文档内容
专题 15 分式与分式方程中含参数问的六种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围.....................................................................................2
类型二、求使分式值为整数时未知数的整数值.................................................................................................3
类型三、已知分式恒等式，确定分子或分母....................................................................................................5
类型四、根据分式方程增根问题求参数............................................................................................................6
类型五、根据分式方程无解问题求参数............................................................................................................8
类型六、已知分式方程的根的情况求参数，应舍去分母为0时参数的值......................................................10
压轴能力测评（20题）....................................................................................................................................12
解题知识必备
1.分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果
要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，
代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．
当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为
2.分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或
是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许
未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整
式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好
是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为 0，如果
为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．压轴题型讲练
类型一、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
例题：（2024·吉林·中考真题）当分式 的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ．
【变式训练1】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）若分式 的值为正数，则x的取值范围是 ．
【变式训练2】（23-24八年级下·重庆·阶段练习）若 的值为非负数，则 的取值范围是
．
类型二、求使分式值为整数时未知数的整数值
例题：（23-24八年级下·江苏泰州·期中）若分式 的值是整数，则满足条件的整数m的个数有
个．
【变式训练1】（23-24八年级上·北京朝阳·期末）若分式 的值为整数，则 的整数值为 ．
【变式训练2】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若分式 的值为整数，则整数x的值为
．
类型三、已知分式恒等式，确定分子或分母
例题：（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）若 （ ， 为有理数），那么
， ．
【变式训练1】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若 ， ， 为常数，则
的值为 ．
【变式训练2】（2023·山西吕梁·模拟预测）若 ，其中a，b为常数，则
．
类型四、根据分式方程增根问题求参数
例题：（23-24九年级下·山东临沂·阶段练习）若关于 x 的分式方程 有增根，则 m 的值为．
【变式训练1】（23-24八年级上·河北邢台·期末）若关于 的分式方程 有增根，则增根是
， 的值是 ．
【变式训练2】（24-25九年级上·甘肃天水·开学考试）若关于x的分式方程 （m为常数）有
增根，则m的值是 ．
类型五、根据分式方程无解问题求参数
例题：（24-25八年级上·山东淄博·期中）关于 的分式方程 无解，则 的值为 ．
【变式训练1】（2024八年级·全国·竞赛）若关于 的分式方程 无解，则 的值为
．
【变式训练2】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知 是关于 的方程．
（1）若方程有增根，则 的值为 ，方程的增根为 ；
（2）若方程无解，则 的值为 ．
【变式训练3】（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的分式方程 .
(1)若方程的增根为x＝2，求a的值；
(2)若方程有增根，求a的值；
(3)若方程无解，求a的值．
类型六、已知分式方程的根的情况求参数，应舍去分母为0时参数的值
例题：（2023上·内蒙古乌兰察布·八年级校联考期末）若关于x的分式方程 的解为正数，
则k的取值范固是 ．
【变式训练1】（2024上·上海·八年级校考期末）若关于 的方程 的解为负数，则
的取值范围是 ．
【变式训练2】（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）已知关于x的分式方程 的解为
非负数，则a的取值范围 ．
【变式训练3】（2023上·湖南怀化·九年级校联考阶段练习）若关于y的分式方程 的解为正
整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．压轴能力测评（20题）
一、单选题
1．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若分式 有意义，下列说法错误的是（ ）．
A．当 时，分式的值为正数 B．当 时，分式无意义
C．当 时，分式的值为0 D．当 时，分式的值为1
2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若分式 的值是整数，则满足条件的所有正整数m的和等于
（ ）
A．9 B．8 C．7 D．5
3．（22-23八年级上·山东聊城·期末）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）解关于x的分式方程 时会产生增根，则m的值
（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）关于 的分式方程 （ ，且 为整数）的解为整数，则
的可能取值的和为（ ）
A．15 B．17 C．22 D．28
6．（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）对于关于 的分式方程 ，以下说法错误的是
（ ）
A．分式方程的增根是 或 B．若分式方程有增根，则
C．若分式方程无解，则 或 D．分式方程的增根是二、填空题
7．（22-23八年级上·山东威海·期中）若分式 的值为负数，则 的取值范围 ．
8．（22-23七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知 ，其中 ， ， ， 为常
数，则 ．
9．（2024八年级上·全国·专题练习）若关于 的分式方程 的解是正数，则 的取值范围是
．
10．（22-23八年级下·四川绵阳·开学考试）若关于x的分式方程 无解，则 的值为
．
11．（24-25九年级上·重庆·期中）若关于x的一元一次不等式组 有且仅有3个偶数解，且关
于y的分式方程 的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
12．（24-25八年级上·北京·阶段练习）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分
式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：
， ．
参考上面的方法，解决下列问题：
（1）将 变形为满足以上结果要求的形式： ；
（2）若 为正整数，且 也为正整数，则 的值为 ．
三、解答题
13．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知关于 的方程 ．
(1)当 取何值时，此方程的解为 ；
(2)当 取何值时，此方程会产生增根；
(3)当此方程的解是正数时，求 的取值范围．
14．（23-24八年级上·全国·单元测试）课堂上，李老师出了这样一道题：
已知 求整式 A，B．本题是这样思考的：已知是等式，首先对等式的右边进行通分，可得 已知两个分式相
等，分母相等，则分子也相等，即： ，利用多项式相等则对应的系数相等可求
得A，B．
请你根据上面的思路解决下列问题：
已知 ，求 A，B 的值．
15．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次
的分式变形，转化为整数新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：
， ．参考上面的方法，解决下列问题：
(1)将 变形为满足以上结果要求的形式： ；
(2)将 变形为满足以上结果要求的形式： ；
(3)若 为正整数，且 也为正整数，则 的值为 ；
(4)若分式 的值为整数，则满足条件的所有整数 的和为 ．
16．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于 的分式方程 的解为正数，
求 的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于 的方程，
得到方程的解为 ，由题目可得 ，所以 ，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还
必须满足_______．
（1）请回答：横线填什么_____．
完成下列问题：
（2）已知关于 的方程 的解为非负数，求 的取值范围；
（3）若关于 的方程 无解，求 的值．
17．（23-24八年级下·四川成都·期中）在解分式方程时，我们通常会通过去分母来简化方程，这一步就需
要在等式两边同时乘以最简公分母．然而，在这个过程中，我们无法确定所乘的最简公分母是否为0．这
就可能导致未知数的取值范围被不恰当地扩大．如果去分母后得到的整式方程的某个解，使得原分式方程
的最简公分母为0，那么这个解就是增根．虽然增根满足整式方程，但它并不满足原分式方程．
(1)解分式方程 时产生了增根，这个增根是： ；(2)若关于x的方程 有增根，求m的值： ；
(3)已知整数m使关于x的方程 有整数解，求m的值．
18．（22-23八年级上·山东济宁·阶段练习）阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为
“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”．
如： ， 这样的分式就是假分式；再如： ， 这样的分式就是真分式．类似的，假分式也
可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：
再如：
解决下列问题
(1)分式 是 分式（填“真分式”或“假分式”）；
(2)把假分式 化为带分式的形式；
(3)如果分式 的值为整数，求整数x的值．
