g，不计空气阻力，则在小球甲
从a点运动到O点过程中，下列说法正确的是（ ）A．小球甲的最大速度为
B．小球甲的最大速度为
C．小球甲运动到b点时，小球乙的速度为
D．小球甲运动到c点时，小球乙的速度为
【答案】BC
【详解】AB．由分析知，当小球甲运动到O点时，小球乙的速度为零，此时小球甲的速度
最大，设其最大速度为v ，根据机械能守恒定律有
甲
解得
故A错误，B正确；
C．小球甲运动到b点时，设小球乙的速度为v 时，对应的小球甲的速度大小为v，杆与竖
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直方向的夹角为 ，对小球甲、乙组成的系统，由机械能守恒定律可得
其中
，解得
小球甲运动到b点时，小球乙的速度等于 ，选项C正确；
D．小球甲运动到c点时，设小球乙的速度为v 时，对应的小球甲的速度大小为v，杆与竖
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直方向的夹角为 ，对小球甲、乙组成的系统，由机械能守恒定律可得
其中
，
解得
选项D错误。
故选BC。
【变式演练2】如图所示，有一光滑轨道 ， 部分竖直， 部分水平， 部分
是半径为 的四分之一圆弧，其中 与 、 相切。质量均为 的小球 、 （可视
为质点）固定在长为 的竖直轻杆两端，开始时 球与 点接触且轻杆竖直，由静止释放
两球使其沿轨道下滑，重力加速度为 。下列说法正确的是（ ）
A． 球下滑过程中机械能减小
B． 球下滑过程中机械能增加C． 球滑到水平轨道上时速度大小为
D．从释放 、 球到两球均滑到水平轨道的过程中，轻杆对 球做功为
【答案】D
【详解】C．两个小球组成的系统只有重力做功，所以系统的机械能守恒，故有
解得
即 、 球滑到水平轨道上时速度大小均为 ，故C错误；
D．b球在滑落过程中，设杆对b球做功为W，根据动能定理可得
联立解得
对a球由动能定理可得
解得杆对a球做功为
故D正确；
AB．结合D项分析可知，杆对 球做正功，对b球做负功，故下滑过程中 球机械能增大，
b球机械能减小，即对单个球来看，机械能均不守恒，故AB错误。
故选D。
【变式演练3】如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球A和B之间用一根长为L的
轻杆连接，轻杆可绕中心O的水平轴无摩擦转动，现让杆处于水平位置无初速度释放，在
杆转至竖直的过程中（轻杆质量不计）（ ）A．A球机械能减小
B．杆对B球不做功，B球机械能守恒
C．A球和B球总机械能守恒
D．A球和B球总机械能不守恒
【答案】C
【详解】A．释放后，A球向上运动，速度增大，高度增大，所以A球的动能和势能都增
大，即A球的机械能增大，故A错误；
BCD．在杆从水平转至竖直的过程中，A球和B球组成的系统只有重力做功，所以系统的
机械能守恒，又根据机械能守恒可得
所以A球的机械能增大，B球的机械能减少，杆对B球做负功，故BD错误，C正确。
故选C。
类型4 含“弹簧类”系统的机械能守恒
1．通过其他能量求弹性势能
根据机械能守恒，列出方程，代入其他能量的数值求解．
2．对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧伸长量和压缩量相等时，弹簧
弹性势能相等．
3．物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关．
【例4】（2023春·河北·高三校联考期中）如图所示，轻质弹簧下端与光滑固定斜面底端
栓接，上端连接物块B，物块A通过细线跨过光滑定滑轮与物块B连接，已知斜面倾角为
，物块B的质量为 不变，物块A的质量可以改变，弹簧的原长为 ，物块
A、B以及滑轮大小忽略不计。初始时在外力作用下，弹簧处于原长，细线刚好绷紧，物
块A、B处于等高位置。挂不同质量的物块A，撤去外力，让物块A、B自由运动；当时，物块A能够上升的最大高度为 ；当 时，物块A能够下降的最大高
度为 ：当 时，物块A下降 时速度可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当 时，由能量守恒可得
当 时，由能量守恒可得
解得
当 时，由能量守恒可得
解得
根据题意有
联立可得故选A。
【变式演练1】如图所示，一轻质弹簧置于固定光滑斜面上的O点，下端与固定在斜面底
端的挡板连接，弹簧处于原长时上端位于A点。一物块由斜面上A点上方某位置由静止释
放，将弹簧压缩至最低点B，弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是（ ）
A．物块运动到A点时的动能最大
B．物块从A点运动到B点过程中机械能守恒
C．物块运动到B点后将在B点保持静止状态
D．弹簧弹性势能的最大值等于物块从O点到B点重力势能的减少量
【答案】D
【详解】A．物块运动到A点时，弹力为零，合力不为零，则物块有沿斜面向下的加速度，
则此时速度不是最大，即动能不是最大，选项A错误；
B．物块从A点运动到B点过程中弹簧的弹力对物块做负功，则物块的机械能不守恒，选
项B错误；
C．物块运动到B点后合力沿斜面向上，则将沿斜面向上运动，不会在B点保持静止状态，
选项C错误；
D．由能量关系可知，弹簧弹性势能的最大值等于物块从O点到B点重力势能的减少量，
选项D正确。
故选D。
【变式演练2】如图所示，质量均为m的物体A、B用跨过滑轮O的轻绳连接，A穿在固
定的竖直光滑杆上，B置于倾角 的光滑固定斜面上。一劲度系数 的轻质弹簧
的一端固定在斜面底端的挡板上，另一端连接B。初始时，施加外力将A置于N点，轻绳
恰好伸直但无拉力， 段长为 ，与杆垂直， 段与斜面平行。现将A由静止释放，沿
杆下滑到最低点 ， 为 中的一点，且 。A、B均可视为质点，运动过程中B
不会与滑轮相碰，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，不计一切阻力。则A从N点下滑到M点的过程中（ ）
A．B沿斜面运动的距离为 B．A、B组成的系统机械能守恒
C．经过M点时A的速度大小为 D．轻绳对A做的功为
【答案】AC
【详解】A．A从N点下滑到M点的过程，B沿斜面运动的距离为
故A正确；
B．由于弹簧对B做功，所以A、B组成的系统机械能不守恒，故B错误；
CD．开始运动时，弹簧的压缩量为
则A经过M点时，弹簧的伸长量为
可知A从N点下滑到M点的过程，弹簧的弹性势能变化量为0，根据能量守恒可得
根据速度关联关系可得
其中
联立解得经过M点时A的速度大小为对A根据动能定理可得
解得轻绳对A做的功为
故C正确，D错误。
故选AC。
【变式演练3】如图所示，轻弹簧一端固定在O点，另一端与一质量为m的小球相连，小
球套在固定的竖直光滑杆上，P点到O点的距离为L， 与杆垂直，杆上M、N两点与O
点的距离均为 。已知弹簧的劲度系数为k，原长为L，重力加速度为g，现让小球从M
处由静止释放，下列说法正确的是（ ）
A．小球从M运动到N的过程中，小球的机械能守恒
B．小球通过N点时速率为
C．小球从M运动到N的过程中，弹簧弹性势能先减小后增大
D．小球从M运动到N的过程中，小球的动能和弹簧的弹性势能之和先减小后增大
【答案】BC
【详解】A．小球从 运动到 的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，但小球的
机械能并不守恒，故A错误；
B．根据几何关系有解得
小球在M、N两个位置时，弹簧的长度相等，所以弹簧的弹性势能相等，在此过程中小球
的重力势能全部转化为动能，则
解得
故B正确；
C． ，等于弹簧的原长，则小球位于P点时，弹簧弹力为0，弹簧的弹性势能为0且
最小，所以从 运动到N的过程中弹簧的弹性势能先减小后增大，故C正确；
D．小球和弹簧组成的系统机械能守恒，小球的重力势能一直在减小，所以小球的动能和
弹簧的弹性势能之和一直在增大，故D错误。
故选BC。
【变式演练4】如图所示，轻质弹簧一端固定在水平面上的光滑转轴O上，另一端与套在
光滑固定直杆A处质量为m的小球（可视为质点）相连。A点距水平面的高度为h，直杆
与水平面的夹角为30°，OA＝OC，B为AC的中点，OB等于弹簧原长。小球从A处由静止
开始下滑，经过B处的速度为v。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球在C点时的动能 B．小球通过B点时的加速度为
C．弹簧具有的最大弹性势能为 D．小球下滑过程机械能守恒
【答案】AB
【详解】A．小球在A点和C点时，弹簧的长度相同，即弹簧的形变量相同，具有相同的
弹性势能，全程弹簧的弹力做功为零，则小球从A点到C点的过程，根据动能定理即
故A正确；
B．因在B点时弹簧在原长，则到达B点时的加速度为
故B正确；
C．弹簧形变量最大时弹性势能最大，即小球在A点时，弹簧具有最大的弹性势能，小球
由A点到B点过程中，根据能量守恒
解得
故C错误；
D．小球下滑过程中，除了小球重力做功外，还有弹簧的弹力做功，所以小球下滑过程机
械能不守恒，故D错误。
故选AB。
题型四 功能关系的理解和应用
1．做功的过程就是能量转化的过程．功是能量转化的量度.
2．功与能量的变化是“一一对应”的，如重力做功对应重力势能的变化，合外力做功对应
动能的变化等.
3．分析机械能的变化，既可以用定义法也可以根据除重力(弹簧弹力)以外的其他力做功来
分析．
类型1 功能关系的理解
常见的功能关系能量 功能关系 表达式
重力做功等于重力势能减少量
弹力做功等于弹性势能减少量
势能 W＝E －E ＝－ΔE
p1 p2 p
静电力做功等于电势能减少量
分子力做功等于分子势能减少量
动能 合外力做功等于物体动能变化量 W＝E －E ＝mv2－mv2
k2 k1 0
除重力和弹力之外的其他力做功等于机械
机械能 W ＝E－E＝ΔE
其他 2 1
能变化量
摩擦
一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝
产生 Q＝F·x
f 相对
对值等于产生的内能
的内能
电能 克服安培力做功等于电能增加量 W ＝E－E＝ΔE
电能 2 1
【例1】翼装飞行是一项极具刺激的娱乐项目，亚洲翼装飞行第一人张树鹏的飞行梦始于
张家界天门山。如图所示为张树鹏完成比赛时的情景，张树鹏由高空静止跳下，在空中滑
行一段距离后安全地着陆在山脚下。则张树鹏在空中下落的过程中（ ）。
A．机械能守恒 B．重力势能的减少大于动能的增加
C．合力做的功等于重力势能的减少量 D．重力做的功等于机械能的减少量
【答案】B
【详解】A．张树鹏在下落的过程中，重力做正功，空气的阻力做负功，所以机械能不守
恒，故A错误；
B．由动能定理可知
所以重力做的功大于动能的增加，即重力势能的减少大于动能的增加，故B正确；C．由动能定理可知合力的功等于动能的增加量，故C错误；
D．阻力的功等于机械能的减少量，故D错误。
故选B。
【变式演练1】如图所示为低空跳伞极限运动表演，运动员从离地350m高的桥面一跃而下，
实现了自然奇观与极限运动的完美结合。假设质量为m的跳伞运动员，由静止开始下落，
在打开伞之前受恒定阻力作用，下落的加速度 ，在运动员下落h的过程中，下列说法
正确的是（ ）
A．运动员重力做功为 B．运动员克服阻力做功为
C．运动员的动能增加了 D．运动员的机械能减少了
【答案】D
【详解】A．运动员下落h，则重力做功为
故A错误；
B．根据
得
则运动员克服阻力做功为
故B错误；
C．运动员的动能增加量等于合外力做功，则=
故C错误；
D．运动员的机械能减少量等于克服阻力做功，即
故D正确。
故选D。
【变式演练2】在实际情况中，物体做抛体运动时总会受到空气阻力的影响。如图所示，
虚线是炮弹在忽略空气阻力情况下计算出的飞行轨迹；实线是炮弹以相同的初速度和抛射
角射出在空气中实际的飞行轨迹，这种曲线叫作弹道曲线。由于空气阻力的影响，弹道曲
线的升弧和降弧不再对称，升弧长而平伸，降弧短而弯曲。炮车的大小可以忽略。当炮弹
做弹道运动时，结合学过的力学知识，分析判断下列说法正确的是（ ）
A．炮弹上升的时间一定等于下降的时间
B．炮弹在最高点时的加速度等于重力加速度
C．炮弹在上升阶段损失的机械能等于在下降阶段损失的机械能
D．炮弹在上升阶段重力势能的增加量等于在下降阶段重力势能的减少量
【答案】D
【详解】A．炮弹上升过程中，在竖直方向上，受到重力和阻力在竖直向下的分力，即
解得
炮弹下降过程中，在竖直方向，受到向下的重力和阻力在竖直向上的分力，即
解得则
设炮弹上升的时间为t，炮弹下降的时间为t，根据
1 2
得
炮弹上升的时间一定小于下降的时间，A错误；
B．到达最高点时，除受竖直向下的重力外还受到水平方向的空气阻力作用f，合力
由牛顿第二定律可知，炮弹在最高点时的加速度大于重力加速度，B错误；
C．假设空气阻力大小不变，由微元法，上升过程克服空气阻力做的功等于空气阻力与上
升过程路程的乘积，下降过程克服空气阻力做的功等于空气阻力与下降过程路程的乘积。
升弧长而平伸，降弧短而弯曲。上升过程克服空气阻力做的功大于下降过程克服空气阻力
做的功。又由功能关系，克服空气阻力做的功等于机械能的减少量。炮弹在上升阶段损失
的机械能大于在下降阶段损失的机械能。假设空气阻力大小与速度成正比或与速度的平方
成正比，由于空气阻力始终做负功，同一高度处，上升过程的速度大小总是大于下降过程
的速度大小，则同一高度处，上升过程的空气阻力大小总是大于下降过程的空气阻力大小。
由微元法，上升过程克服空气阻力做的功等于空气阻力与上升过程路程的乘积，下降过程
克服空气阻力做的功等于空气阻力与下降过程路程的乘积。升弧长而平伸，降弧短而弯曲。
上升过程克服空气阻力做的功大于下降过程克服空气阻力做的功。又由功能关系，克服空
气阻力做的功等于机械能的减少量。炮弹在上升阶段损失的机械能大于在下降阶段损失的
机械能。
C错误；
D．炮弹在上升阶段重力势能的增加量等于在下降阶段重力势能的减少量，D正确。
故选D。【变式演练3】一个物块从斜面底端冲上足够长的斜面后，返回到斜面底端。已知小物块
的初动能为E，它返回斜面底端的速度大小为v，克服摩擦阻力做功为 。若小物块冲上
斜面的初动能变为2E，则有（ ）
A．返回斜面底端时的动能为 B．返回斜面底端时的动能为E
C．返回斜面底端时的速度大小为2v D．克服摩擦阻力做的功仍为
【答案】B
【详解】ABD．设以初动能为E冲上斜面的初速度为 ，则以初动能为2E冲上斜面时，
初速度为 ，由于两次向上运动的加速度相同，根据
，
可知第二次冲上斜面的位移是第一次的两倍，所以第二次上升过程中克服摩擦力做功是第
一次的两倍，第二次整个上升返回过程中克服摩擦力做功是第一次的两倍，即为E；根据
能量守恒可知第二次返回到底端时的动能为
故AD错误，B正确；
C．第一次小物块的初动能为E，它返回斜面底端的速度大小为v，克服摩擦阻力做功为 ，
则有
若小物块冲上斜面的初动能变为2E，设它返回斜面底端的速度大小为 ，由于克服摩擦阻
力做功为E，则有
联立可得
故C错误。
故选B。类型2 功能关系与图像的结合
【例2】从地面竖直向上抛出一物体，取地面为零势能参考面，该物体的 和 随上升高
度h的变化如图所示。重力加速度取 ，由图中数据可得（ ）
A．物体的质量为2.5 kg
B．h＝2 m时，物体的动能
C．h＝0时，物体的速度大小为
D．物体的速度大小为20 m/s时，距地面的高度h=2 m
【答案】AC
【详解】A．由图可知，上升的最大高度为4m，由重力势能公式
可得
A正确；
BD．由图可知 时，物体的动能
物体的速度为
BD错误；C．h＝0时，物体的速度大小为
C正确；
故选AC。
【变式演练1】一质量为1kg的物体在水平拉力的作用下，由静止开始在水平地面上沿x轴
运动，出发点为x轴零点，拉力做的功W与物体坐标x的关系如图所示。物体与水平地面
间的动摩擦因数为0.4，重力加速度大小取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．从x=0运动到x=2m过程中拉力的大小为12N
B．在x=3m时，物体的动能为15J
C．从x=0运动到x=2m，物体机械能增加了4J
D．从x=0运动到x=4m的过程中，物体的最大速度为2m/s
【答案】C
【详解】A．由于拉力在水平方向，则拉力做的功为 ，可看出 图像的斜率代
表拉力F，则从x=0运动到x=2m过程中拉力的大小
故A错误；
B．由图可知从x=0运动到x=3m，拉力做功为W=15J，根据动能定理有
可得x=3m时物体的动能为
故B错误；C．从x=0运动到x=2m，拉力做功
W=12J
物体克服摩擦力做的功为
根据功能关系
故C正确；
D．根据 图像可知在0~2m的过程中 ，2~4m的过程中 ，由于物体受到
的摩擦力恒为f=4N，则物体在x=2m处速度最大，根据动能定理有
可得
故D错误。
故选C。
【变式演练2】如图甲所示，将物块从倾角为θ=30°的斜面顶端由静止释放，取地面为零势
能面，物块在下滑过程中的动能E、重力势能E 与下滑位移x间的关系如图乙所示，取
k p
g=10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．物块的质量是0.1kg
B．物块与斜面间的动摩擦因数为
C．当下滑的距离为4.8m时，物块动能与势能相等D．当物体的势能为8J时，动能为 J
【答案】D
【详解】A．由图知，小球下滑的最大位移为 x=12m，在最高点时，小球的重力势能
得小球的质量
故A错误；
B．根据除重力以外其他力做的功
可知
由图知，最高点的机械能为
最低点的机械能为
又
x=12m
解得
故B错误；
C．设小球动能和重力势能相等时的高度为h，此时有
由动能定理有联立解得
h=2.4m
故C错误；
D．由图可知，在物块下滑4m处，小球的重力势能是8J，动能为
故D正确。故选D。
【变式演练3】从地面竖直向上抛出一物体，其机械能 等于动能 与重力势能 之和。
取地面为重力势能零点，该物体的 和 随它离开地面的高度h的变化如图所示。重力
加速度取 。由图中数据可得（ ）
A．物体的质量为1kg
B．h＝0时，物体的速率为20m/s
C．物体上升4m过程中，物体的动能减少了80J
D．物体上升2m过程中，克服阻力做功10J
【答案】D
【详解】A．根据题意，由公式 结合图像可得，物体的质量为
故A错误；B．h＝0时，物体的重力势能为0，则有
解得
故B错误；
C．由图可知，物体上升到4m时
此时物体的动能为0，则物体的动能减少了
故C错误；
D．由图可知，物体上升到2m时
，
则此时的动能为
由动能定理有
解得
故D正确。
故选D。
【变式演练4】滑草是一项使用滑草车沿倾斜草地滑行的运动，深受青年人喜爱，甲图为
滑草运动场地鸟瞰图。某滑草运动场地由倾斜滑道AB和水平滑道BC两部分组成，B点处
平滑连接，如图乙所示。倾斜滑道AB长100m，与水平面夹角为18°。某游客乘坐滑草车
从A点由静止开始沿滑道下滑，滑草车在AB段做匀加速直线运动。取倾斜滑道底端为零
势能面，游客与滑草车在AB上运动的机械能、重力势能随着位移x的变化情况如图丙所示。重力加速度大小取 ， ，下列说法正确的是（ ）
A．游客和滑草车总质量为186kg
B．游客到达B点时的速度为10m/s
C．滑草车与倾斜滑道间的动摩擦因数为0.26
D．游客在倾斜滑道上的加速度为
【答案】B
【详解】A．游客和滑草车开始下滑时的重力势能为
总质量为
m=60kg
选项A错误；
B．游客到达B点时的动能等于机械能为3000J，则根据
可得速度为
v =10m/s
B
选项B正确；
C．滑草车下滑过程中由能量关系
解得与倾斜滑道间的动摩擦因数为
μ=0.274
选项C错误；D．游客在倾斜滑道上的加速度为
选项D错误。
故选B。
类型3 功能关系的综合应用
【例3】（2024·山东·高考真题）如图所示，质量均为m的甲、乙两同学，分别坐在水平放
置的轻木板上，木板通过一根原长为l的轻质弹性绳连接，连接点等高且间距为d
（d
